数学理卷·2018届陕西省西安一中高三上学期第五次考试（2018 15页

市一中高三第五次模拟考试 数学（理）试题 命题人：孙丽荣 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．若复数满足，则复数所对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2．已知集合，，且则的可取值组成的集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知数列是等差数列， ，则数列的前10项和为（ ）‎ A. 40 B. 35 C. 20 D. 15‎ ‎4．设 为锐角，，，若与共线，则角( 　 )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．运行左下图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出的值是（ ）‎ ‎ ‎ A. 0 B. 1 C. 2 ‎ D. －1‎ ‎6．某三棱锥的三视图如图右上所示，主视图和俯视图为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的最长的棱长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知函数，则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．下列命题正确的是（ ）‎ A. 若一直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行 B. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 C. 若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 D. 若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 ‎9．函数在的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．在中， 是的中点， ，点在上且满足，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．的展开式中，的系数是，则的系数是（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎12．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 （ ）‎ A．240种 B．192种 C．96种 D．48种 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知，则函数的单调递减区间是______.‎ ‎14．已知，则=______‎ ‎15．三棱锥的外接球为球，球的直径是，且都是边长为的等边三角形，则三棱锥的体积是 ______‎ ‎16．设动点满足，则的最小值是______‎ 三、解答题（每小题12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （本小题满分12分）△的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，求△面积的最大值．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，边长为3的正方形所在平面与等腰 直角三角形所在平面互相垂直， ，且， .‎ ‎（Ⅰ）求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知数列中，，‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设数列满足：，求的前项和.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.‎ ‎（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在（元）段应抽出的人数；‎ ‎（2）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，4表示收入在（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下：‎ ‎907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 ‎ 据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在（元）的概率.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知， 是的导函数．‎ ‎（Ⅰ）求的极值；‎ ‎（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生从22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 ‎22. （本小题满分10分）‎ 选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ ‎  选修44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为.‎ ‎(Ⅰ)求圆C的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最大值.‎ ‎         ‎ 市一中高三第五次模拟考试 数学（理）试题 试卷答案 ‎1【答案】B【解析】，对应点 在第二象限.‎ ‎2．D【解析】因为，则可得： ‎ 当时， ,当时 ‎ 当时， ,综合可得： ;选D 点晴：本题考查的是根据集合及集合间的关系求参数的取值问题. 因为，则可得： ,分， 和三种情况讨论，分别得的取值，再取并集即可，此类题比较基础，但容易丢掉这一种情况，计算的时候要小心，不能马虎大意.‎ ‎3．A【解析】是等差数列， ， ，故选A．‎ ‎4．B【解析】因为与共线，所以 ，又因为为锐角，所以角。‎ 本题选择B选项.‎ ‎5．C【解析】试题分析：因为， ，所以，由算法框图可知，运行后输出的值为．‎ ‎6．A【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面是底边为1，高为1的三角形，高，最长的棱所在的面是直角边长分别为1， 的直角三角形，斜边长为，故选A.点睛：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，考查了学生的空间想象能力解决本题的关键是得到该几何体的形状，难度一般；由已知中的三视力可得该几何体是一个以左视图为底面的三棱锥，可得 ‎7．D【解析】 ，因此当 时 ；当 时 ；所以选D.‎ ‎8．B【解析】对于答案A，这两个平面可以相交，因此答案不正确；对于答案C，这两个平面也可以相交，因此答案也不正确；对于答案D ‎，这两条直线也可以相交或异面，因此答案也不正确；‎ ‎9.【答案】C【解析】当时，，令，即在区间只有一个零点，故应排除答案A、B、D，应选答案C 。‎ ‎10．A ‎11．A【解析】，令 ‎ 则，再令 ‎12．Ｂ【解析】本题考查排列与组合 甲必须站在正中间，只有种站法；乙、丙两位同学要站在一起有种方法；‎ 将乙、丙两位同学排在第一、二位，其余人全排列有种方法；‎ 将乙、丙两位同学排在第二、三位，其余人全排列有种方法；‎ 将乙、丙两位同学排在第三、四位，其余人全排列有种方法；‎ 将乙、丙两位同学排在第四、五位，其余人全排列有种方法；‎ 所以满足条件的排法总数为故正确答案为 ‎13．【解析】试题分析：∵，∴，解得：，故，令，令，解得：，而在对称轴，故在递增，故在递减，故答案为:.‎ ‎14．【解析】试题分析：本题考查了三姊妹关系， ， ，三者密切相关，可知一求二.试题解析：，由,于是得 ‎ . ‎ ‎15．【解析】试题分析：取BC中点M ，则有 ‎,所以三棱锥的体积是，‎ ‎16．-4【解析】试题分析：根据线性约束条件，画出可行域（如图）及直线，平移直线可知，当直线经过点A（0,4）时，取得最小值－4， ‎ 考点：简单线性规划的应用 ‎17（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已正弦定理得： ；（2）由余弦定理得 整理得，再由面积的最大值为．‎ 试题解析：（1）由已知及正弦定理得：，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵为三角形的内角，∴．‎ ‎（2）,‎ 由已知及余弦定理得，即，代入，‎ 整理得，当且仅当时，等号成立，‎ 则面积的最大值为．‎ ‎18．（Ⅰ）略； （Ⅱ） ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）过作交于，连接，先证明四边形为平行四边形，可得，从而根据线面平行的判定定理可得结论；（Ⅱ）以为坐标原点， 所在方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，则平面的法向量为，再算出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）过作交于，连接因为， ，所以 又，所以故，‎ 所以四边形为平行四边形，故，‎ 而平面， 平面，‎ 所以平面； ‎ ‎（Ⅱ）以为坐标原点， 所在方向为轴正方向，建立平面 直角坐标系，则， ， ， ‎ 平面的法向量为，设平面的法向量为 ‎，则，即 ‎，不妨设，则 所求二面角的大小为 ‎ ‎19．（1）数列是首项为1，公差为3的等差数列（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析: (1)把两边同时做倒数运算,得,即证.(2)由(1) (3)由(2)得,代入,利用错位相减法,可求和.‎ 试题解析：（1）， ， ‎ 又 数列是首项为1，公差为3的等差数列。 ‎ ‎（2） ‎ ‎（3） ‎ ‎… ‎ ‎ … ‎ ‎… ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．（1）20；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）观察频率分布直方图，然后根据频率为相应小矩形的面积，即可求出所求;（2）观察上述随机数可得，该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）元的个数，然后根据古典概型的概率公式解之．‎ 试题解析：（1）由频率分布直方图知：月收入在的概率为：0.0004*500=0.2‎ 所以，月收入在的人数为：100* 0.2=20.‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，月收入在[2000，3000）的频率为2×0.0005×500=0.5‎ 可以用数字0，1，2，3，4表示收入在[2000，3000）（元）的居民，数字5，6，7，8，9表示月收入不在[2000，3000）（元）的居民；‎ 观察上述随机数可得，该社区3个居民中恰有2个月在[2000，3000）的有191，271，932，812，393，027，730，共有7个,‎ 而基本事件一共有20个，根据古典概型公式可知该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）元的概率为为 考点：频率分布直方图，古典概型的概 ‎21．（1）当时，有极小值.（2）‎ ‎【解析】试题分析：(1) 求出， 得增区间， 得减区间，再分类讨论得到的零点个数；（2）设，求的最最值，再转化为在上恒成立，求其最值，即可使其小于或等于零构造不等式即可.‎ 试题解析：（Ⅰ） ， ， ，‎ 当时， 恒成立， 无极值；‎ 当时， ，即，‎ 由，得；由，得，‎ 所以当时，有极小值.‎ ‎（Ⅱ），即，即，‎ 令，则，‎ 当时，由知，∴，原不等式成立，‎ 当时， ，即， ，得； ，得，‎ 所以在上单调递减，‎ 又∵，∴不合题意，‎ 综上， 的取值范围为．‎ ‎22．（1）{ 或}（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为只需[f（x）]min≤|3m﹣2|即可，得到关于m的不等式，解出即可．‎ 试题解析：‎ 解：（1）‎ 或或 或或 或或 故所求不等式的解集为{ 或}‎ ‎（2）关于的不等式有解 只需即可，‎ 又，‎ ‎，即或，‎ 故所求实数的取值范围是.‎ 点睛：1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．‎ ‎2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a.‎ ‎23．(Ⅰ) , ; (Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ) 利用 将圆C的参数方程化为普通方程，由 ，将直线 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)写出点P的坐标 ‎ ，由点到直线的距离求出P点到直线的距离，求出最大值，从而得到 面积的最大值.‎ 试题解析：(Ⅰ)由得消去参数t，得，‎ 所以圆C的普通方程为． ‎ 由，得，‎ 即，化成直角坐标系为，所以直线l的直角坐标方程为 ‎ ‎(Ⅱ) 化为直角坐标为在直线l上，并且，…7分 设P点的坐标为，‎ 则P点到直线l的距离为 ，‎ ‎， ‎ 所以面积的最大值是