【数学】2020届一轮复习人教A版证明不等式的基本方法教案 19页

姓名 ‎ ‎ 学生姓名 ‎ ‎ 填写时间 学科 数学 年级 高三 教材版本 人教版 阶段 第（）周 本人课时统计 第（）课时 共（）课时 课题名称 不等式选讲（二）--证明不等式的基本方法 课时计划 第（）课时 共（）课时 上课时间 教学目标 同步教学知识内容 消灭模糊的知识 个性化学习问题解决 强化技巧 教学重点 数列题目的思维方式 教学难点 培养学生数列这里，好的思维方式：）‎ 教学过程 教师活动 证明不等式的基本方法 第一部分：比较法 一、 引入：‎ 要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：‎ 二、典型例题：‎ 例1、设，求证：。‎ 例2、若实数，求证：‎ 证明：采用差值比较法：‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？‎ 例3、已知求证 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 ‎ ‎ ‎ 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设 ‎，从而原不等式得证。‎ ‎2）商值比较法：设 ‎ 故原不等式得证。‎ 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。‎ 例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点。‎ 分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。‎ 解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，，可得，，‎ 从而，‎ 其中都是正数，且。于是，即。‎ 从而知甲比乙首先到达指定地点。‎ 讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？‎ ‎[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ 例5、设求证；对任意实数，恒有 ‎ （1）‎ 证明 考虑（1）式两边的差。 ‎ ‎ ‎ ‎＝‎ ‎＝ （2）‎ 即（1）成立。‎ 同步练习：（根据学生情况选作）‎ ‎[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎1．比较下面各题中两个代数式值的大小：‎ ‎（1）与；（2）与.‎ ‎2．已知 求证：（1） （2）‎ ‎3．若，求证 ‎4．比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．‎ 解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)‎ ‎= (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)‎ ‎ = - (a-b)2 (当且仅当d＝b时取等号)‎ ‎ ∴a4-b44a3(a-b)。‎ ‎5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小．‎ ‎6．已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小．‎ ‎7．如果x>0，比较与的大小．‎ ‎8．已知a≠0，比较与的大小．‎ ‎9．设x1，比较x3与x2-x+1的大小．‎ 说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。‎ 阅读材料：琴生不等式 例5中的不等式有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。‎ 琴生在1905年给出了一个定义：‎ 设函数的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数，都有 ‎ （1）‎ 则称为[a,b]上的凸函数。‎ 若把（1）式的不等号反向，则称这样的为[a,b]上的凹函数。‎ 凸函数的几何意义是：过曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。‎ 其推广形式是：若函数的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数，都有 ‎ （2） ‎ 当且仅当时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。 ‎ ‎ ‎ 更为一般的情况是：设是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点，有 其中，则称是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有则称是[a,b]上的凹函数。‎ 其推广形式 ，设，是[a,b]上的凸函数，则对任意有，‎ 当且仅当时等号成立。‎ 若是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。‎ 第二部分 综合法与分析法 一、 引入：‎ 综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。‎ 所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。‎ 以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，是常常要用到的一个重要不等式。‎ 二、典型例题：‎ 例1、都是正数。求证：‎ 证明：由重要不等式可得 本例的证明是综合法。‎ 例2、设，求证 证法一 分析法 要证成立.‎ 只需证成立，‎ 又因，‎ 只需证成立，‎ 又需证成立，‎ 即需证成立.‎ 而显然成立. 由此命题得证。‎ 证法二 综合法 ‎ ‎ ‎ 注意到，即，‎ 由上式即得，‎ ‎ 从而成立。‎ 议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？‎ 例3、已知a，b，m都是正数，并且求证： （1）‎ 证法一 要证（1），只需证 （2）‎ 要证（2），只需证 （3）‎ 要证（3），只需证 （4）‎ 已知（4）成立，所以（1）成立。‎ 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。‎ 证法二 因为 是正数，所以 ‎ 两边同时加上得 两边同时除以正数得（1）。‎ 读一读：如果用或表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是 （1）‎ 而采用综合法的证法二就是 ‎ 如果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为在例2中，由于都是正数，实际上 ‎ ‎ 例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。‎ 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形为，截面积为。所以本题只需证明。‎ 证明：设截面的周长为，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为。只需证明：。‎ 为了证明上式成立，只需证明。‎ 两边同乘以正数，得：。‎ 因此，只需证明。‎ 上式显然成立，所以 。‎ 这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。‎ 例5、证明：。‎ 证法一 因为 （2）‎ ‎ （3）‎ ‎ （4）‎ 所以三式相加得 （5）‎ 两边同时除以2即得（1）。‎ 证法二 因为 所以（1）成立。‎ 例6、证明： （1）‎ 证明 （1） （2）‎ ‎ （3）‎ ‎ （4）‎ ‎ （5）‎ ‎（5）显然成立。因此（1）成立。‎ 例7、已知都是正数，求证并指出等号在什么时候成立？‎ 分析：本题可以考虑利用因式分解公式 ‎ ‎ 着手。‎ 证明： ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ 由于都是正数，所以而，‎ 可知 ‎ 即（等号在时成立）‎ 探究：如果将不等式中的分别用来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：‎ ‎ ，其中是互不相等的正数，且.‎ 三、小结：‎ 解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。‎ 补充性练习：‎ ‎1、已知求证：‎ ‎2、已知求证 ‎3、已知求证 ‎4、已知求证：‎ ‎（1）‎ ‎（2） ‎ ‎5、已知都是正数。求证：‎ ‎（1） （2）‎ ‎6、已知都是互不相等的正数，求证 第三部分：反证法 一、 引入：‎ 前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。‎ 反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。‎ 下面这个步骤的理解，非常重要：‎ 利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：‎ 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；‎ 第二步 作出与所证不等式相反的假定；‎ 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；‎ 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。‎ 二、典型例题：‎ 例1、设，求证 证明：假设，则有，从而 ‎ ‎ ‎ 因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不 等式成立。‎ 例2、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.‎ 证明：假设都小于，则 ‎ （1）‎ ‎ 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 ‎ （2）‎ ‎ （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。‎ 注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。‎ 议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？‎ 例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于 ‎ 证：设(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >,‎ 则三式相乘：ab < (1 - a)b•(1 - b)c•(1 - c)a < ①‎ 又∵0 < a, b, c < 1 ∴‎ 同理：, ‎ 以上三式相乘： (1 - a)a•(1 - b)b•(1 - c)c≤ 与①矛盾 ‎∴原式成立[来源:学科网]‎ 例4、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 ‎ 证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0‎ ‎ 又由a + b + c > 0, 则b + c = -a > 0‎ ‎ ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 ‎ 又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0‎ ‎ 同理可证：b > 0, c > 0‎ 补充性练习：‎ ‎1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且，则 ‎ ‎2、设0 < a, b, c < 2，求证：(2 - a)c, (2 - b)a, (2 - c)b,不可能同时大于1‎ ‎3、若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2。‎ 提示：反设≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。‎ 第四部分：放缩法与贝努利不等式 一、 引入：‎ 所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。[来源:学科网]‎ 下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。‎ 二、典型例题：‎ 例1、若是自然数，求证 证明：‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ 注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。‎ 例2、求证：‎ 证明：由（是大于2的自然数）‎ ‎ 得 ‎ ‎ 例3、若a, b, c, dÎR+，求证：‎ 证：记m = ‎ ‎∵a, b, c, dÎR+ ‎ ‎∴‎ ‎ ∴1 < m < 2 即原式成立。‎ 例4、当 n > 2 时，求证：‎ 证：∵n > 2 ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ‎ ‎ ∴n > 2时, ‎ 补充性练习：‎ ‎1、设为大于1的自然数，求证 ‎2、设为自然数，求证 链接：放缩法与贝努利不等式 在用放缩法证明不等式时，有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。就是说，如果在和式里都是正数，可以舍掉，从而得到一个明显成立的不等式.‎ 例如，对于任何和任何正整数，由牛顿二项式定理可得 ‎ ‎ 舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： .‎ 在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当是正整数的时候成立，而且当是任何大于1的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式。‎ 在今后的学习中，可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设，则在或时，，在时，‎ 阅读材料：贝努利家族小史 在数学发展史上，17-18世纪出现了一个著名的数学世家——贝努利（Bernoulli）家族（瑞士），这个家族中的三代人中共出现了8位数学家，它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。其中，又以第一代的雅各布•贝努利（Jacob Bernoulli，1654.12-1705.8）、约翰•贝努利（Johann Bernoulli，1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼尔•贝努利（Danial Bernoulli，1700.2-1782.3，约翰•贝努利的儿子）最为著名。‎ 在数学的多个分支中，以“贝努利”命名的定义、定理、公式数不胜数。除了我们前面提到的“贝努利不等式”之外，将来会有机会学习到微积分中的“贝努利方程”、“贝努利级数判别法”，解析几何中的“贝努利双纽线”，概率论中的“贝努利定理”（即“大数定律”的早期形式）、“贝努利数”、“贝努利多项式”等等。特别是，丹尼尔•贝努利创造性地将数学方法应用到物理学的研究中，取得了卓著的成就，被推崇为数学物理方法的奠基人。‎ 贝努利家族之所以取得如此大的数学成就，至少有以下几个方面的主要原因：‎ ‎（1）对数学的真挚热爱。考察贝努利家族的8位数学家，可以发现一个共同的特点：都是从父辈不同意他们研究数学，而要求他们经商、从医或做律师开始，到最终走上从事数学的生涯。这一过程中，个人对数学的极大热情和兴趣起到了决定性的作用。当然，家族的数学传统和学习精神的影响也是不容忽视的重要因素。‎ ‎（2）广泛的学术交流。贝努利家族的成员们，都注重与当时的数学家和科学家进行广泛的学术交流和争辩，以此互相促进和提高。如雅各布•贝努利、约翰•贝努利与他们那个时代的大数学家、微积分的创始人莱布尼茨之间，丹尼尔•贝努利与当时欧洲数学界的中心人物——欧拉的频繁通信交流成为数学史上的美谈。‎ ‎（3）继承基础上的大胆创新。在继承已有数学研究成果的基础上大胆开拓、创新，是贝努利家族成员从事研究的又一个共同特点。贝努利家族的主要成员正处于数学思想方法的两次大转变时期：一是从常量数学到变量数学的转折；二是从确定性数学到可能性数学的转折。他们不仅善于接纳新思想、新方法，更是进行了大胆地改进、突破，取得了许多开创性的成就。‎ 课后作业 A组 ‎1、对于任何实数，求证：‎ ‎（1）；（2）‎ ‎2、设，求证：‎ ‎（1）；（2）‎ ‎3、证明不等式.‎ ‎4、若都是正数，求证：‎ ‎5、若 求证 ‎ ‎6、如果同号，且均不为0. 求证：，并指出等号成立的条件.‎ ‎7、设是互不相等的正数，求证：‎ ‎8、已知三个正数的和是1，求证这三个正数的倒数的和必不小于9.‎ ‎9、若，则.‎ ‎10、设，且求证：‎ ‎11、已知，求证：（1）；（2）.‎ ‎12、设是互不相等的正数，求证：‎ ‎13、已知都是正数，求证：‎ ‎ （1）（2）‎ ‎14、已知求证：‎ ‎ 15、已知求证：‎ ‎16、已知都是正数，且有 ‎ 求证：‎ ‎17、已知都是正数，且，‎ 求证：‎ ‎18、设的三条边为求证.‎ ‎19、已知都是正数，设 求证：‎ ‎20、设是自然数，利用放缩法证明不等式 ‎21、若是大于1的自然数，试证 B组 ‎22、已知都是正数，且求证：‎ ‎23、设，试用反证法证明不能介于与之间。‎ ‎24、若是自然数，求证 课后记 本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ _____________________________‎ 学生的接受程度：完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□ ________________________________‎ 学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□ ________________________________‎ 学生上次作业完成情况：数量____% 完成质量____分 存在问题 ______________________________‎ 配合需求：家长___________________________________________________________________________‎ ‎ 学管师_________________________________________________________________________‎ 备 注 提交时间 教研组长审批 家长签名