数学卷·2018届甘肃省会宁县第一中学高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版） 12页

会宁一中2017-2018学年第一学期高三第三次月考试卷 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 若集合有且仅有2个子集,则实数的值为（ ）‎ A. B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】∵集合有且仅有2个子集，∴集合只有一个元素，若，即时，方程等价为，解得，满足条件，若，即时，则方程满足，即，∴，解得或，综上或，故选B.‎ ‎2. 设函数为偶函数，且当时，当时，则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵函数为偶函数，∴，∵当时，∴；∵当时，∴，∴，故选B.‎ ‎3. 若,则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：，所以 选A ‎4. （其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（ ） ‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由图可知，，又当时，，所以，，解得，又因为，所以，为得到的图象，将的图象向右平移个单位即可，应选A.‎ 考点：三角函数图象和性质、平移变换.‎ ‎5. 函数的图象（ ）‎ A. 关于原点对称 B. 关于直线对称 C. 关于轴对称 D. 关于轴对称 ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴，∴为偶函数，∴的图象关于轴对称，故选D.‎ ‎6. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对函数，求导可得，∵在点处的切线方程为，∴，∴‎ ‎，∴在点处切线斜率为4，故选C.‎ ‎7. 由曲线与直线所围成的平面图形的面积是（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出对应的图象如图所示：‎ 由得，由三角函数的对称性可得 ，故选D.‎ 点睛：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：1、根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；2、解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；3、具体计算定积分，求出图形的面积．‎ ‎8. 设函数，且，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由指数函数和对数函数的单调性可知在上单调递减，，∴若，则，故选A.‎ ‎9. 定义行列式运算=，将函数的图象向左平移（）个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ，图象向左平移（）个单位，得，则当取得最小值时，函数为偶 函数，故选C.‎ ‎10. 函数的定义域为，，对任意，都有，则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：因为函数的定义域为R，，对任意恒成立，‎ 所以说的导数恒大于零，则说明函数是递增函数，而又f(-1)-2=0,故不等式大于零的解集为 ‎11. 若，是第三象限的角，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：∵，为第三象限，∴,‎ ‎∵‎ ‎．‎ 考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式．‎ ‎12. 已知函数在上是增函数，，若，则x的取值范围是（ ）‎ A. （0,10） B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，∴是偶函数，又∵在上是增函数，∴在上是减函数，又∵，∴，∴，∴，故选C.‎ 点睛：本题主要考查函数的奇偶性以及在对称区间上的单调性，本题又是抽象函数，在解 不等式时，多考虑应用单调性定义或数形结合；由，知是偶函数，再由在上是增函数知在上是减函数，再将转化为求解.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.‎ ‎13. 若在区间上是增函数，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，要使函数在区间上是增函数，需使，解得，故答案为.‎ ‎14. 如图中,已知点在边上,,,则的长为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，所以，所以，所以，在中，，根据余弦定理得：，所以. ‎ 考点：三角函数的诱导公式和余弦定理.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的邮递公式、以及垂直的定义的综合应用，其中根据，得，则，求解，利用余弦定理列出方程是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力和推理、运算能力，属于中档试题.‎ ‎15. 已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数对任意，都有成立，即函数为减函数，故需满足，解得，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查了指数函数，一次函数以及分段函数的单调性，难度一般，要使分段函数单调递减，必须满足以下几个条件：1、指数函数单调递减，即；2、一次函数单调递减，即一次项系数小于0；3、左端的最小值大于等于右端的最大值.‎ ‎16. 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，，其中．若，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由，又 ‎．‎ 考点：1、函数的解析式；2、函数的单调性.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查函数的解析式和函数的单调性，其中涉及函数与方程思想，具有一定的综合性，属于较难题型.先利用周期性得，从而建立方程，又利用，再建立方程，联立两方程解得，从而求得，解本题时要始终牢牢紧扣函数与方程思想，才能顺利求解.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17. 已知直线与函数的图像的两相邻交点之间的距离为。‎ ‎(1)求的解析式；‎ ‎(2)将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，求函数的最大值及取得最大值时的取值集合。‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为2，取得最大值时的取值集合为 ‎【解析】略 ‎18. 在中，角所对的边为，已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】试题分析：（1）利用正弦定理对已知条件化简可求，利用三角形的大边对大角可求；（2）利用余弦定理可求，之间的关系，进而结合三角形的面积可，再把，的关系代入可求，的值.‎ 试题解析：（1），，或，，所以 ‎（2）由，解得或①，又②，③，由①②③或 ‎ ‎19. 设函数，其中为实数．若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：在上是单调减函数等价于在上恒成立，利用分离参数可得的范围，对进行求导，，将导函数的零点和1进行比较，可分为和两种情形，通过导数判断单调性.‎ 试题解析：在上恒成立，则，，故：，，若，则在上恒成立，此 时，在上是单调增函数，无最小值，不合题意；若，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足，故的取值范围为：．‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用之导数与单调性的关系，导数与最值的关系，属于基础题；函数在某区间内单调递减等价于该函数的导数在该区间内小于等于0恒成立，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎ ‎20. 某公司对营销人员有如下规定：‎ ‎①年销售额(万元)在8万元以下，没有奖金；‎ ‎②年销售额(万元)，时，奖金为万元，且，，且年销售额越大，奖金越多；‎ ‎③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．‎ ‎(1)求奖金y关于x的函数解析式；‎ ‎(2)若某营销人员争取奖金(万元)，则年销售额(万元)在什么范围内？‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）奖金关于的函数解析式是一个分段函数，其中在为增函数，可求得值，再利用分段函数的形式写出奖金关于的函数解析式即可；（2）年奖金分为两段：，，分别利用对于的解析式，解出相应的，即可得到年销售额的取值范围.‎ 试题解析：(1)依题意在上为增函数，所以解得，所以 ‎(2)易知，当时，要使，则，解得，所以，当时，要使．则，所以，综上所述，当年销售额(万元)时，奖金(万元)．‎ ‎21. 设为实数，函数 ‎(1)求的单调区间与极值；‎ ‎(2)求证：当且时，‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由已知易得，令，得，列表讨论能求出的单调区间区间及极值；（2）构造，对其求导，由（1）知当时，最小值为，于是对任意，都有，所以在内单调递增．由此能够证明.‎ 试题解析：（1）解：由知，．‎ 令，得.于是，当变化时，和的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 单调递增 故的单调递减区间是，单调递增区间是．在处取得极小值，极小值为． ‎ ‎（２）证明：设，于是，由（1）知，对任意,都有，所以在R内单调递增，于是，当时，对任意，都有，而，从而对任意，都有，即故 ‎22. 已知在平面直角坐标系内，点在曲线：（为参数，）上运动，以为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的标准方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，试求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)对于曲线，理平方关系消去参数即可；对于极坐标方程利用三角函数的和角公式后再化成直角坐标方程，再利用消去参数得到直线的直角坐标方程．‎ ‎(Ⅱ)欲求面积的最大值，由于一定，故只要求边上的高最大即可，根据平面几何的特征，当点在过圆心且垂直于的直线上时，距离最远，据此求面积的最大值即可．‎ 试题解析：(Ⅰ)消参数得曲线的标准方程：.由题得：，即直线的直角坐标方程为：.‎ ‎(Ⅱ)圆心到的距离为，则点到的最大距离为，，∴.‎ 考点：极坐标 ‎23. 设.‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若关于不等式有解，求参数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）,如图,函数的图象与直线相交于横坐标为的两点,由此得.‎ ‎（2）由（1）知的最小值为,则不等式有解，必须且只需,‎ 解得,所以取值范围是.‎ ‎.‎ 试题解析：（1）,如图,函数的图象与直线相交于横坐标为的两点,由此得.‎ ‎（2）由（1）知的最小值为,则不等式有解，必须且只需,‎ 解得,所以取值范围是.‎ 考点：1. 分段函数的图象和性质；2.数形结合思想.‎ ‎【名师点睛】含绝对值的函数问题，往往利用绝对值的概念，转化成分段函数，结合函数的图象，进一步确定相关问题的答案.本题能较好地考查数形结合思想、转化与化归思想及基本运算能力.‎ ‎ ‎