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  • 2021-06-11 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版正弦定理和余弦定理学案

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第七节正弦定理和余弦定理 ‎1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ===2R,(R为△ABC外接圆半径)‎ a2=b2+c2-2bccos A;‎ b2=c2+a2-2cacos B;‎ c2=a2+b2-2abcos_C 变形形式(边角转化)‎ a=2Rsin A,b=2RsinB,c=2Rsin C;‎ sin A=,sinB=,sin C=;‎ a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C cos A=;cosB=;cos C= ‎2.三角形中常用的面积公式 ‎(1)S=ah(h表示边a上的高);‎ ‎(2)S=bcsin A=acsinB=absin C;‎ ‎(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).‎ ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(  )‎ ‎(2)在△ABC中,若sin A>sinB,则A>B.(  )‎ ‎(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.(  )‎ ‎(4)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC为锐角三角形.(  )‎ ‎(5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.(  )‎ 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√‎ ‎2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=‎2a,bsin B-asin A= asin C,则cosB为(  )‎ A.   B.    C.    D. 解析:选B ∵bsin B-asin A=asin C,且c=‎2a,∴b=a,∴cos B===.‎ ‎3.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形有(  )‎ A.无解 B.两解 C.一解 D.解的个数不确定 解析:选B ∵=,‎ ‎∴sinB=sin A=sin 45°=.‎ 又∵a0,于是有cos B<0,B为钝角,△ABC是钝角三角形.‎ ‎5.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=________.‎ 解析:由正弦定理,得sin B===,‎ 因为0°<B<180°,‎ 所以B=45°或135°.‎ 因为b<c,所以B<C,故B=45°,‎ 所以A=180°-60°-45°=75°.‎ 答案:75°‎ ‎6.在△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为________.‎ 解析:由余弦定理知72=52+BC2-2×5×BC×cos 120°,‎ 即49=25+BC2+5BC,解得BC=3.‎ 故S△ABC=AB·Bcsin B=×5×3×=.‎ 答案:      ‎[考什么·怎么考]‎ 利用正、余弦定理解三角形是高考的重点和热点内容,主要考查利用两个定理求三角形的边的长度、角的大小等,既有灵活多变的小题,也有考查能力的大题,试题多为中低档题.‎ 考法(一) 正弦定理解三角形 ‎1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=b,A=2B,则cos B等于(  )‎ A.   B.    C.    D. 解析:选C 因为a=b,A=2B,所以由正弦定理可得=,所以=,所以cos B=.‎ ‎2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则B=(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A 由正弦定理得,‎ sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B,‎ 所以sin Acos C+sin Ccos A=,‎ 即sin(A+C)=,所以sin B=.‎ 已知a>b,所以B不是最大角,所以B=.‎ ‎3.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=________.‎ 解析:因为sin B=且B∈(0,π),‎ 所以B=或B=,‎ 又C=,所以B=,A=π-B-C=,‎ 又a=,由正弦定理得=,‎ 即=,解得b=1.‎ 答案:1‎ ‎[题型技法] 利用正弦定理可解决两类问题 基本类型 一般解法 已知两角及其中一角的对边,如A,B,a ‎①由A+B+C=180°,求出C;‎ ‎②根据正弦定理,得=及=,求出边b,c 已知两边及其中一边所对的角,如a,b,A ‎①根据正弦定理,经讨论求B;‎ ‎②求出B后,由A+B+C=180°,求出C;‎ ‎③再根据正弦定理=,求出边c.‎ ‎[提醒] 也可以根据余弦定理,列出以边c为元的一元二次方程c2-(2bcos A)c+(b2-a2)=0,根据一元二次方程的解法,求边c,然后应用正弦定理或余弦定理,求出B,C 考法(二) 余弦定理解三角形 ‎4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=ac,c=‎2a,则cos C=(  )‎ A.           B.- C. D.- 解析:选B 由题意得,b2=ac=‎2a2,‎ 即b=a,∴cos C===-.‎ ‎5.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为(  )‎ A. B. C. D.3 解析:选B 由题意得cos A===,‎ ‎∴sin A= =,‎ ‎∴边AC上的高h=ABsin A=.‎ ‎6.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=________.‎ 解析:由2bcosB=acos C+ccos A及余弦定理,得 ‎2b·=a·+c·,‎ 整理得,a2+c2-b2=ac,‎ 所以2accosB=ac>0,cosB=.‎ 又0<B<π,所以B=.‎ 答案: ‎[题型技法] 利用余弦定理可解决两类问题 已知两边和它们的夹角,如a,b,C ‎①根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,求出边c;‎ ‎②根据cos A=,求出A;‎ ‎③根据B=180°-(A+C),求出B.‎ 求出第三边后,也可用正弦定理求角,这样往往可以使计算简便,应用正弦定理求角时,为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0,π)上是不单调的),应先求较小边所对的角,它必是锐角 已知三边 可以连续用余弦定理求出两角,常常是分别求较小两边所对的角,再由A+B+C=180°,求出第三个角;‎ 由余弦定理求出一个角后,也可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然是先求较小边所对的角 ‎[怎样快解·准解]‎ ‎1.避免失误准解题 ‎(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误,要根据条件和三角形的限制条件合理取舍.‎ ‎(2)求角时易忽略角的范围而导致错误,需要根据大边对大角,大角对大边的规则,画图帮助判断.‎ ‎2.运用知识结论巧解题 ‎(1)三角形的内角和定理A+B+C=π,由此可得到sin A=sin(B+C),cos A=-cos(B+C),tan A=-tan(B+C);sin=cos,cos=sin.‎ ‎(2)内角A,B,C成等差数列⇔B=60°,A+C=120°.‎ ‎(3)在△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.‎ ‎(4)△ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列,且a,b,c成等比数列.‎ ‎(5)在△ABC中,A>B⇔sin A>sin B⇔cos Acos B,sin B>cos C,sin C>cos A等.‎ 考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状   利用正、余弦定理判断三角形的形状主要是考查三角形是哪类特殊的三角形,在高考中考查频率不高,一般以选择题、填空题的形式出现,难度中等.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状为(  )‎ A.直角三角形       B.等腰非等边三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 解析:选C ∵=,∴=,∴b=c.‎ 又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,∴b2+c2-a2=bc,‎ ‎∴cos A===.‎ ‎∵A∈(0,π),∴A=,∴△ABC是等边三角形.‎ ‎2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c-acos B=(‎2a-b)cos A,则△ABC的形状为(  )‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 解析:选D 因为c-acos B=(‎2a-b)cos A,‎ C=π-(A+B),‎ 所以由正弦定理得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin B·cos A,‎ 所以sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,‎ 所以cos A(sin B-sin A)=0,‎ 所以cos A=0或sin B=sin A,‎ 所以A=或B=A或B=π-A(舍去),‎ 所以△ABC为等腰或直角三角形.‎ ‎[解题师说]‎ ‎1.判定三角形形状的2种常用途径 ‎2.判定三角形形状的3个注意点 ‎(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系;‎ ‎(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系;‎ ‎(3)还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若==,则该三角形的形状是(  )‎ A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 解析:选A 因为=,由正弦定理得=,所以sin ‎2A=sin 2B.由=,可知a≠b,所以A≠B.又A,B∈(0,π),所以‎2A=180°-2B,即A+B=90°,所以C=90°,于是△ABC是直角三角形.‎ ‎2.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别是a,b,c,若sin2 =,则△ABC的形状一定是________.‎ 解析:由题意,得=,即cos B=,又由余弦定理,得=,整理得a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形.‎ 答案:直角三角形      正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与求三角形面积或取值范围结合进行考查.有时是求三角形面积,有时是以三角形面积作为已知条件出现,求与三角形有关的量的取值范围,此时难度较大.有关面积问题的考查,在高考中客观题和解答题均有可能考查,属于中档题.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.‎ ‎❶‎ ‎(1)求sinBsin C;‎ ‎(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.‎ ‎    ❸         ❷‎ ‎[学审题]‎ ‎①看到△ABC的面积为想到三角形的面积公式,即可求出sin Bsin C的值;‎ ‎②看到要求△ABC的周长想到求a+b+c的值;‎ ‎③看到cos Bcos C的值想到第(1)问已求出sin Bsin C的值,可求得A的值,借助余弦定理可求得b+c.‎ 解:(1)由题设得acsin B=,‎ 即csin B=.‎ 由正弦定理得sin Csin B=.‎ 故sin Bsin C=.‎ ‎(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,‎ 即cos(B+C)=-.‎ 所以B+C=,故A=.‎ 由题设得bcsin A=,即bc=8.‎ 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,‎ 得b+c=.‎ 故△ABC的周长为3+.‎ ‎[解题师说]‎ 与三角形面积有关问题的解题模型 ‎[冲关演练]‎ ‎1.(2018·云南第一次统一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=,a=,sin2B=2sin Asin C,则△ABC的面积S=(  )‎ A.            B.3‎ C. D.6‎ 解析:选B 由sin2B=2sin Asin C及正弦定理,得b2=‎2ac,①‎ 又B=,所以a2+c2=b2.②‎ 联立①②解得a=c=,所以S=××=3.‎ ‎2.(2018·安徽两校阶段性测试)如图,在△ABC中,AB=2,cos B=,点D在线段BC上.‎ ‎(1)若∠ADC=,求AD的长;‎ ‎(2)若BD=2DC,△ACD的面积为,求的值.‎ 解:(1)在△ABC中,∵cos B=,∴sin B=.‎ 在△ABD中,=,‎ 又AB=2,∠ADB=,sin B=,∴AD=.‎ ‎(2)∵BD=2DC,‎ ‎∴S△ABD=2S△ADC,S△ABC=3S△ADC,‎ 又S△ADC=,∴S△ABC=4,‎ ‎∵S△ABC=AB·Bcsin B,‎ 即4=×2×BC×,∴BC=6.‎ ‎∵S△ABD=AB·ADsin∠BAD,‎ S△ADC=AC·ADsin∠CAD,‎ S△ABD=2S△ADC,‎ ‎∴=2·,‎ 在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,‎ ‎∴AC=4,‎ ‎∴=2·=4.‎ ‎(一)普通高中适用作业 A级——基础小题练熟练快 ‎1.在△ABC中,若=,则B的大小为(  )‎ A.30°          B.45°‎ C.60° D.90°‎ 解析:选B 由正弦定理知,=,∴sin B=cos B,∴B=45°.‎ ‎2.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是(  )‎ A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 解析:选C 由正弦定理得=,‎ ‎∴sin B===>1.‎ ‎∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.‎ ‎3.(2018·南昌模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos ‎2A=sin A,bc=2,则△ABC的面积为(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ 解析:选A 由cos ‎2A=sin A,得1-2sin‎2A=sin A,解得sin A=(负值舍去),由bc=2,可得△ABC的面积S=bcsin A=×2×=.‎ ‎4.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=3,S△ABC=2,则b的值为(  )‎ A.6 B.3‎ C.2 D.2或3‎ 解析:选D 因为S△ABC=bcsin A=2,‎ 所以bc=6,‎ 又因为sin A=,‎ 所以cos A=,又a=3,‎ 由余弦定理得9=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.‎ ‎5.在△ABC中,2acos A+bcos C+ccos B=0,则角A的大小为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C 由余弦定理得2acos A+b·+c·=0,即2acos A+a=0,‎ ‎∴cos A=-,A=.‎ ‎6.(2017·山东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(  )‎ A.a=2b B.b=‎‎2a C.A=2B D.B=‎‎2A 解析:选A 由题意可知sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),即2sin Bcos C=sin Acos C,又cos C≠0,故2sin B=sin A,由正弦定理可知a=2b.‎ ‎7.在△ABC中,AB=,A=75°,B=45°,则AC=________.‎ 解析:C=180°-75°-45°=60°,‎ 由正弦定理得=,‎ 即=,解得AC=2.‎ 答案:2‎ ‎8.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,A=,b2sin C=4sin B,则△ABC的面积为________.‎ 解析:因为b2sin C=4sin B,‎ 所以b‎2c=4b,所以bc=4,‎ S△ABC=bcsin A=×4×=2.‎ 答案:2‎ ‎9.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=________.‎ 解析:∵3sin A=2sin B,∴‎3a=2b.‎ 又a=2,∴b=3.‎ 由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcos C,‎ ‎∴c2=22+32-2×2×3×=16,‎ ‎∴c=4.‎ 答案:4‎ ‎10.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若cos A=,c-a=2,b=3,则a=________.‎ 解析:由余弦定理可知,a2=b2+c2-2bccos A⇒a2=9+(a+2)2-2·3·(a+2)·⇒a=2.‎ 答案:2‎ B级——中档题目练通抓牢 ‎1.在△ABC中,若=3,b2-a2=ac,则cos B的值为(  )‎ A. B. ‎ C. D. 解析:选D 由题意知,c=‎3a,b2-a2=ac=c2-2accos B,所以cos B===.‎ ‎2.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a=2bcos C,则此三角形一定是(  )‎ A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析:选C 法一:由余弦定理可得a=2b·,‎ 因此a2=a2+b2-c2,得b2=c2,于是b=c,‎ 从而△ABC为等腰三角形.‎ 法二:由正弦定理可得sin A=2sin Bcos C,‎ 因此sin(B+C)=2sin Bcos C,‎ 即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,‎ 于是sin(B-C)=0,因此B-C=0,即B=C,‎ 故△ABC为等腰三角形.‎ ‎3.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B 因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0,‎ 所以sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0,‎ 所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,整理得sin C(sin A+cos A)=0.因为sin C≠0,‎ 所以sin A+cos A=0,所以tan A=-1,‎ 因为A∈(0,π),所以A=,‎ 由正弦定理得sin C===,‎ 又0<C<,所以C=.‎ ‎4.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,sin A,sin B,sin C成等差数列,且a=‎2c,则cos A=________.‎ 解析:因为sin A,sin B,sin C成等差数列,所以2sin B=sin A+sin C.由正弦定理得a+c=2b,又a=‎2c,可得b=c,所以cos A===-.‎ 答案:- ‎5.已知△ABC中,AC=4,BC=2,∠BAC=60°,AD⊥BC于点D,则的值为________.‎ 解析:在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-‎2AC·AB·cos∠BAC,即28=16+AB2-4AB,解得AB=6(AB=-2舍去),则cos∠ABC==,BD=AB·cos∠‎ ABC=6×=,CD=BC-BD=2-=,所以=6.‎ 答案:6‎ ‎6.(2018·贵州适应性考试)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B=4,bsin A=3.‎ ‎(1)求tan B及边长a的值;‎ ‎(2)若△ABC的面积S=9,求△ABC的周长.‎ 解:(1)在△ABC中,acos B=4,bsin A=3,‎ 两式相除,有==tan B=,‎ 由sin2B+cos2B=1,=,‎ 得cos B=,又因为acos B=4,所以a=5.‎ ‎(2)由(1)知,sin B=,‎ 由S=acsin B=×5×c=9,得c=6.‎ 由b2=a2+c2-2accos B=25+36-2×5×6×=13,‎ 得b=.‎ 故△ABC的周长为11+.‎ ‎7.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.‎ ‎(1)求c;‎ ‎(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.‎ 解:(1)由已知可得tan A=-,所以A=.‎ 在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos ,‎ 即c2+‎2c-24=0.‎ 解得c=4(负值舍去).‎ ‎(2)由题设可得∠CAD=,‎ 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=-=.‎ 故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为 =1.‎ 又△ABC的面积为×4×2×sin=2,‎ 所以△ABD的面积为.‎ C级——重难题目自主选做 ‎(2018·昆明质检)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=2,BD=,∠BCD=2∠ABD,△ABD的面积为2.‎ ‎(1)求AD的长;‎ ‎(2)求△CBD的面积.‎ 解:(1)由已知S△ABD=AB·BD·sin∠ABD=×2××sin∠ABD=2,可得sin∠ABD=,又∠BCD=2∠ABD,所以∠ABD∈,所以cos∠ABD=.‎ 在△ABD中,由余弦定理AD2=AB2+BD2-2·AB·BD·cos∠ABD,可得AD2=5,所以AD=.‎ ‎(2)由AB⊥BC,得∠ABD+∠CBD=,‎ 所以sin∠CBD=cos∠ABD=.‎ 又∠BCD=2∠ABD,‎ 所以sin∠BCD=2sin∠ABD·cos∠ABD=,‎ ‎∠BDC=π-∠CBD-∠BCD=π--2∠ABD=-∠ABD=∠CBD,‎ 所以△CBD为等腰三角形,即CB=CD.‎ 在△CBD中,由正弦定理=,‎ 得CD===,‎ 所以S△CBD=CB·CD·sin∠BCD=×××=.‎ ‎(二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 ‎1.在△ABC中,A=45°,C=105°,BC=,则AC为(  )‎ A.-1          B.1‎ C.2 D.+1‎ 解析:选B 因为A=45°,C=105°,‎ 所以B=180°-C-A=30°,‎ 由正弦定理得AC===1.‎ ‎2.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=3,S△ABC=2,则b的值为(  )‎ A.6 B.3‎ C.2 D.2或3‎ 解析:选D 因为S△ABC=bcsin A=2,‎ 所以bc=6,又因为sin A=,所以cos A=,又a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.‎ ‎3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a=2bcos C,则此三角形一定是(  )‎ A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析:选C 法一:由余弦定理可得a=2b·,‎ 因此a2=a2+b2-c2,得b2=c2,于是b=c,‎ 从而△ABC为等腰三角形.‎ 法二:由正弦定理可得sin A=2sin Bcos C,‎ 因此sin(B+C)=2sin Bcos C,‎ 即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,‎ 于是sin(B-C)=0,因此B-C=0,即B=C,‎ 故△ABC为等腰三角形.‎ ‎4.(2018·合肥质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为(  )‎ A.4π B.8π C.9π D.36π 解析:选C 由余弦定理得b·+a·=2.即=2,整理得c=2,由cos C=得sin C=,再由正弦定理可得2R==6,所以△ABC的外接圆面积为πR2=9π.‎ ‎5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是(  )‎ A.3 B. C. D.3 解析:选C ∵c2=(a-b)2+6,∴a2+b2-c2=2ab-6,‎ 又cos C===,∴ab=6,‎ ‎∴S△ABC=absin C=×6×=.‎ ‎6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=________.‎ 解析:∵3sin A=2sin B,∴‎3a=2b.‎ 又a=2,∴b=3.‎ 由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcos C,‎ ‎∴c2=22+32-2×2×3×=16,‎ ‎∴c=4.‎ 答案:4‎ ‎7.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,A=,b2sin C=4sin B,则△ABC的面积为________.‎ 解析:因为b2sin C=4sin B,‎ 所以b‎2c=4b,所以bc=4,‎ S△ABC=bcsin A=×4×=2.‎ 答案:2‎ ‎8.已知△ABC中,AC=4,BC=2,∠BAC=60°,AD⊥BC于点D,则的值为________.‎ 解析:在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-‎2AC·AB·cos∠BAC,即28=16+AB2-4AB,解得AB=6(AB=-2,舍去),则cos∠ABC==,BD=AB·cos∠ABC=6×=,CD=BC-BD=2-=,所以=6.‎ 答案:6‎ ‎9.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.‎ ‎(1)求cos B;‎ ‎(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.‎ 解:(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2 ,‎ 即sin B=4(1-cos B),‎ 故17cos2B-32cos B+15=0,‎ 解得cos B=或cos B=1(舍去).‎ ‎(2)由cos B=,得sin B=,‎ 故S△ABC=acsin B=ac.‎ 又S△ABC=2,则ac=.‎ 由余弦定理及a+c=6得 b2=a2+c2-2accos B ‎=(a+c)2-‎2ac(1+cos B)‎ ‎=36-2×× ‎=4.‎ 所以b=2.‎ ‎10.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.‎ ‎(1)求c;‎ ‎(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.‎ 解:(1)由已知可得tan A=-,所以A=.‎ 在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos ,‎ 即c2+‎2c-24=0.‎ 解得c=4(负值舍去).‎ ‎(2)由题设可得∠CAD=,‎ 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=-=.‎ 故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为 =1.‎ 又△ABC的面积为×4×2×sin=2,‎ 所以△ABD的面积为.‎ B级——拔高题目稳做准做 ‎1.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若S△ABC=2,a+b=6,=2cos C,则c等于(  )‎ A.2 B.2 C.4 D.3 解析:选B 因为===1,所以2cos C=1,所以C=60°.‎ 因为S△ABC=2,所以absin C=2,所以ab=8.‎ 因为a+b=6,‎ 所以c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=62-3×8=12,所以c=2.‎ ‎2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin A-sin B=sin C,3b=‎2a,2≤a2+ac≤18,设△ABC的面积为S,p=a-S,则p的最大值是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D 在△ABC中,由sin A-sin B=sin C结合正弦定理可得,c=‎3a-3b,再根据3b=‎2a,2≤a2+ac≤18,可得a=c,1≤a≤3,由余弦定理可得b2==a2+a2-‎2a·acos B⇒‎ cos B=,可得sin B=,所以S=acsin B=a2,故p=a-S=a-a2,根据二次函数的图象可得,当a=时,p取得最大值.‎ ‎3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果△ABC的面积等于8,a=5,tan B=-,那么=________.‎ 解析:∵tan B=-,‎ ‎∴sin B=,cos B=-,‎ 又S△ABC=acsin B=‎2c=8,‎ ‎∴c=4,∴b==,‎ ‎∴==.‎ 答案: ‎4.(2018·洛阳统考)在△ABC中,B=30°,AC=2 ,D是AB边上的一点,CD=2,若∠ACD为锐角,△ACD的面积为4,则BC=________.‎ 解析:依题意得S△ACD=CD·AC·sin∠ACD=2·sin∠ACD=4,解得sin∠ACD=.‎ 又∠ACD是锐角,因此cos ∠ACD=.‎ 在△ACD中,AD==4.由正弦定理得,=,‎ 即sin A==.‎ 在△ABC中,=,即BC==4.‎ 答案:4‎ ‎5.(2018·湖北七市联考)如图,已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=120°.‎ ‎(1)若c=1,求△ABC面积的最大值;‎ ‎(2)若a=2b,求tan A.‎ 解:(1)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos 120°=1,‎ ‎∴a2+b2+ab=1≥2ab+ab=3ab,‎ 当且仅当a=b时取等号,∴ab≤,‎ 故S△ABC=absin C=ab≤,‎ 即△ABC面积的最大值为.‎ ‎(2)∵a=2b,∴由正弦定理得sin A=2sin B,‎ 又C=120°,故A+B=60°,‎ ‎∴sin A=2sin(60°-A)=cos A-sin A,‎ ‎∴cos A=2sin A,∴tan A=.‎ ‎6.(2018·昆明质检)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=2,BD=,∠BCD=2∠ABD,△ABD的面积为2.‎ ‎(1)求AD的长;‎ ‎(2)求△CBD的面积.‎ 解:(1)由已知S△ABD=AB·BD·sin∠ABD=×2××sin∠ABD=2,可得sin∠ABD=,‎ 又∠BCD=2∠ABD,所以∠ABD∈,‎ 所以cos∠ABD=.‎ 在△ABD中,由余弦定理AD2=AB2+BD2-2·AB·BD·cos∠ABD,可得AD2=5,‎ 所以AD=.‎ ‎(2)由AB⊥BC,得∠ABD+∠CBD=,‎ 所以sin∠CBD=cos∠ABD=.‎ 又∠BCD=2∠ABD,所以sin∠BCD=2sin∠ABD·cos∠ABD=,‎ ‎∠BDC=π-∠CBD-∠BCD=π--2∠ABD=-∠ABD=∠CBD,‎ 所以△CBD为等腰三角形,即CB=CD.‎ 在△CBD中,由正弦定理=,‎ 得CD===,‎ 所以S△CBD=CB·CD·sin∠BCD=×××=.‎ A组 ‎1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足=,则A=(  )‎ A.         B. C. D.或 解析:选B 由=,结合正弦定理,得=,整理得b2+c2-a2=bc,所以cos A==,由A为三角形的内角,知A=.‎ ‎2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=1,B=,tan A=2,则a=(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C 由题意知,sin A=,由=,得=,解得a=.‎ ‎3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin A=2sin Bsin C,且BC边上的高为,则+的最大值为(  )‎ A.2 B. C.2 D.4‎ 解析:选C 由sin A=2sin Bsin C,根据正弦定理,得a2=2bcsin A,代入cos A=中,得b2+c2=2bc(cos A+sin A),所以+=2(cos A+sin A)=2sinA+,当A=时,+取得最大值2.‎ ‎4.(2018·江西丰城中学测试)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a+‎ b=,△ABC的面积为sin C,sin A+sin B=sin C,则C的值为________.‎ 解析:由△ABC的面积为absin C=sin C,得ab=.‎ 又a+b=且sin A+sin B=sin C,‎ 所以a+b=c,c=1,‎ 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=2-2×=,‎ 则cos C===,故C=.‎ 答案: ‎5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足b2-a2=ac,则-的取值范围是________.‎ 解析:由余弦定理得b2-a2=(a2+c2-2accos B)-(b2+c2-2bccos A)=a2-b2+‎2c(bcos A-acos B),即b2-a2=c(bcos A-acos B)=ac⇒bcos A-acos B=a⇒sin(B-A)=sin A⇒B=‎2A.又△ABC为锐角三角形,所以