2017年高考试题——数学理（北京卷）原卷版 10页

绝密★本科目考试启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合 A={x|–2 x 1}，B={x|x –1 或 x 3}，则 A B= （A）{x|–2 x –1} （B）{x|–2 x 3} （C）{x|–1 x 1} （D）{x|1 x 3} （2）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 （A）（–∞，1） （B）（–∞，–1） （C）（1，+∞） （D）（–1，+∞） （3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 （A）2 （B） （C） （D） （4）若 x，y 满足 则 x + 2y 的最大值为 （A）1 （B）3 （C）5 （D）9 3 2 5 3 8 5 3 2 x x y y x       ， ， ， （5）已知函数 ，则 （A）是奇函数，且在 R 上是增函数 （B）是偶函数，且在 R 上是增函数 （C）是奇函数，且在 R 上是减函数 （D）是偶函数，且在 R 上是减函数 （6）设 m,n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （A）3 （B）2 （C）2 （D）2 （8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与 最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） （A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）若双曲线 的离心率为 ，则实数 m=_________. 1( ) 3 ( )3 x xf x   ( )f x  m n 0<m n 2 3 2 M N 2 2 1yx m  3 （10）若等差数列 和等比数列 满足 a1=b1=–1，a4=b4=8，则 =_______. （11）在极坐标系中，点 A 在圆 上，点 P 的坐标为（1,0），则|AP|的最小 值为___________. （12）在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 ，则 =___________. （13）能够说明“设 a，b，c 是任意实数．若 a＞b＞c，则 a+b＞c”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为 ______________________________． （14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai 的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数，点 Bi 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时 间和加工的零件数，i=1，2，3. ①记 Qi 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q2，Q3 中最大的是_________. ②记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1，p2，p3 中最大的是_________. 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题 13 分） 在△ABC 中， =60°，c= a. （Ⅰ）求 sinC 的值； （Ⅱ）若 a=7，求△ABC 的面积. （16）（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD⊥平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD// 平面 MAC，PA=PD= ，AB=4．  na  nb 2 2 a b 2 2 cos 4 sin 4 0        1sin 3  cos( )  A 3 7 6 （I）求证：M 为 PB 的中点； （II）求二面角 B-PD-A 的大小； （III）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值． （17）（本小题 13 分） 为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药.一段 时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者. （Ⅰ）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率； （Ⅱ）从图中 A，B，C，D 四人中随机学科网.选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数， 求 的分布列和数学期望 E（ ）； （Ⅲ）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.（只需写出结论） （18）（本小题 14 分） 已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1，1）.过点（0， ）作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过 点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点.    1 2 （Ⅰ）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段 BM 的中点. （19）（本小题 13 分） 已知函数 f（x）=excosx−x. （Ⅰ）求曲线 y= f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值. （20）（本小题 13 分） 设 和 是两个等差数列，记 ， 其中 表示 这 个数中最大的数． （Ⅰ）若 ， ，求 的值，并证明 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；或者存在正整数 ，使得 是等差数列． π 2 { }na { }nb 1 1 2 2max{ , , , }n n nc b a n b a n b a n     ( 1,2,3, )n   1 2max{ , , , }sx x x 1 2, , , sx x x s na n 2 1nb n  1 2 3, ,c c c { }nc M m n m nc Mn  m 1 2, , ,m m mc c c   2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）答案 一、 （1）A （2）B （3）C （4）D （5）A （6）A （7）B （8）D 二、 （9）2 （10）1 （11）1 （12） （13） （答案不唯一） （14）Q1 p2 三、 （15）（共 13 分） 解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为 ， ， 所以由正弦定理得 . （Ⅱ）因为 ，所以 . 由余弦定理 得 ， 解得 或 （舍）. 所以△ABC 的面积 . （16）（共 14 分） 解：（I）设 交点为 ，连接 . 因为 平面 ，平面 平面 ，所以 . 因为 是正方形，所以 为 的中点，所以 为 的中点. （II）取 的中点 ，连接 ， . 因为 ，所以 . 7 9 1, 2, 3   60A   3 7c a sin 3 3 3 3sin 7 2 14 c AC a    7a  3 7 37c    2 2 2 2 cosa b c bc A   2 2 2 17 3 2 3 2b b     8b  5b   1 1 3sin 8 3 6 32 2 2S bc A      ,AC BD E ME PD∥ MAC MAC  PBD ME PD ME∥ ABCD E BD M PB AD O OP OE PA PD OP AD 又因为平面 平面 ，且 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以 . 因为 是正方形，所以 . 如图建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， . 设平面 的法向量为 ，则 ，即 . 令 ，则 ， .于是 . 平面 的法向量为 ，所以 . 由题知二面角 为锐角，所以它的大小为 . （III）由题意知 ， ， . 设直线 与平面 所成角为 ，则 . 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . （17）（共 13 分） 解：（Ⅰ）由图知，在服药的 50 名患者中，指标 的值小于 60 的有 15 人， 所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 的值小于 60 的概率为 . （Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标 的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 C. 所以 的所有可能取值为 0,1,2. PAD  ABCD OP  PAD OP  ABCD OE  ABCD OP OE ABCD OE AD O xyz (0,0, 2)P (2,0,0)D ( 2,4,0)B  (4, 4,0)BD   (2,0, 2)PD   BDP ( , , )x y zn 0 0 BD PD        n n 4 4 0 2 2 0 x y x z     1x  1y  2z  (1,1, 2)n PAD (0,1,0)p 1cos , | || | 2  < > n pn p n p B PD A  3  2( 1,2, )2M  (2,4,0)D 2(3,2, )2MC   MC BDP  | | 2 6sin | cos , | 9| || | MCMC MC      < > nn n MC BDP 2 6 9 y y 15 0.350  x  . 所以 的分布列为 0 1 2 故 的期望 . （Ⅲ）在这 100 名患者中，服药者指标 数据的方差大于未服药者指标 数据的方差. （18）（共 14 分） 解：（Ⅰ）由抛物线 C： 过点 P（1，1），得 . 所以抛物线 C 的方程为 . 抛物线 C 的焦点坐标为（ ，0），准线方程为 . （Ⅱ）由题意，设直线 l 的方程为 （ ），l 与抛物线 C 的交点为 ， . 由 ，得 . 则 ， . 因为点 P 的坐标为（1，1），所以直线 OP 的方程为 ，点 A 的坐标为 . 直线 ON 的方程为 ，点 B 的坐标为 . 因为 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 C C C C1 2 1( 0) , ( 1) , ( 2)C 6 C 3 C 6P P P             P 1 6 2 3 1 6  1 2 1( ) 0 1 2 16 3 6E         y y 2 2y px 1 2p  2y x 1 4 1 4x   1 2y kx  0k  1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 1 2y kx y x      2 24 (4 4) 1 0k x k x    1 2 2 1 kx x k   1 2 2 1 4x x k y x 1 1( , )x y 2 2 yy xx 2 1 1 2 ( , )y yx x 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 22y y y y y y x xy xx x     1 2 2 1 1 2 2 1 1( ) ( ) 22 2kx x kx x x x x      1 2 2 1 2 1(2 2) ( )2k x x x x x     ， 所以 . 故 A 为线段 BM 的中点. （19）（共 13 分） 解：（Ⅰ）因为 ，所以 . 又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅱ）设 ，则 . 当 时， ， 所以 在区间 上单调递减. 所以对任意 有 ，即 . 所以函数 在区间 上单调递减. 因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 . （20）（共 13 分） 解：（Ⅰ） ， . 当 时， ， 所以 关于 单调递减. 所以 . 所以对任意 ，于是 ， 2 2 2 1 1(2 2) 4 2 kk k k x     0 2 1 1 1 2 2y yy xx  ( ) e cosxf x x x  ( ) e (cos sin ) 1, (0) 0xf x x x f     (0) 1f  ( )y f x (0, (0))f 1y  ( ) e (cos sin ) 1xh x x x   ( ) e (cos sin sin cos ) 2e sinx xh x x x x x x       π(0, )2x ( ) 0h x  ( )h x π[0, ]2 π(0, ]2x ( ) (0) 0h x h  ( ) 0f x  ( )f x π[0, ]2 ( )f x π[0, ]2 (0) 1f  π π( )2 2f   1 1 1 1 1 0,c b a     2 1 1 2 2max{ 2 , 2 } max{1 2 1,3 2 2} 1c b a b a          3 1 1 2 2 3 3max{ 3 , 3 , 3 } max{1 3 1,3 3 2,5 3 3} 2c b a b a b a             3n  1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 0k k k k k k k kb na b na b b n a a n             k kb na *k N 1 1 2 2 1 1max{ , , , } 1n n nc b a n b a n b a n b a n n        1, 1nn c n   1 1n nc c    所以 是等差数列. （Ⅱ）设数列 和 的公差分别为 ，则 . 所以 ①当 时，取正整数 ，则当 时， ，因此 . 此时， 是等差数列. ②当 时，对任意 ， 此时， 是等差数列. ③当 时， 当 时，有 . 所以 对任意正数 ，取正整数 ， 故当 时， . { }nc { }na { }nb 1 2,d d 1 2 1 1 1 1 2 1( 1) [ ( 1) ] ( )( 1)k kb na b k d a k d n b a n d nd k            1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( 1)( ), ,n b a n n d nd d ndc b a n d nd         当 时， 当 时， 1 0d  2 1 dm d n m 1 2nd d 1 1nc b a n  1 2, , ,m m mc c c   1 0d  1n  1 1 2 1 1 2 1( 1)max{ ,0} ( 1)(max{ ,0} ).nc b a n n d b a n d a         1 2 3, , , , ,nc c c c  1 0d  2 1 dn d 1 2nd d 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 ( 1)( ) ( )nc b a n n d nd b dn d d a dn n n            1 1 1 2 1 2( ) | |.n d d a d b d       M 1 2 1 1 2 2 1 1 | |max{ , }M b d a d d dm d d       n m nc Mn 