数学理卷·2017届安徽省黄山市高三第二次模拟考试（2017 13页

安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试 数学（理）试题 参考公式：如果事件、互斥, 那么 如果事件、互斥独立, 那么 如果随机变量，则 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 复数，若，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知数列的前项和为，且，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 在中，,给出满足的条件，就能得到动点的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：‎ 条件 ‎① 周长为 ‎②面积为 ‎③中，‎ 方程 则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 在区间上随机取一个的值，执行下面的程序框图，则输出的的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆推的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 已知，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 已知满足约束条件,若目标函数的最大值为，则（ ）‎ A．有最小值 B．有最大值 ‎ C. 有最小值 D．有最大值 ‎9. 《中国诗词大会》（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）‎ A．种 B．种 C. 种 D．种 ‎10.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎12. 将函数的图象向左平移个单位，得函数的图象(如图) ，点分别是函数图象上轴两侧相邻的最高点和最低点，设，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知，则在方向上的投影为 ．‎ ‎14. 若随机变量，且，则展开式中项的系数是 ．‎ ‎15. 祖暅（公元前5-6世纪)，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家. 他提出了一条原理：“幂势既同，則积不容异. ”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上. 以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明知总成立. 据此，短轴长为，长轴为的椭球体的体积是 ． ‎ ‎ ‎ ‎16. 设表示正整数的个位数，为数列的前 项和，函数，若函数满足，且，则数列的前项和为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 中，角所对的边分别为，向量 ，且的值为. ‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若 ，求的面积.‎ ‎18. 如图，四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证: 是的中点；‎ ‎（2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎19. 2016世界特色魅力城市强新鲜出炉，包括黄山市在内的个中国城市入选. 美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客. 现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了人，得如下所示的列联表：‎ 赞成“自助游”‎ 不赞成“自助游”‎ 合计 男性 女性 合计 ‎（1）若在这人中，按性别分层抽取一个容量为的样本，女性应抽人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？‎ ‎（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取人赠送精美纪念品，记这人中赞成“自助游”人数为，求的分布列和数学期望.‎ 附: ‎ ‎20. 已知椭圆的离心率，右焦点，过点的直线交椭圆于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点关于轴的对称点为 ，求证: 三点共线；‎ ‎(3) 当面积最大时，求直线的方程.‎ ‎21. 已知函数. ‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，过分别作曲线与的切线，且与关于轴对称，求证:.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，过点的直线交曲线于两点.‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程的化为普通方程；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若存在实数，使不等式能成立，求实数的最小值.‎ 安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题参考答案 一、选择题 ‎1-5: CADBB 6-10: DBAAB 11-12：BA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解：(1),‎ ‎.‎ ‎(2),由得，‎ ‎.‎ ‎18. 解：(1)证明：连交于，连是矩形，是中点.又面，且是面与面的交线，是的中点.‎ ‎(2)取中点，由（1）知两两垂直. 以为原点，‎ 所在直线分别为轴，‎ 轴，轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为.‎ 设存在满足要求，且，则由得：，面的一个法向量为，面的一个法向量为，由，得，解得，故存在，使二面角为直角，此时.‎ ‎19. 解：(1)‎ 赞成“自助游”‎ 不赞成“自助游”‎ 合计 男性 女性 合计 将列联表中的数据代入计算，得的观测值：‎ ‎，在犯错误的概率不超过 前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系.‎ ‎(2)的所有可能取值为：,依题意，‎ 的分布列为：‎ ‎.‎ ‎20. 解：(1) 由，椭圆的方程是.‎ ‎(2)由（1）可得，设直线的方程为. 由方程组，得，依题意，‎ 得.设，则，由 ‎，得三点共线.‎ ‎(3)设直线的方程为. 由方程组，得，依题意，得.设，则 ‎，令，则，即 时，最大，最大时直线的方程为.‎ ‎21. 解：由已知得，所以.‎ ‎(1). ① 若，当或时，；当时，，所以的单调递增区间为；‎ 单调递减区间为. ②若，当时，；当时，，所以的单调递增区间为；单调递减区间为. ③ 若，当或时，；当时，，所以的单调递增区间为；单调递减区间为.④若，故的单调递减区间为.⑤若，当或时，；当时，，所以的单调递增区间为；单调递减区间为.‎ 当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.‎ 当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.‎ 当时，的单调递减区间为；当时，单调递增区间为 ；‎ 单调递减区间为,；‎ ‎(2),设的方程为，切点为，则，所以.由题意知，所以的方程为，设与的切点为，则.‎ 又,即，令，在定义域上，，所以上，是单调递增函数，又，所以，即，令，则，所以，故 ‎.‎ ‎22. 解：(1)由得，得曲线的普通方程为.‎ ‎(2)由题意知，直线的参数方程为为参数），将代入得，设对应的参数分别为，则 ‎，的取值范围为.‎ ‎23. 解：（1）由题意不等式可化为，当时，，‎ 解得，即；当时，，解得，即；当时，，解得，即，综上所述，不等式的解集为 或.‎ ‎（2）由不等式可得，‎ ‎，故实数的最小值是.‎