高考数学复习专题模拟：第五章 平面向量、解三角形 第二节 解三角形 109页

‎【数学】2014版《6年高考4年模拟》‎ 第五章 平面向量、解三角形 第二节 解三角形 第一部分 六年高考荟萃 ‎2013年高考题 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 答案：B 因为，所以 又。联立两式得。‎ 所以。选B ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC中, 则 = (A) (B) (C) (D) ‎ 答案：C ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））在,内角所对的边长分别为且,则 A. B. C. D. ‎ 答案：A 根据正弦定理得，,即，所以，即，因为，所以。选A.‎ ．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中,角所对的边长分别为.若 A. B. C. D. ‎ 答案：D 本题考查正弦定理的应用。由正弦定理得得,即，以为三角形为锐角，所以,选D.‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））中,,是的中点,若,则________.‎ 答案： ‎ 设BC=‎2a，AC=b，则AM=，AB=，sinÐABM= sinÐABC==，在△ABM中，由正弦定理=，即=，解得‎2a2=b2，于是sinÐBAC===．‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图中,已知点D在BC边上,ADAC,则的长为_______________ ‎ 答案： ‎ 根据余弦定理可得 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设的内角所对边的长分别为.若,则则角_____.‎ 答案： ‎ ‎ ‎ 所以 ．（2013年高考北京卷（理））在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.‎ ‎(I)求cosA的值; (II)求c的值.‎ 解:(I)因为a=3,b=2,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得.所以.故. (II)由(I)知,所以.又因为∠B=2∠A,所以.所以. 在△ABC中,. 所以. ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在中,内角的对边分别是,且.‎ ‎(1)求; (2)设,求的值.‎ ‎ 由题意得 ‎ ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））设的内角的对边分别为,.‎ ‎(I)求 ‎(II)若,求.‎ ‎ ‎ ‎ ．（2013年高考四川卷（理））在中,角的对边分别为,且.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.‎ 解:由,得 , 即, 则,即 由,得, 由正弦定理,有,所以,. 由题知,则,故. 根据余弦定理,有, 解得或(舍去). 故向量在方向上的投影为 ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△的内角所对的边分别为,且,,.‎ ‎(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.‎ 解:(Ⅰ)由余弦定理,得, 又,,,所以,解得,. (Ⅱ)在△中,, 由正弦定理得 , 因为,所以为锐角,所以 因此 . ‎ ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,.‎ ‎(1)求索道的长;‎ ‎(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?‎ ‎(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?‎ C B A 解:(1)∵, ∴∴, ∴ ‎ 根据得 (2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则 ∴ ∵即 ∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理得(m) 乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走‎710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V ,则 ∴∴ ∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内 法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D, 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k, AB=52k,由AC=63k=‎1260m, 知:AB=52k=‎1040m. (2)设乙出发x分钟后到达点M, 此时甲到达N点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由(1)知:BC=‎500m,甲到C用时:=(min). 若甲等乙3分钟,则乙到C用时:+3= (min),在BC上用时: (min) . 此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min. 若乙等甲3分钟,则乙到C用时:-3= (min),在BC上用时: (min) . ‎ 此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min. 故乙步行的速度应控制在[,]范围内. C B A D M N ‎ ．（2013年高考湖北卷（理））在中,角,,对应的边分别是,,.已知.‎ ‎(I)求角的大小;‎ ‎(II)若的面积,,求的值.‎ 解:(I)由已知条件得: ,解得,角 (II),由余弦定理得:, ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））△在内角的对边分别为,已知. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求△面积的最大值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°‎ ‎(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA ‎ ‎(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=; (Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化简得,, ∴=,∴=. ‎ ．（2013年高考江西卷（理））在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.‎ ‎(1) 求角B的大小;若a+c=1,求b的取值范围 解:(1)由已知得 即有 因为,所以,又,所以, 又,所以. (2)由余弦定理,有. 因为,有. 又,于是有,即有. ‎ ‎2012年高考题 一、选择题 ‎1 ．（2012年高考（上海文））在中,若,则的形状是 （　　）‎ A．钝角三角形. B．直角三角形. C．锐角三角形. D．不能确定.‎ ‎ [解析] 由条件结合正弦定理,得,再由余弦定理,得, ‎ 所以C是钝角,选A. ‎ ‎2．（2012年高考（湖南文））在△ABC中,AC= ,BC=2,B =60°,则BC边上的高等于 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】设,在△ABC中,由余弦定理知, ‎ 即,又 ‎ 设BC边上的高等于,由三角形面积公式,知 ‎ ‎,解得. ‎ ‎【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容. ‎ ‎3．（2012年高考（湖北文））设的内角所对的边分别为,若三边的长为连续的三个正整数,且,,则为 （　　）‎ A．4∶3∶2 B．5∶6∶‎7 ‎C．5∶4∶3 D．6∶5∶4‎ D【解析】因为为连续的三个正整数,且,可得,所以①;又因为已知,所以②.由余弦定理可得③,则由②③可得④,联立①④,得,解得或(舍去),则,.故由正弦定理可得,.故应选D. ‎ ‎【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用. ‎ ‎4．（2012年高考（广东文））(解三角形)在中,若,,,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 解析:B.由正弦定理,可得,所以. ‎ ‎5 ．（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 【答案】A ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力. ‎ ‎【解析】∵,由正弦定理得,又∵,∴,所以,易知,∴,=. ‎ ‎6 ．（2012年高考（上海理））在中,若,则 的形状是 （　　）‎ A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.‎ ‎ [解析] 由条件结合正弦定理,得,再由余弦定理,得, ‎ 所以C是钝角,选C. ‎ ‎7 ．（2012年高考（陕西理））在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 解析:由余弦定理得,当且仅当时取“=”,选C. ‎ 二、填空题 ‎1．（2012年高考（重庆文））设△的内角 的对边分别为,且,则____‎ ‎【答案】: ‎ ‎【解析】,由余弦定理得,则,即,故. ‎ ‎【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系式求出的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值. ‎ ‎2．（2012年高考（陕西文））在三角形ABC中,角A,B,C所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=,c=2,则b=______‎ 解析:由余弦定理得,,所以. ‎ ‎3．（2012年高考（福建文））在中,已知,则_______.‎ ‎【答案】 【解析】由正弦定理得 ‎ ‎【考点定位】本题考查三角形中的三角函数,正弦定理,考醒求解计算能力. ‎ ‎4．（2012年高考（北京文））在△ABC中,若,,,则的大小为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】,而,故. ‎ ‎【考点定位】本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案. ‎ ‎5．（2012年高考（重庆理））设的内角的对边分别为,且则______‎ ‎ 【答案】 ‎ ‎【解析】由,由正弦定理得,由余弦定理 ‎ ‎【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值. ‎ ‎6．（2012年高考（湖北理））设△的内角,,所对的边分别为,,. 若,则角_________. ‎ 考点分析:考察余弦定理的运用. ‎ 解析:由 ‎ 根据余弦定理可得 ‎ ‎7．（2012年高考（福建理））已知得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设最小边为,则其他两边分别为,由余弦定理得,最大角的余弦值为 ‎ ‎ ‎ ‎【考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、余弦定理,考查分析推理能力、运算求解能力. ‎ ‎8．（2012年高考（北京理））在△ABC中,若,,,则___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】在中,得用余弦定理,化简得,与题目条件联立,可解得,答案为. ‎ ‎【考点定位】 本题考查的是解三角形,考查余弦定理的应用.利用题目所给的条件列出方程组求解. ‎ ‎9．（2012年高考（安徽理））设的内角所对的边为;则下列命题正确的是 ‎①若;则 ②若;则 ‎ ‎③若;则 ④若;则 ‎⑤若;则 ‎【解析】正确的是①②③ ‎ ‎① ‎ ‎② ‎ ‎③当时,与矛盾 ‎ ‎④取满足得: ‎ ‎⑤取满足得: ‎ 三、解答题 ‎1．（2012年高考（浙江文））在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.‎ ‎【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. ‎ ‎【解析】(1)bsinA=acosB,由正弦定理可得,即得,. ‎ ‎(2)sinC=2sinA,由正弦定理得,‎ 由余弦定理,,解得,. ‎ ‎2．（2012年高考（天津文））在中,内角所对的分别是.已知.‎ ‎(I)求和的值; (II)求的值.‎ 解:(1)在中,由,可得,又由及,,可得 ‎ 由,因为,故解得. ‎ 所以 ‎ ‎(2)由,,得, ‎ 所以 ‎ ‎3．（2012年高考（山东文））(本小题满分12分)‎ 在△ABC中,内角所对的边分别为,已知.‎ ‎(Ⅰ)求证:成等比数列;‎ ‎(Ⅱ)若,求△的面积S.‎ 解:(I)由已知得:, ‎ ‎,则, ‎ 再由正弦定理可得:,所以成等比数列. ‎ ‎(II)若,则,∴, ‎ ‎, ‎ ‎∴△的面积. ‎ ‎4．（2012年高考（辽宁文））在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求的值.‎ ‎【答案与解析】 ‎ ‎(1)由已知 ‎ ‎(2)解法一:,由正弦定理得 ‎ 解法二:,,由此得得 ‎ 所以, ‎ ‎【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. ‎ ‎5．（2012年高考（课标文））已知,,分别为三个内角,,的对边,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若=2,的面积为,求,.‎ ‎ 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题. ‎ ‎【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得 ‎ ‎ ‎ 由于,所以, ‎ 又,故. ‎ ‎(Ⅱ) 的面积==,故=4, ‎ 而 故=8,解得=2. ‎ 法二:解: 已知:,由正弦定理得: ‎ ‎ ‎ 因,所以: , ‎ 由公式:得: ‎ ‎,是的内角,所以,所以: ‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ 解得: ‎ ‎6．（2012年高考（江西文））△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.‎ ‎(1)求cosA;‎ ‎(2)若a=3,△ABC的面积为,求b,c.‎ ‎ 【解析】(1)‎ 则. ‎ ‎(2) 由(1)得,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 ‎ 则②,①②两式联立可得或 ‎. ‎ ‎7．（2012年高考（大纲文））中,内角A.B.C成等差数列,其对边满足,求.‎ ‎ 【命题意图】: 本试题主要考查了解三角形的运用.该试题从整体看保持了往年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路比较容易想,先利用等差数列得到角,然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案. ‎ ‎【解析】由A.B.C成等差数列可得,而,故且 ‎ 而由与正弦定理可得 ‎ 所以可得 ‎ ‎,由,故 ‎ 或,于是可得到或. ‎ ‎8．（2012年高考（安徽文））设的内角所对的边为,且有 ‎(Ⅰ)求角的大小;[‎ ‎(II) 若,,为的中点,求的长.‎ ‎ 【解析】(Ⅰ) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(II) ‎ 在中,‎ ‎9．（2012年高考（浙江理））在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC.‎ ‎(Ⅰ)求tanC的值;‎ ‎(Ⅱ)若a=,求ABC的面积.‎ ‎ 【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点. ‎ ‎(Ⅰ) ∵cosA=>0,∴sinA=, ‎ 又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA ‎ ‎=cosC+sinC. ‎ 整理得:tanC=. ‎ ‎(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC=. ‎ 又由正弦定理知:, ‎ 故. (1) ‎ 对角A运用余弦定理:cosA=. (2) ‎ 解(1) (2)得: or b=(舍去). ‎ ‎∴ABC的面积为:S=. ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) . ‎ ‎10．（2012年高考（辽宁理））在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求的值.‎ ‎【答案及解析】 ‎ ‎(1)由已知 ‎ ‎(2)解法一:,由正弦定理得 ‎ 解法二:,,由此得得 ‎ 所以, ‎ ‎【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. ‎ ‎11．（2012年高考（江西理））在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,.(1)求证:‎ ‎(2)若,求△ABC的面积.‎ 解:(1)证明:由 及正弦定理得: ‎ ‎, ‎ 即 ‎ 整理得:,所以,又 ‎ 所以 ‎ ‎(2) 由(1)及可得,又 ‎ 所以, ‎ 所以三角形ABC的面积 ‎ ‎【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查. ‎ ‎12．（2012年高考（江苏））在中,已知.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若求A的值.‎ ‎【答案】解:(1)∵,∴,即. ‎ 由正弦定理,得,∴. ‎ 又∵,∴.∴即. ‎ ‎(2)∵ ,∴.∴. ‎ ‎∴,即.∴. ‎ 由 (1) ,得,解得. ‎ ‎∵,∴.∴. ‎ ‎【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形. ‎ ‎【解析】(1)先将表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明. ‎ ‎(2)由可求,由三角形三角关系,得到,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值. ‎ ‎ ‎ ‎13．（2012年高考（大纲理））(注意:在试卷上作答无效)‎ 的内角、、的对边分别为、、,已知,求.‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关系,一个角的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好. ‎ ‎【解析】由, ‎ 由正弦定理及可得 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 故由与可得 ‎ 而为三角形的内角且,故,所以,故. ‎ ‎【点评】该试题从整体来看保持了往年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路也比较容易想,先将三角函数关系式化简后,得到角关系,然后结合,得到两角的二元一次方程组,自然很容易得到角的值. ‎ ‎2011年高考题 一、选择题 ‎1.（重庆理6）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且C=60°，则ab的值为 ‎ A． B． C． 1 D．‎ ‎【答案】A ‎2.（浙江理6）若，，，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎3.（天津理6）如图，在△中，是边上的点，且 ‎，则的值为 ‎ A．　　　 B． 　 ‎ ‎ C． 　　 D．‎ ‎【答案】D ‎4.（四川理6）在ABC中．．则A的取值范围是 ‎ ‎ A．（0，] B．[ ，） C．（0，] D．[ ，）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意正弦定理 ‎5.（辽宁理4）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos‎2A=，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D 二、填空题 ‎6.（上海理6）在相距‎2千米的．两点处测量目标，若 ‎，则．两点之间的距离是 千米。‎ ‎【答案】‎ ‎7.（全国新课标理16）中，，则AB+2BC的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎8.（福建理14）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。‎ ‎【答案】‎ ‎9.（北京理9）在中。若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。‎ ‎【答案】‎ ‎10.（安徽理14）已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的 ‎ 等差数列，则的面积为_______________.‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎11.（江苏15）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为 ‎（1）若 求A的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力。‎ 解：（1）由题设知 ‎，‎ ‎（2）由 故△ABC是直角三角形，且.‎ ‎12.（安徽理18）‎ 在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设求数列的前项和.‎ 本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.‎ ‎ 解：（I）设构成等比数列，其中则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ①×②并利用 ‎ ‎ ‎ （II）由题意和（I）中计算结果，知 ‎ 另一方面，利用 ‎ 得 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎13.（湖北理16）‎ 设的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知 ‎（Ⅰ）求的周长 ‎（Ⅱ）求的值 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分10分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ 的周长为 ‎ （Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ ，故A为锐角，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14.（湖南理17）‎ 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）求sinA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。‎ 解析：（I）由正弦定理得 因为所以 ‎（II）由（I）知于是 取最大值2．‎ 综上所述，的最大值为2，此时 ‎15.（全国大纲理17）‎ ‎ △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，a+c=b，求 C． ‎ 解：由及正弦定理可得 ‎ …………3分 ‎ 又由于故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………7分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎16.（山东理17）‎ 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．‎ ‎ （I）求的值；‎ ‎ （II）若cosB=，b=2，的面积S。 ‎ 解：‎ ‎ （I）由正弦定理，设 则 所以 即，‎ 化简可得 又，‎ 所以 因此 ‎ （II）由得 由余弦定理 解得a=1。‎ 因此c=2‎ 又因为 所以 因此 ‎17.（陕西理18）‎ 叙述并证明余弦定理。‎ 解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC中，a,b,c为A,B,C的对边，有 ‎ 证法一 如图 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 同理可证 ‎ ‎ 证法二 已知ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 同理可证 ‎ ‎ ‎18.（浙江理18）在中，角所对的边分别为a,b,c．‎ 已知且．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若角为锐角，求p的取值范围；‎ 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎ （I）解：由题设并利用正弦定理，得 解得 ‎ （II）解：由余弦定理，‎ 因为，‎ 由题设知 ‎2010年高考题 一、选择题 ‎1.（2010上海文）18.若△的三个内角满足，则△‎ ‎（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.‎ ‎（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.‎ ‎【答案】C 解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13‎ ‎ 由余弦定理得，所以角C为钝角 ‎2.（2010湖南文）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则 A.a＞b B.a＜b C. a＝b D.a与b的大小关系不能确定 ‎【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。‎ ‎3.（2010江西理）7.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。‎ 解法1：约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，‎ 解得 解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得 ‎，解得。‎ ‎4.（2010北京文）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 ‎（A）； （B）‎ ‎（C）； （D）‎ ‎【答案】A ‎5.（2010天津理）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。‎ 由由正弦定理得 ‎，‎ 所以cosA==，所以A=300‎ ‎【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。‎ ‎6.（2010湖南理）6、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120°，,则 A、a>b B、a40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.‎ 过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.‎ 在Rt中，PE=QE·sin ‎=‎ 所以船会进入警戒水域.‎ 第二部分 四年联考题汇编 ‎2013-2014年联考题 一．基础题组 ‎1. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知函数为奇函数，则的一个取值为（　）‎ A．0　　　　　 B．　　　　C．　　　　　 D．‎ ‎3. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】已知（ ）‎ A. B. C. D.-2 ‎ ‎4. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】已知ΔABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a = 1, 2cosC + c = 2b,则ΔABC的周长的取值范围是__________.‎ ‎5.【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分12分）‎ 在锐角中，分别为角的对边，且.‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若BC边上高为1，求面积的最小值？‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎6. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】在中，角所对的边为，且满足 ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）若且，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎7. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）已知a，b，c分别是的三个内角A，B， C的对边，‎ ‎(1)求A的大小；‎ ‎(2)当时，求的取值范围． ‎ 考点：1.正弦定理；2.两角和与差的正弦公式；3.倍角公式；4.三角函数的值域.‎ 二．能力题组 ‎1. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】在中,若,则的形状一定是（　　）‎ A．等边三角形 B． 直角三角形 C．钝角三角形 D．不含角的等腰三角形 ‎ ‎2. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知向量，若，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】函数的图像为，如下结论中错误的是（ ）‎ A．图像关于直线对称 ‎ B．图像关于点对称 ‎ C．函数在区间内是增函数 ‎ D．由得图像向右平移个单位长度可以得到图像 ‎【答案】C ‎4. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】设函数，且其图像关于直线对称，则（ ）‎ A．的最小正周期为，且在上为增函数 B．的最小正周期为，且在上为减函数 C．的最小正周期为，且在上为增函数 D．的最小正周期为，且在上为减函数 ‎5. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】已知函数则函数在[-1,1]上的单调增区间为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】(本小题满分12分) ‎ 在中,分别是内角的对边,且 ‎，若 ‎（1）求的大小;‎ ‎（2）设为的面积, 求的最大值及此时的值.‎ 试题解析：（1）因为，所以 根据正弦定理得,即 ‎ 由余弦定理得 又，‎ 所以 …………………………………………………6分 ‎7. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】（本小题满分12分）如图中，已知点在边上，满足，，，.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求.‎ 试题解析：(1) 因为，所以,‎ 即,…………………………….2分 在中，由余弦定理可知，‎ 即，‎ 解之得或 ……………………………………………….6分 由于，所以…………………………………………………..7分 ‎8. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】已知△ABC中，A，B， C的对边分别为a，b，c，且.‎ ‎（1）若，求边c的大小；‎ ‎（2）若a=‎2c，求△ABC的面积．‎ 试题解析：∵，∴，∴，‎ ‎∴或（舍），得，‎ 又∵，则，‎ 由正弦定理得，，得.‎ ‎9. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知向量，，‎ ‎(Ⅰ)若，求的值；‎ ‎(Ⅱ)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围．‎ 试题解析：（Ⅰ）∵，‎ 而，∴，∴，‎ ‎（Ⅱ）∵，∴，即，∴，‎ 又∵，∴，又∵，∴，∴.‎ 考点：1.向量的数量积；2.倍角公式；3.两角和与差的正弦公式；4.余弦公式；5.三角函数的值域.‎ ‎2012-2013年联考题 ‎1.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）已知函数 ‎ （Ⅰ）当时，求函数的最小值和最大值；‎ ‎ （Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且，‎ 若向量与向量共线，求的值。‎ ‎【答案】。‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，从而。‎ 则的最小值是，最大值是。‎ ‎（2），则，‎ ‎∵，∴，∴，解得。‎ ‎∵向量与向量共线，∴，‎ 由正弦定理得，　　 ①‎ 由余弦定理得，，即　　②‎ 由①②解得。‎ ‎2.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】（本小题满分12分）‎ ‎ 中，内角A、B、C成等差数列，其对边满足，求A.‎ ‎【答案】解：由成等差数列可得，而，‎ 故，且.………………3分 而由与正弦定理可得 …………5分 所以可得 ‎，………………9分 由，‎ 故或，于是可得到或. ………………12分 ‎3.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】（本小题满分12分）‎ 函数的部分图象如图所示.‎ ‎ （Ⅰ）求的最小正周期及解析式；‎ ‎（Ⅱ）设，求函数在区间上的最小值.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）由图可得，所以. ………………3分 当时，，可得，‎ ‎.………………6分 ‎（Ⅱ）‎ ‎ . ……………………9分 ‎.‎ 当，即时，有最小值为. ……………………12分 ‎4.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】23.已证：在中，分别是的对边.‎ 求证：.‎ ‎【答案】证法一：如图，在中，过点B作，垂足为D ‎，‎ ‎，…………………………2分 即， ………………4分 同理可证，‎ ‎. ……………………5分 证法二：‎ 如图，在中，过点B作，垂足为D ‎…………………………2分 ‎， ………………………………4分 ‎，‎ 同理可证，‎ ‎. ……………………5分 ‎5.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】本小题满分12分） ‎ 已知.‎ ‎（1）求函数的最小正周期;‎ ‎(2) 当,求函数的零点.‎ ‎【答案】解：（1）=, ………4分 ‎ 故 ………5分 ‎（2）令，=0，‎ 又， ………8分 ‎， ………9分 故 ，函数的零点是 . ………12分 ‎6.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）‎ 已知向量m=，n=，函数=mn.‎ ‎（1）求函数的对称中心；‎ ‎（2）在中，分别是角A,B,C的对边，且，，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）， ‎ ‎ ………2分 ‎. ………4分 ‎ 令得,,∴函数的对称中心为. ………5分 ‎(2），， ‎ C是三角形内角，∴ 即： ………7分 ‎ 即：． ………9分 将代入可得：，解之得：或4,‎ ‎， ………11分 ‎ ………12分 ‎7.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】（本小题满分12分）设函数.‎ ‎（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式；‎ ‎（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数，求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积。‎ ‎【答案】解（Ⅰ）， （2分）‎ ‎ ∴.‎ ‎ 由，得.‎ ‎ 故函数的单调递减区间是. （6分）‎ （2） ‎.‎ ‎ 当时，原函数的最大值与最小值的和，‎ ‎. （8分）‎ （2） 由题意知 （10分）‎ ‎ =1 （12分）‎ ‎8.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】（本小题满分12分）‎ 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，，且.‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（II）若的面积为，求b，c.‎ ‎【答案】‎ ‎9.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】（本小题满分12分）如图是单位圆上的动点，且分别在第一,二象限.是圆与轴正半轴的交点，为正三角形. 若点的坐标为. 记．‎ ‎（1）若点的坐标为,求的值； ‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）因为A点的坐标为，根据三角函数定义可知，‎ ‎，得，.................................2分 所以＝..........................5分 ‎（Ⅱ）因为三角形AOB为正三角形，所以， 所以 ‎==...............................6分 所以=.........7分 ‎ , ,‎ 即,.................................9分 ‎.................................10分 ‎10.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】已知A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),且|AB|=2,‎ ‎(1)求cos(α-β)的值;‎ ‎(2)设α∈(0,π/2),β∈(-π/2,0),且cos(5π/2-β)=-5/13,求sinα的值.‎ ‎【答案】解:(1)由题知,所以 ‎ ‎(2) ，又. ‎ 而则 ‎11.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】已知函数f(x)=2cosxsin(x+π/3)-sin2x+snxcosx ‎(1)求函数f(x)的单调递减区间; ‎ ‎(2)将函数f(x)的图象沿水平方向平移m个单位后的图象关于直线x=π/2对称,求m 的最小正值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2） ‎ ‎ ‎ ‎12.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】 在△ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos‎2a=，sinB=（共12分）‎ ‎（1）求A+B的值；（7分）‎ ‎ （2）若a-b=-1，求a，b，c的值。（5分）‎ ‎【答案】（1）cos‎2A=2cosA-1= ∴cosA=‎ ‎∵A锐角，∴cosA= 1分 sinA= 1分 sinB= B锐角 cosB= 1分 cos（A+B）=·-·==‎ ‎∴A+B= 2分 ‎（2）∵=== ∴ 1分 ==>b=1 1分 ‎ a= 1分 C= 1分 c=a+b-2abcosC=5 ∴c=‎ ‎13.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】 已知函数f（x）=sin+cos，x∈Ｒ（共12分）‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期和最小值；（6分）‎ ‎ （2） 已知cos（- ）=，cos（+ ）= -,0<<≤，求证：[f（）] -2=0.（6分）‎ ‎【答案】（1）f(x)=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin 1分 ‎ =sinx-cosx-cosx+sinx 1分 ‎ =sinx-cosx 1分 ‎ =2sin(x-) 1分 ‎∴T=2 1分 f（x）=-2 1分 ‎（2）[f（）] -2=4sin（-）-2=4·-2=-2sin 2分 Sin2=sin[（+）+（-）] 1分 cos2=-×-=-1‎ ‎∵0<+< ∴sin(+)= 1分 ‎0<-< ∴sin(-)= 1分 ‎∴sin2=×+(-)×=0 1分 ‎14.【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】（本小题满分13分，已知函数 ‎(1)求函数的最小正周期；‎ ‎(2)求使函数取得最大值的x集合；‎ ‎(3)若,且，求的值。‎ ‎【答案】‎ ‎15.【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】(本小题满分13分)在△ABC中，A，C为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且。‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求a，b，c的值；‎ ‎(3)已知，求的值。‎ ‎【答案】‎ ‎16.【山东省烟台市莱州一中‎20l3届高三第二次质量检测 （理）】（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m=（sinA,sinB），n=（cosB,cosA），m·n=—sin‎2C.‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若，求△ABC的面积S.‎ ‎【答案】‎ ‎17.【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（理）】（12分）设.‎ ‎（1）求的最小值及此时的取值集合；‎ ‎（2）把的图象向右平移m（m＞0）个单位后所得图象关于y轴对称，求m的最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎18.【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（理）】（12分）在三角形ABC中，角A、B、C满足.‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）求函数的值域.‎ ‎【答案】‎ ‎2011-2012年联考题 题组一 ‎1.（甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题） 若△的内角满足，则= （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案 A.‎ ‎2．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考文）‎ 在中，如果=，则此三角形最大角的余弦值是 ．‎ 答案 ‎ ‎3．（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）下图展示了一个由角的区间(0,)到实数集R的映射过程：区间(0,)中的角始边落在OA上,则终边对应半圆弧AB上的点M，如图1；将半圆弧围成一个椭圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其椭圆中心在y轴上，点A的坐标为，如图3中直线与x轴交于点，则的象就是n，记作．‎ ‎ ‎ 下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号) ‎ ‎①； ②是奇函数； ③是定义域上的单调函数； ‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ x y ‎④的图象关于点对称 ; ⑤的图象关于y轴对称 答案 ③④‎ ‎4.（浙江省嵊州二中2011届高三12月月考试题文）（本小题满分14分）已知中的内角的对边分别为，定义向量，‎ 且．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）如果，求的面积的最大值 答案 解：（Ⅰ） ‎ ‎ 即 ‎ 又为锐角 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴函数的单调递增区间是． 7分 ‎ （Ⅱ） ‎ ‎ 又 代入上式得：（当且仅当 时等号成立．）‎ ‎ （当且仅当 时等号成立．） 14分 ‎5．（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）(本小题满分12分)‎ 已知函数,‎ ‎（I）求函数的最小值和最小正周期；‎ ‎（II）设的内角的对边分别为，且，，若向量与向量共线，求的值.‎ 答案 解:（I）= …………3分 则的最小值是-2,最小正周期是. ……………………6分 ‎（II）,则=1,‎ ‎,,‎ ‎, , …………………………………………8分 向量与向量共线 ‎， ………………………………………………10分 由正弦定理得，　　　　 ①‎ 由余弦定理得，，即3=　　②‎ 由①②解得. ……………………………………………12分 ‎6、（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）(本题满分13分) ‎ A、B是直线 图像的两个相邻交点，且 （I）求的值； （II）在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 的面积为，求a的值.‎ 答案 ‎ 题组二 一、选择题 ‎1.（成都市玉林中学2010—2011学年度）函数，已知在时取得极值，则=‎ ‎（A）4 （B）3 （C）5 （D）2‎ 答案 C. 解：‎ ‎ 由已知时， 故选C ‎2．（成都市玉林中学2010—2011学年度） ‎ ‎ （A） （B） （C）— （D）—‎ 答案 C.‎ ‎3. (成都市玉林中学2010—2011学年度）已知定义域为R的函数在 上为减函数，且函数为偶函数，则 ‎ A． B．‎ ‎ C. D. ‎ 答案 D.‎ ‎4．(成都市玉林中学2010—2011学年度）的图象是：‎ ‎（A）关于原点成中心对称 （B）关于轴成轴对称 ‎（C）关于点成中心对称 （D）关于直线成轴对称 答案 D. 解：因为 ‎ 若是关于中心对称：则，故，所以不关于指定的点成中心对称；‎ ‎ 若是关于轴对称：则 ‎ 时，对称轴为 故选D D C P B A x y ‎0 4 9 14‎ ‎5.（江西省2011届高三文）直角梯形ABCD，如图1，动点P从B点出发，由B→C→D→A沿边运动，设动点P运动的路程为x，ΔABP面积为，已知图象如图2，则ΔABC面积为（ ）‎ ‎ 图1 图2‎ A．10 B．‎16 ‎ C．18 D．32‎ 答案 B.‎ ‎6．（江西省2011届高三理）若函数f(x)＝x－ 在(1，＋∞)上是增函数，则实数p的取值范围是 A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，1]‎ 答案 A.‎ ‎7．（四川省成都市玉林中学2011届高三理）的图象是：‎ A.关于原点成中心对称 B.关于轴成轴对称 C.关于点成中心对称 D.关于直线成轴对称 答案 解：因为 ‎ 若是关于中心对称：则，故，所以不关于指定的点成中心对称；‎ ‎ 若是关于轴对称：则 ‎ 时，对称轴为 故选D ‎8．（浙江省桐乡一中2011届高三理）要得到函数y=cos2x的图象，只需将函数y=cos(2x-)的图象 ‎（A）向右平移个单位 （B）向左平移个单位 ‎ （C）向右平移个单位 （D）向左平移个单位 答案 D.‎ ‎9.（四川省成都外国语学校2011届高三10月文）同时具有性质：“①对任意，恒成立；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的函数可以是（ ）‎ ‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案 B.‎ ‎10.（四川省成都外国语学校2011届高三10月文）．已知函数的图象在点A处的切线的斜率为4，则函数的最大值是（ ）‎ ‎ A. 1 B. ‎2 ‎‎ C. D.‎ 答案 B.‎ ‎11．（2011湖南嘉禾一中）的最大值 和最小正周期分别是 （ ）‎ A． B．2，2π C．，2π D．1，2π 答案 D.‎ ‎12．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）函数的图象为C，则下列论断中，正确论断的个数是（ ） 　 　　（1）图象C关于直线对称； 　 　　（2）函数在区间内是增函数； 　 　　（3）由函数的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. 　　A．0　　　 B．‎1　　‎　 C．2　　　 D．3‎ 答案 C.‎ ‎13．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）将函数的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是( )‎ ‎ ‎ 答案 A.‎ ‎14.（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）将函数的图象向右平移个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍,所得图象关于直线对称,则的最小正值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案 B.‎ ‎15.（福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷）‎ 在同一直角坐标系中，的图象和直线的交点个数是（ ） ‎ ‎ A． 0 B． ‎1 C． 2 D． 4‎ 答案 C.‎ ‎16．（福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷）‎ 函数 ，给出下列四个命题：‎ ‎（1）函数在区间上是减函数； ‎ ‎（2）直线是函数图象的一条对称轴；‎ ‎（3）函数 的图象可由函数的图象向左平移而得到；‎ ‎（4）若 ，则 的值域是 。‎ 其中正确命题的个数是 （ ） ‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．3 D．4‎ 答案 B.‎ 二、填空题 ‎17．（江苏泰兴市重点中学2011届理）函数的最小正周期 ‎ 答案 ，‎ ‎18．（江苏泰兴市重点中学2011届理）函数在上的最小值等于 ‎ 答案 -2。‎ ‎19．（江苏泰兴市重点中学2011届理）函数在上的单调增区间为 ‎ 答案 ，‎ ‎20．（江苏泰兴市重点中学2011届理）已知函数是奇函数，当时，‎ ‎，，则 _________‎ 答案 5‎ ‎21．（江苏泰兴市重点中学2011届理）设函数是定义在R上以3为周期的奇函数，若，，则a的取值范围是__________________________．‎ 答案 ，‎ ‎22.（江苏省2011届高三理）关于函数，有下列命题 ‎ ①其图象关于轴对称；‎ ‎ ②当时，是增函数；当时，是减函数；‎ ‎ ③的最小值是；‎ ‎ ④在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数 ‎ ‎ ⑤无最大值，也无最小值 ‎ 其中所有正确结论的序号是 ‎ 答案 ‎ ‎23.（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）函数的图象为，如下结论中正确的是_______‎ ‎（写出所有正确结论的编号） ‎ ‎ ①图象关于直线对称；‎ ‎ ②图象关于点对称；‎ ‎ ③函数在区间内是增函数；‎ ‎④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象 ‎ 答案 ①②③‎ ‎24．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）已知函数．给出下列命题：①必是偶函数；②当时，的图像必关于直线x＝1对称；③若，则在区间上是增函数；④有最大值． 其中正确的序号是 。‎ 答案 ③‎ 解：①不恒为偶函数；‎ ‎②，‎ 所以，若关于对称，‎ 若不恒关于对称；‎ ‎③时，整个图象在x轴的上方（或顶点在x轴上）‎ ‎，故在区间上是增函数；‎ ‎④无最大值。（开口向上）‎ ‎25．（成都市玉林中学2010—2011学年度）已知函数．给出下列命题：①必是偶函数；②当时，的图像必关于直线x＝1对称；③若，则在区间上是增函数；④有最大值． 其中正确的序号是 。‎ 答案 ③‎ 解：①不恒为偶函数；‎ ‎②，‎ 所以，若关于对称，‎ 若不恒关于对称；‎ ‎③时，整个图象在x轴的上方（或顶点在x轴上）‎ ‎，故在区间上是增函数；‎ ‎④无最大值。（开口向上）‎ 三、简答题 ‎ ‎26．（江苏泰兴市重点中学2011届理）（本小题满分14分）：已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点（1，3），（1）求实数的值；（2）求函数的值域 答案 解：（1）函数是奇函数，则 ‎ ………（3分）‎ ‎ 又函数的图像经过点（1，3），‎ ‎ ∴a=2 ……（6分）‎ ‎ （2）由（1）知………（7分）‎ ‎ 当时，当且仅当 ‎ 即时取等号…（10分）‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当且仅当即时取等号……………（13分）‎ ‎ 综上可知函数的值域为…………（12分）‎ ‎27．（江苏泰兴市重点中学2011届）（14分）已知 ‎ （1）若，求的值；‎ ‎ （2）若，求的值。‎ 答案（本题满分14分）‎ ‎ 解：（1）…………3分 ‎ …………6分 ‎ （2）…………8分 ‎ …………10分 ‎ 又……12分 ‎ ………………14分 ‎28．（2011湖南嘉禾一中）（本小题满分12 分）‎ ‎ 已知函数的最大值为1．‎ ‎ （1）求常数a 的值；‎ ‎ （2）求的单调递增区间；‎ ‎ （3）求≥ 0 成立的x 的取值集合．‎ 答案 （1）‎ ‎ ‎ ‎ 当 ‎ ……………………4分 ‎ （2）令 ………………6分 ‎ 解得：‎ ‎ 所以，的单调递增区间是…………8分 ‎ （3）由，……………………10分 ‎ 所以，‎ ‎ 解得：‎ ‎ 所以，的取值集合……12分 ‎29．（2011湖南嘉禾一中）（本题满分13 分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （1）若在的图象上横坐标为的点处存在垂直于y 轴的切线，求a 的值；‎ ‎ （2）若在区间（-2，3）内有两个不同的极值点，求a 取值范围；‎ ‎ （3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数的图象与函数的图象恰有三个交点，若存在，试出实数m 的值；若不存在，说明理由．‎ 答案 解：（1）依题意，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………………………3分 ‎ （2）若在区间（—2，3）内有两个不同的极值点，‎ ‎ 则方程在区间（—2，3）内有两个不同的实根，‎ ‎ ‎ ‎ 但a=0时，无极值点，‎ ‎ ∴a的取值范围为……………………8分 ‎ （3）在（1）的条件下，a=1，要使函数的图象恰有三个交点，等价于方程，‎ ‎ 即方程恰有三个不同的实根。‎ ‎ =0是一个根，‎ ‎ 应使方程有两个非零的不等实根，‎ ‎ 由………………12分 ‎ 存在的图象恰有三个交点…………………………13分 ‎30．（成都市玉林中学2010—2011学年度）（本题满分12分）已知向量a， b，若．（I）求函数的解析式和最小正周期；‎ ‎ (II) 若，求的最大值和最小值．‎ 答案 解：（I）∵a, b,‎ ‎∴a ·b+1----------------2分 ‎ ---------------------------------4分 ‎ --------------------------------------6分 ‎ ． -------------------------------------------7分 ‎ ∴函数的最小正周期． --------------------------8分 ‎ (II) ， ∴． ------------------------------------------------9分 ‎∴ ，；------------------11分 ‎，-----------------------12分 ‎31．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）（本题满分12分）已知向量a， b，若．（I）求函数的解析式和最小正周期；‎ ‎ (II) 若，求的最大值和最小值．‎ 答案 解：（I）∵a, b,‎ ‎∴a ·b+1----------------2分 ‎ ---------------------------------4分 ‎ --------------------------------------6分 ‎ ． -------------------------------------------7分 ‎ ∴函数的最小正周期． --------------------------8分 ‎ (II) ， ∴． ------------------------------------------------9分 ‎∴ ，；------------------11分 ‎，-----------------------12分 ‎32．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）（本题满分14分）已知二次函数，且满足.‎ ‎（1）证明：函数的图象交于不同的两点A，B；‎ ‎（2）若函数上的最小值为9，最大值为21，试求的值；‎ ‎（3）求线段AB在轴上的射影A1B1的长的取值范围.‎ 答案 ‎33.（1）由，‎ ‎ 即函数的图象交于不同的两点A，B； ……3分（2）‎ 已知函数的对称轴为，‎ 故在[2，3]上为增函数， ……………6分 ‎ ……8分 ‎（3）设方程 ‎ ……9分 ‎ ……10分 设的对称轴为上是减函数， ……12分 ‎34．（江苏泰兴市重点中学2011届）（14分）设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc ．‎ ‎ （Ⅰ） 求sinA的值；‎ ‎ （Ⅱ）求的值．‎ 答案 解：（Ⅰ）由余弦定理得 ‎ 又 ‎ （Ⅱ）原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎35．（江苏泰兴市重点中学2011届）（16分）已知函数（其中常数），是奇函数。‎ ‎ （1）求的表达式；‎ ‎ （2）讨论的单调性，并求在区间上的最大值和最小值。‎ 答案 解：（Ⅰ）由题意得 ‎ 因此 ‎ 因为函数是奇函数，所以，即对任意实数，有 ‎ ‎ ‎ 从而， ‎ ‎ 解得，因此的解析表达式为 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎ 所以 ‎ 解得 ‎ 则当时，‎ ‎ 从而在区间，上是减函数，‎ ‎ 当，‎ ‎ 从而在区间上是增函数，‎ ‎ 由前面讨论知，在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在时取得，‎ ‎ 而，因此在区间[1，2]上的最大值为，最小值为 ‎36．（江苏泰兴市重点中学2011届理）（本题满分16分）设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是M、m，集合．‎ ‎ （1）若，且，求M和m的值；‎ ‎ （2）若，且，记，求的最小值．‎ 答案 27．（1）由……………………………1分 ‎ 又 ‎…………………3分 …………4分 ‎ ‎ ‎ ……………………………5分 ‎ ……………………………6分 ‎ （2） x=1‎ ‎ ∴ ， 即 ……………………………8分 ‎ ∴f（x）=ax2+（1‎-2a）x+a, x∈[-2,2] 其对称轴方程为x=‎ ‎ 又a≥1，故1-……………………………9分 ‎ ∴M=f（-2）=‎9a-2 …………………………10分 ‎ m= ……………………………11分 ‎ g（a）=M+m=‎9a--1 ……………………………14分 ‎ = ………16分 ‎2010年联考题 题组二 ‎1.（马鞍山学业水平测试）△AOB是边长为1的等边三角形，O是原点，轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线的方程是 A． B． C． D． ‎ 答案 B ‎2．设点在内部，且，则的面积与的面积之比是 A．2：1 B．3：‎1 C．4：3 D．3：2‎ 答案：D ‎3. （祥云一中三次月考理）已知边长为1的正三角形中，则的值为 A． B． C． D． ‎ 答案：B ‎4．的三内角A，B，C所对边长分别是，设向量 ‎，若，则角的大小为_____________‎ 答案 ‎ ‎5.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）‎ ‎（1）由“若则”类比“若为三个向量则”‎ ‎（2）在数列中，猜想 ‎（3）在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”‎ ‎（4）已知，则.‎ 上述四个推理中，得出的结论正确的是____ .（写出所有正确结论的序号）‎ 答案（2）（3）‎ ‎6．（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）‎ 设的内角所对的边分别为且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的周长的取值范围.‎ 解：（1）由得 …………‎ 又 …………‎ ‎，，，‎ 又 …………‎ ‎（2）由正弦定理得：,‎ ‎………‎ ‎ …………‎ ‎ ‎ 故的周长的取值范围为. ………… ‎ ‎（2）另解：周长 由（1）及余弦定理 ‎ …………‎ ‎ ‎ ‎ …………‎ 又 即的周长的取值范围为. ………… ‎ ‎7．（肥城市第二次联考）（本小题满分12分）‎ 如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=‎0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到‎0.01km，1.414，2.449） ‎ 解:‎ 在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,‎ 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，‎ 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， ……5分 在△ABC中，‎ 即AB=‎ 因此，BD=‎ 故B，D的距离约为‎0.33km。 ……12分 ‎8.（池州市七校元旦调研）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b ‎ 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.‎ 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. ‎ 解法二:由余弦定理得: .又,。‎ 所以…………………………………①‎ 又，‎ ‎，即 由正弦定理得，故………………………②‎ 由①，②解得。‎ 题组一（1月份更新）‎ 一、选择题 ‎1、（2009青岛一模）已知点、分别为双曲线：的左焦点、右顶点，点满足，则双曲线的离心率为 A． B. C． 　D. ‎ 答案 D ‎2、（2009上海十四校联考）‎ 已知非零向量则△ABC的形状是 （ ）‎ ‎ A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 ‎ C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 答案 D ‎3、（2009枣庄一模）已知的三个内角A，B，C的对边，向量周长的最小值为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案 B ‎ E D A B C D1‎ 第4题 ‎4、（2009上海奉贤区模拟考）在正方体中，点E在A‎1C1上，且，则―――――――（ ）。‎ ‎（A），（B），‎ ‎（C），（D）.‎ 答案 D 二、填空题 ‎5、（2009深圳一模）已知是的中线，‎ ‎，那么 ；‎ 若，，则的最小值是 ．‎ 答案 1‎ 三、解答题 ‎6、（2009湛江一模）已知向量，，函数，．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．‎ 解：（Ⅰ） ---------2分 ‎∴函数的最小周期 ----------4分 ‎（Ⅱ）‎ ‎ -------------6分 ‎ ------------7分 ‎ 是三角形内角 ‎ ∴， ∴ 即： -------------8分 ‎ ∴ 即： ----------------10分 ‎ 将可得： 解之得：‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴ ------------12分 ‎7、（2009杭州高中第六次月考）已知A，B，C三点的坐标分别是A(3，0)，B(0，3)，C (cosθ，sinθ)，其中<θ<，且．‎ ‎ （1）求角θ的值；‎ ‎ （2）当0≤x≤时，求函数 的最大值和最小值．‎ 解：（1）=(cosθ-3,sinθ)，=(cosθ，sinθ-3) 2分 ‎ ∵ ∴‎ ‎ 化简得：sinθ=cosθ 5分 ‎ ∵<θ< ∴θ= 7分 ‎ （2）当0≤x≤时，≤2x+θ≤ 10分 ‎ ∴-1≤sin(2x+θ) ≤ ∴f(x)max= f(x)min=-2 14分 ‎8、（2009杭州学军中学第七次月考）已知向量,，,且A为锐角.‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）求函数的值域.‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎9、（2009嘉兴一中一模）已知的三内角，，所对边的长分别为，，，设向量，，．‎ ‎(1)求的值； (2)求的值．‎ 解：(1)因为，所以，得…………3分 ‎ 又因为…………………………………3分 ‎（2）由及，得，…………………………………2分 ‎ 所以，…………………………………2分 ‎ ，…………………………………2分 ‎ ………………………………2分 ‎10、（2009桐庐中学下学期第一次月考）已知A、B、C三点的坐标分别为、、‎