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- 2021-06-11 发布
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第2讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质;2.以基本初等函数为依托,考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理;3.能利用函数解决简单的实际问题.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅰ卷)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
解析 令t=2x=3y=5z,
∵x,y,z为正数,∴t>1.
则x=log2t=,同理,y=,z=.
∴2x-3y=-=
=>0,
∴2x>3y.
又∵2x-5z=-=
=<0,
∴2x<5z,∴3y<2x<5z.
答案 D
2.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )
A.- B.
C. D.1
解析 f(x)=(x-1)2+a(ex-1+e1-x)-1,令t=x-1,则g(t)=f(t+1)=t2+a(et+
e-t)-1.
∵g(-t)=(-t)2+a(e-t+et)-1=g(t),
∴函数g(t)为偶函数.
∵f(x)有唯一零点,∴g(t)也有唯一零点.
又g(t)为偶函数,由偶函数的性质知g(0)=0,
∴2a-1=0,解得a=.
答案 C
3.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.
解析 一年的总运费与总存储费用之和为y=6×+4x=+4x≥2=240,当且仅当=4x,即x=30时,y有最小值240.
答案 30
4.(2015·湖北卷)函数f(x)=2sin xsin-x2的零点个数为________.
解析 f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin 2x与y2=x2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin 2x与y2=x2的图象如图所示:
由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.
答案 2
考 点 整 合
1.指数与对数式的七个运算公式
(1)am·an=am+n;
(2)(am)n=amn;
(3)loga(MN)=logaM+logaN;
(4)loga=logaM-logaN;
(5)logaMn=nlogaM;
(6)alogaN=N;
(7)logaN=(注:a,b>0且a,b≠1,M>0,N>0).
2.指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分01两种情况,当a>1时,两函数在定义域内都为增函数,当00,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=loga|x|的图象大致是( )
(2)(2017·山东卷)若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是( )
A.f(x)=2-x B.f(x)=x2
C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x
解析 (1)由于y=a|x|的值域为{y|y≥1},
∴a>1,则y=logax在(0,+∞)上是增函数,
又函数y=loga|x|的图象关于y轴对称.
因此y=loga|x|的图象应大致为选项B.
(2)若f(x)具有性质M,则[exf(x)]′=ex[f(x)+f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立,即f(x)+f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立.
对于选项A,f(x)+f′(x)=2-x-2-xln 2=2-x(1-ln 2)>0,符合题意.
经验证,选项B,C,D均不符合题意.
答案 (1)B (2)A
探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a的范围.
2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x2-3x+2)的单调区间,只考虑t=x2-3x+2与函数y=ln t的单调性,忽视t>0的限制条件.
【训练1】 (1)(2017·长沙一模)函数y=ln |x|-x2的图象大致为( )
(2)(2017·成都冲刺)设函数f(x)=则满足f(f(t))=2f(t)的t的取值范围是________.
解析 (1)令f(x)=y=ln|x|-x2,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)且f(-x)=ln|-x|-(-x)2=ln |x|-x2=f(x),故函数y=ln|x|-x2为偶函数,其图象关于y轴对称,排除B,D;当x>0时,y=ln x-x2,则y′=-2x,当x∈时,y′=-2x>0,y=ln x-x2单调递增,排除C.A项满足.
(2)若f(t)≥1,显然成立,则有或
解得t≥-.
若f(t)<1,由f(f(t))=2f(t),可知f(t)=-1,
所以t+=-1,得t=-3.
综上,实数t的取值范围是.
答案 (1)A (2)
热点二 函数的零点与方程
命题角度1 确定函数零点个数或其存在范围
【例2-1】 (1)函数f(x)=log2x-的零点所在的区间为( )
A. B.
C.(1,2) D.(2,3)
(2)(2017·武汉二模)函数f(x)=4cos2cos-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为________.
解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.
f=log2-=-1-2=-3<0,
f(1)=log21-=0-1<0,
f(2)=log22-=1-=>0,
f(3)=log23->1-=>0,即f(1)·f(2)<0,
∴函数f(x)=log2x-的零点在区间(1,2)内.
(2)f(x)=4cos2sin x-2sin x-|ln(x+1)|=2sin x·-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|,令f(x)=0,得sin 2x=|ln(x+1)|.
在同一坐标系中作出两个函数y=sin 2x与函数y=|ln(x+1)|的大致图象如图所示.
观察图象可知,两函数图象有2个交点,故函数f(x)有2个零点.
答案 (1)C (2)2
探究提高 1.函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的类型有:(1)函数零点值大致存在区间的确定;(2)零点个数的确定;(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.
2.判断函数零点个数的主要方法:
(1)解方程f(x)=0,直接求零点;(2)利用零点存在定理;
(3)数形结合法:对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.
命题角度2 根据函数的零点求参数的取值或范围
【例2-2】 (2017·历城冲刺)已知函数f(x)=ln+x3,若函数y=f(x)+f(k-x2)有两个零点,则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 因为f(x)=ln+x3在区间(-1,1)上单增,且是奇函数,令y=f(x)+
f(k-x2)=0,则f(x)=-f(k-x2)=f(x2-k);
由函数y=f(x)+f(k-x2)有两个零点,等价于方程x2-x-k=0在区间(-1,1)上有两个根,
令g(x)=x2-x-k,则满足解得-0时,由f(x)=ln x=0,得x=1.
因为函数f(x)有两个不同的零点,
则当x≤0时,函数f(x)=2x-a有一个零点,
令f(x)=0得a=2x,
因为0<2x≤20=1,所以0200,得1.12n>.
两边取对数,得n·lg1.12>lg 2-lg 1.3,
∴n>≈=,∴n≥4,
∴从2019年开始,该公司投入的研发资金开始超过200万元.
答案 B
(2)解 ①当x=0时,C=8,∴k=40,
∴C(x)=(0≤x≤10),
∴f(x)=6x+=6x+(0≤x≤10).
②由①得f(x)=2(3x+5)+-10.
令3x+5=t,t∈[5,35],
则y=2t+-10,∴y′=2-,
当5≤t<20时,y′<0,y=2t+-10为减函数;
当200,y=2t+-10为增函数.
∴函数y=2t+-10在t=20时取得最小值,此时x=5,
因此f(x)的最小值为70.
∴隔热层修建5 cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.
探究提高 解决函数实际应用题的两个关键点
(1)认真读题,缜密审题,准确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学地抽象概括,将实际问题归纳为相应的数学问题.
(2)要合理选取参变量,设定变量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模型,最终求解数学模型使实际问题获解.
【训练3】 (2017·成都调研)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
解析 由已知条件,得192=eb,
又48=e22k+b=eb·(e11k)2,
∴e11k===,
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时,
则t=e33k+b=192 e33k=192(e11k)3=192×=24.
答案 24
1.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a(a>0,且a≠1)的取值影响,解题时一定要注意讨论,并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.
2.(1)忽略概念致误:函数的零点不是一个“点”,而是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)零点存在性定理注意两点:
①满足条件的零点可能不唯一;②不满足条件时,也可能有零点.
3.利用函数的零点求参数范围的主要方法:
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.
4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法:
(1)构建二次函数模型,常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.
(2)构建分段函数模型,应用分段函数分段求解的方法.
(3)构建f(x)=x+(a>0)模型,常用基本不等式、导数等知识求解.
一、选择题
1.(2017·北京卷)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361
,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据:lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053
C.1073 D.1093
解析 M≈3361,N≈1080,≈,
则lg≈lg=lg 3361-lg1080=361lg 3-80≈93.∴≈1093.
答案 D
2.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )
A.,0 B.-2,0
C. D.0
解析 当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0.
当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,
又因为x>1,所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.
答案 D
3.(2017·西安调研)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析 由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.
答案 B
4.(2017·长郡中学二模)函数f(x)=ln x+ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )
A. B.
C.(1,e) D.(e,+∞)
解析 函数f(x)=ln x+ex在(0,+∞)上单调递增,因此函数f(x)最多只有一个零点.
当x→0+时,f(x)→-∞;又f=ln+e=e-1>0,
∴函数f(x)=ln x+ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是.
答案 A
5.(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有 L,则m的值为( )
A.5 B.8
C.9 D.10
解析 ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等,
∴函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=a,
可得n=ln,∴f(t)=a·,
因此,当k min后甲桶中的水只有 L时,
f(k)=a·=a,即=,
∴k=10,由题可知m=k-5=5.
答案 A
二、填空题
6.(2016·浙江卷)已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a=________,b=________.
解析 设logba=t,则t>1,因为t+=,解得t=2,所以a=b2,因此ab=(b2)b=b2b=ba,∴a=2b,b2=2b,又b>1,解得b=2,a=4.
答案 4 2
7.(2017·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是________.
解析 令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,则f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),
因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ,只有一个实根,即2x2-x+1+λ
=0只有一个实根,
则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.
答案 -
8.(2017·北京燕博园研究中心)函数f(x)=若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
解析 设t=f(x),令f(f(x))-a=0,则a=f(t).在同一坐标系内作y=a,y=f(t)的图象(如图).
当a≥-1时,y=a与y=f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1)且t1<-1,t2≥-1,当t1<-1时,t1=f(x)有一解;当t2≥-1时,t2=f(x)有两解.综合当a≥-1时,函数g(x)=f[f(x)]-a有三个不同的零点.
答案 [-1,+∞)
三、解答题
9.(2017·天津期末)已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;
(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.
解 (1)∵f(x)=ex-,
∴f′(x)=ex+,
∴f′(x)>0对任意x∈R都成立,
∴f(x)在R上是增函数.
又∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立,
⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R都成立,
⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立,
⇔t2+t≤x2+x=-对一切x∈R都成立,
⇔t2+t≤(x2+x)min=-⇔t2+t+=≤0,
又≥0,∴=0,∴t=-.
∴存在t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立.
10.(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a,b的值;
(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?
解 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,故有a+blog3=0,
即a+b=0;
当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,故有a+blog3=1,整理得a+2b=1.
解方程组得
(2)由(1)知,v=-1+log3.
所以要使飞行速度不低于2 m/s,则有v≥2,
即-1+log3≥2,即log3≥3,解得Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位.
11.(2017·山东卷改编)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,求正实数m的取值范围.
解 y=(mx-1)2=m2,相当于y=x2向右平移个单位,再将函数值放大m2倍得到的;
y=+m相当于y=向上平移m个单位.
①若0<m≤1,两函数的图象如图1所示,可知两函数在x
∈[0,1]上有且只有1个交点,符合题意.
②若m>1,两函数的大致图象如图2所示.
为使两函数在x∈[0,1]上有且只有1个交点,只需(m-1)2≥1+m,得m≥3或m≤0(舍去).
综上,正实数m的取值范围是m∈(0,1]∪[3,+∞).