河南省郑州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试卷 21页

郑州市2018-2019学年高二下学期期末考试 数学（文科）试卷 一、选择题：本大题共4小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（ ）‎ A. 三个内角都不大于 B. 三个内角都大于 C. 三个内角至多有一个大于 D. 三个内角至多有两个大于 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由“至少有一个”的否定为“一个也没有”即可得解.‎ ‎【详解】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定 ‎2.设复数（为虚数单位），，且，则复数的模等于（　　）‎ A. 10 B. C. 5 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简为，然后，利用复数的定义求解，即可求出，进而求出复数的模即可 ‎【详解】由，得，得，‎ 则，得 答案选D ‎【点睛】本题考查复数相等的概念，考查复数的模及除法运算，属于基础题 ‎3. 《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（　　）‎ A. 类比推理 B. 归纳推理 C. 演绎推理 D. 一次三段论 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：名不正是言不顺的充分条件，所以“名不正则言不顺”是演绎推理。言不顺是事不成的充分条件，所以“言不顺则事不成”是演绎推理。以此类推，所以“故名不正则民无所措手足”是演绎推理 考点：推理 点评：演绎推理是前提与结论之间具有充分条件或充分必要条件联系的必然性推理 ‎4.某同学根据一组x，y的样本数据，求出线性回归方程和相关系数r，下列说法正确的是（　　）‎ A. y与x是函数关系 B. 与x是函数关系 C. r只能大于0 D. ｜r｜越接近1，两个变量相关关系越弱 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性回归方程的定义进行求解即可 ‎【详解】解：由两变量x，y具有线性相关关系，可知y与x不是函数关系，故A错误；‎ 求出线性回归方程x，其中与x是函数关系，故B正确；‎ 相关系数可能大于0，也可能小于0，故C错误；‎ ‎|r|越接近1，两个变量相关关系越强，故D错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查两个变量的线性相关性，是基础题．‎ ‎5.点 的直角坐标是，则点 的极坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用，，，先将点M的直角坐标是，之后化为极坐标即可.‎ 详解：由于，得，‎ 由，得，‎ 结合点在第二象限，可得，‎ 则点M的坐标为，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关平面直角坐标与极坐标的转化，需要注意极坐标的形式，以及极径和极角的意义，利用来得，根据点所属的象限得到相应的正角，从而得到结果.‎ ‎6.若关于x的不等式｜ax﹣3｜＜7的解集为{x｜﹣5＜x＜2}，则a的值为（　　）‎ A. ﹣4 B. 4 C. ﹣2 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，得，然后把选项中的答案依次代入这个不等式，即可判断选项 ‎【详解】由，得到，分别代入选项中的答案，明显地，当时，满足，且，‎ 本题选C ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的求解问题，属于基础题 ‎7.雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图，蜘蛛网图（SpiderChart），是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析，如图为甲、乙两人五个方面的数据雷达图，则下列说法不正确的是（　　）‎ A. 甲、乙两人在能力方面的表现基本相同 B. 甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙 C. 在培训与销售两个方面甲的综合表现优于乙 D. 甲在这五个方面的综合表现优于乙 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 看图分析数据即可判断选项 ‎【详解】C选项中，乙在培训与销售两个方面的综合表现优于甲 ‎【点睛】本题考查看图做出数据分析，属于基础题 ‎8.已知＜1，则下列不等式中一定成立的是（　　）‎ A. logab+logba＞﹣2 B. logab+logba＞2‎ C. logab+logba≥﹣2 D. logab+logba≤﹣2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的单调性得出，然后利用均值不等式即可求出最值，得出正确选项 ‎【详解】由＜1，得，‎ 利用指数函数的单调性得，，则，，‎ 而，‎ 所以，，答案选D ‎【点睛】本题考查指数函数的单调性问题以及不等式求最值问题，本题的难点在于利用单调关系得出参数之间的大小关系进行求解，属于基础题 ‎9.圆ρ＝5cosθ﹣5sinθ的圆心坐标是（　　）‎ A. （5，） B. （5，） C. （5，） D. （5，）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的极坐标定义求解即可 ‎【详解】原式可化为：，利用极坐标定义可转化为：‎ ‎，配方为，则圆心坐标为：，化成极坐标，得出，‎ 答案选C ‎【点睛】本题考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程与普通方程的转化，属于基础题 ‎10.函数y＝的最大值为（　　）‎ A. 5 B. 8 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的关系，可设向量，，然后进行求解即可 ‎【详解】由已知得，函数的定义域为，设向量，，‎ 则，，，当且仅当时，‎ 即时，等号成立，解得，属于定义域范围，‎ 所以，该函数可以取得最大值为10‎ 答案选C ‎【点睛】本题考查向量中的最值问题，属于中档题 ‎11.执行如图所示程序框图，如果输出的a值大于2019，那么判断框内的条件为（　　）‎ A. k＜10？ B. k≥10？ C. k＜9 D. k≥9？‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，列出每一步程序运算，即可求解 ‎【详解】①条件（是）；‎ ‎②条件（）；‎ ‎③条件（是）；‎ ‎④条件（是）；‎ ‎⑤条件（是）；‎ ‎⑥条件（否）输出（此时）；‎ 答案选A ‎【点睛】本题考查程序框图的条件判别，属于基础题 ‎12.某校有A、B、C、D四个社团，其中学生甲、乙、丙、丁四人在不同的四个社团中，在被问及在哪个社团时，甲说：“我没有参加A和B社团”．乙说：“我没有参加A和D社团”．丙说：“我也没有参加A和D社团”．丁说：“如果乙不参加B社团，我就不参加A社团”．则参加B社团的人是（　　）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 有乙、丙的说法知甲和丁参加了A、D社团，又由甲说知，甲参加了D社团，则丁参加了A社团，根据丁的说法知乙参加了B社团．‎ ‎【详解】解：有乙、丙的说法知甲和丁参加了A、D社团，‎ 又由甲说知，甲参加了D社团，‎ 则丁参加了A社团，‎ 根据丁的说法知乙参加了B社团．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查推理的相关知识，考查分析问题，解决问题的能力以及逻辑思维能力，属于基础题 ‎13.在同一平面直角坐标系中满足由曲线x2+y2＝1变成曲线的一个伸缩变换为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得，把曲线方程整理为，则可得，，进而可以求出答案 ‎【详解】由题意得，把x2+y2＝1经过伸缩变换变成曲线，‎ 则可令，，化简得，‎ 答案选A ‎【点睛】本题考查曲线方程间的伸缩变换，属于基础题 ‎14.在矩形ABCD中，对角线AC分别与AB，AD所成的角为α，β，则sin2α+sin2β＝1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与棱AB，AD，AA1所成的角分别为α1，α2，α3，与平面AC，平面AB1，平面AD1所成的角分别为β1，β2，β3，则下列说法正确的是（　　）‎ ‎①sin2α1+sin2α2+sin2α3＝1　　②sin2α1+sin2α2+sin2α3＝2‎ ‎③cos2α1+cos2α2+cos2α3＝1　　　④sin2β1+sin2β2+sin2β3＝1‎ A. ①③ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件，分别确定各个角的三角函数值，进而判断各个命题的真假，可得答案 ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ 所以，①错，②对；‎ ‎（2），‎ 所以，③对 ‎（3），所以，④对 答案选D ‎【点睛】本题解题的关键点在于，确定各个角的三角函数值，属于中档题 二、填空题（每题5分，满分20分）‎ ‎15.已知复数z1＝在复平面内对应的点为A，复数z2在复平面内对应的点为B，若向量与虚轴垂直，则z2的虚部为_____．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则得到，再有向量与虚轴垂直，可得的虚部 ‎【详解】，设，则，又由向量与虚轴垂直，得到，，则的虚部为，答案是 ‎【点睛】本题考查复数与向量的运算法则，属于基础题 ‎16.恩格尔系数（Engel'sCoefficient）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消费结构越完整，生活水平越高，某学校社会调查小组得到如下数据：‎ 若y与x之间有线性相关关系，某人年个人消费支出总额为2.6万元，据此估计其恩格尔系数为_____．‎ ‎【答案】0.26.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相关公式，先求出和，再代入公式求出，最后得到的值 ‎【详解】由条件可得，和，‎ 则代入公式得，则，得到 与的线性相关关系为，把代入，得，‎ 答案为0.26‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程的求解与应用，考查的核心素养是数学运算与数学分析 ‎17.观察下列几个三角恒等式 ‎①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°＝1‎ ‎②tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°＝1‎ ‎③tan5°tan100°+tan100°tan（﹣15）°+tan（﹣15）°tan5°＝1．‎ 一般的，若tanα，tanβ，tanγ均有意义，你可以归纳出结论：_____‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察所给的等式，发现左边都是两个角的正切的乘积形式，一共有三项，且三个角的和为定值：直角，右边的值都为常数1，由此推广到一般结论即可 ‎【详解】观察所给等式，若角，，满足，且，，都有意义，‎ 则，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理的应用，推理过程由特殊再到一般，属于基础题 ‎18.已知函数，如果对任意t∈R，f（3t2+2t）+f（k2﹣2t2）＜0恒成立，则满足条件的k的取值范围是_____．‎ ‎【答案】k<-1或k>1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定义，先求出函数为单调减函数与奇函数，然后化简得到，然后利用不等式得恒成立条件求出答案 ‎【详解】对于函数，定义域为，且，所以，为奇函数，且对求导可得，则在时为减函数，‎ ‎，可得，利用为奇函数 化简得，利用在时为减函数，得 ‎，化简得恒成立，令，则有，‎ 而，所以，得到或 答案：或 ‎【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性以及不等式的恒成立问题，属于中档题 三、解答题（本大题共1小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎19.已知i是虚数单位，且复数z满足（z+2）（3+i）＝10．‎ ‎（Ⅰ）求z及z2；‎ ‎（Ⅱ）若z•（a+2）i是纯虚数，求实数a的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）,；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据复数的代数运算法则进行运算即可 ‎（Ⅱ）根据复数代数运算法则进行化简，再有纯虚数的定义，列出方程求出的值 ‎【详解】（Ⅰ）, ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ），‎ 令2+=0，解得=-2.‎ ‎【点睛】本题考查复数的代数运算法则以及纯虚数的定义，属于基础题 ‎20.在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝﹣3，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系 ‎（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C2，C3的交点为A，B，求△C2AB的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意可知，利用，分别代入，，即可求解 ‎（Ⅱ）将直线的极坐标方程代入，即可求出，进而可得弦长，继而求出三角形面积 ‎【详解】（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程为， ‎ 的极坐标方程为. ‎ ‎（Ⅱ）将代入，得，解得 ‎.故，即 ‎ 由于的半径为1，所以的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标系的应用，属于基础题 ‎21.已知函数f（x）＝｜x﹣2｜．‎ ‎（Ⅰ）求不等式f（x）＞6﹣｜2x+1｜的解集；‎ ‎（Ⅱ）设a，b∈（2，+∞），若f（a）+（b）＝6，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可 ‎(2)利用“1”的代换，结合基本不等式先求出的最小值，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可 ‎【详解】（1）， ‎ 等价于 解得.‎ 所以原不等式的解集为 ‎ ‎(2)，， ‎ 当且仅当 即 取等号.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式中“1”的代换，属于基础题 ‎22.2019年4月22日是第50个世界地球日，半个世纪以来，这一呼吁热爱地球环境的运动已经演变为席卷全球的绿色风暴，让越来越多的人认识到保护环境、珍惜自然对人类未来的重要性．今年，自然资源部地球日的主题是“珍爱美丽地球，守护自然资源”．某中学举办了以“珍爱美地球，守护自然资源”为主题的知识竞赛．赛后从该校高一和高二年级的参赛者中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩分为7组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如下频率分布表：‎ 现规定，“竞赛成绩≥80分”为“优秀”“竞赛成绩＜80分”为“非优秀”‎ ‎（Ⅰ）请将下面的2×2列联表补充完整；‎ 优秀 非优秀 合计 高一 ‎50‎ 高二 ‎15‎ 合计 ‎100‎ ‎（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩与年级有关”？‎ 附：独立性检验界值 ‎【答案】（Ⅰ）见解析；‎ ‎（Ⅱ）没有99％的把握认为“竞赛成绩与年级有关”.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据优秀总人数：（0.22+0.13）*100=35人，进而填写列联表即可 ‎（2）利用列联表的卡方检验的方法进行求解即可 ‎【详解】（1）优秀总人数：（0.22+0.13）*100=35人.‎ 优秀 非优秀 合计 高一 ‎20‎ ‎50‎ ‎70‎ 高二 ‎15‎ ‎15‎ ‎30‎ 合计 ‎35‎ ‎65‎ ‎100‎ ‎（2） ‎ 所以，没有99％的把握认为“竞赛成绩与年级有关”‎ ‎【点睛】本题考查列联表的卡方检验的应用，直接根据定义求解即可，属于基础题 ‎23.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（为参数），曲线C的参数方程为（α为参数）．‎ ‎（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（3，），判断点P与直线l位置关系；‎ ‎（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）点在直线上；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把极坐标系下的点化为直角坐标得点，把点代入直线的方程，即可求解 ‎（2）设出点Q的坐标，代入点到直线的距离公式，求出函数的最小值即为距离的最小值 ‎【详解】（1）把极坐标系下的点化为直角坐标得点. ‎ 因为点的直角坐标满足直线的方程， ‎ 所以点在直线上. ‎ ‎（2）因为点Q在曲线C上，可设点Q的坐标为，从而点Q到直线 的距离为 由此得，当时，取得最小值，且最小值为 ‎【点睛】本题主要考查极坐标系与直角坐标系的转化，以及利用极坐标的定义求最值问题，属于基础题 ‎24.设函数f（x）＝｜x+3｜+｜2x﹣a｜﹣1，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若不等式f（x）+｜x+3｜≥3对任意的x∈R成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当a＞﹣6时，函数φ（x）＝2（｜x+3｜﹣x）﹣f（x）有三个不同的零点，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）1