数学文卷·2018届宁夏吴忠市高三下学期模拟联考（2018 13页

吴忠市2018届高考模拟联考试题 数学（文）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：,,所以，故选A.‎ 考点：集合的运算.‎ ‎2. 已知复数，，，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，选B.‎ ‎3. 已知，，则，的夹角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：由题意可知： ，‎ 则： ，结合特殊角的三角函数值可知：，的夹角是 .‎ 本题选择B选项.‎ ‎4. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由有，所以，即抛物线的焦点到准线的距离为，选D.‎ ‎5. 在长为的线段上任取一点，则点与线段两端点的距离都大于的概率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：设线段的三等分点分别为（如图所示），因为点与线段两端点的距离都大于1，所以在线段上，则点与线段两端点的距离都大于1的概率；故选D．‎ 考点：几何概型．‎ ‎6. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等差数列的性质及，得，‎ ‎∴，∴．‎ 本题选择A选项.‎ ‎7. 若，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 作出不等式组所对应的平面区域如图所示，且，由有，则为直线在轴上的截距，所以当纵截距越小，的值越大，当直线经过点时，最大，且最大值为2，选B.‎ ‎8. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】从三视图可以看出，该几何体为四棱锥，其底面为直角梯形，面积，则该几何体的体积 ，选C.‎ 点睛：本题主要考查三视图，求椎体的体积。三视图中长对正，高平齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力。‎ ‎9. 图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入，，则输出的的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；第五次循环：；结束循环，输出选B.‎ 考点：循环结构流程图 ‎【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎10. 已知函数，要得到的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】函数，所以将函数的图象向左平移个单位时，可得到的图象，选A.‎ ‎11. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆的圆心为，半径为，过圆心与直线垂直的直线方程为，所求的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为，设所求圆心为，且圆心在直线的左上方，则，且 解得（不符合，舍去 ），故所求圆的方程为，选C.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题。‎ ‎12. 已知函数，若存在唯一的零点，且，且的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】(i)当 时， ，令 ，解得 ，函数 有两个零点，舍去． (ii)当 时，，令 ，解得 或 ．①当 时， ，当 或x>0时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减；当 时， ，此时函数 单调递增．∴ 是函数的极小值点， 是函数的极大值点．∵函数 存在唯一的零点 ，且 ，则： ，即：，可得 ．‎ ‎ ‎ ‎②当 时， ，当 或 时， ，此时函数 单调递增；当 时，f′(x)<0，此时函数单调递减．∴ 是函数的极小值点， 是函数的极大值点．不满足函数 存在唯一的零点 ，且 ，综上可得：实数的取值范围是 ．故选：C．‎ 点睛: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力.本题的解答方法是： (i)当时，，令 ，解得，两个解，舍去． (ii)当 时，，令 ，解得或．对分类讨论：①当 时，由题意可得；②当时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. ‎ ‎13. 双曲线的焦距是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由双曲线的方程可得：，则，‎ 双曲线的焦距为.‎ ‎14. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑，已知鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】M﹣ABC四个面都为直角三角形，MA⊥平面ABC，MA=AB=BC=2，‎ ‎∴三角形的AC=2，‎ 从而可得MC=2，‎ 那么ABC内接球的半径r：可得（﹣r）2=r2+（2﹣）2‎ 解得：r=2-‎ ‎∵△ABC时等腰直角三角形，‎ ‎∴外接圆的半径为AC=‎ 外接球的球心到平面ABC的距离为=1．‎ 可得外接球的半径R=．‎ 故得：外接球表面积为.‎ 故答案为：12.‎ 点睛：本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心.‎ ‎15. 学校艺术节对同一类的，，，‎ 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：？是或作品获得一等奖？，乙说：？作品获得一等奖？‎ 丙说：？，两项作品未获得一等奖？，丁说：？是作品获得一等奖？‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________．‎ ‎【答案】B ‎【解析】若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，‎ 若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，‎ 若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，‎ 若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，‎ 故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为：B ‎16. 对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则的前项和是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：易知y'=nxn-1-（n+1）xn，曲线在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-（n+1）2n，切点为（2，-2n），所以切线方程为y+2n=k（x-2），令x=0得an=（n+1）2n，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列。所以的前n项和是。‎ 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义；等差数列的前n项和公式。‎ 点评：应用导数求曲线切线的斜率时，要注意“在某点的切线”与“过某点的切线”的区别，否则容易出错。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 设函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）已知中，角，，的对边分别为，，，若，，，求 的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)化简函数的解析式为，所以的最小正周期为，‎ 的值域为；‎ ‎(Ⅱ)由题意可得，结合余弦定理求得，则的面积.‎ 试题解析：解：（Ⅰ） =，所以的最小正周期为，‎ ‎∵∴，‎ 故的值域为， ‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ 又，得，‎ 在中，由余弦定理，得=，‎ 又，，所以，解得 所以，的面积.‎ ‎18. 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对心肺疾病入院的人进行问卷调查，得到了如下的列联表：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 女 合计 ‎（1）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽人，其中男性抽多少人？‎ ‎（2）在上述抽取的人中选人，求恰好有名女性的概率；‎ ‎（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量，你有多大把握认为心肺疾病与性别有关？‎ 下面的临界值表供参考：‎ 参考公式：，其中.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）有把握认为心肺疾病与性别有关 ‎【解析】试题分析：（1）由列联表知，患心肺疾病的有30人，要抽取6人，用分层抽样的方法，则男性要抽取人；（2）采用列举法求出从6人中选2人，恰有1名女性的概率为；（3）由列联表中的数据，代入公式中，算出，查临界值表知：有把握认为心肺疾病与性别有关。‎ 试题解析：（1）在患心肺疾病的人群中抽人，其中男性抽人；‎ ‎（2）设男分为：，，，；女分为：，，则人中抽出人的所有抽法：（列举略）共种抽法，其中恰好有名女性的抽法有种.所以恰好有个女生的概率为.‎ ‎（3）由列联表得，查临界值表知：有把握认为心肺疾病与性别有关.‎ ‎19. 已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过证明平面，而，所以平面，由面面垂直的判定定理证明；（2）由（1）知平面，所以是三棱锥的高，而为直角三角形，易算出三棱锥的体积。‎ 试题解析：（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，.因为，分别为，的中点，所以，且，因为，且，所以，且.‎ 所以四边形为平行四边形，所以，即.‎ 因为平面，平面，所以.‎ 因为是菱形，所以.因为，所以平面.‎ 因为，所以平面.‎ 因为平面，所以平面平面.‎ ‎（2）因为，所以是等边三角形，所以.‎ 又因为平面，平面，所以.‎ 所以.‎ 因为面，所以是三棱锥的高.‎ 因为，‎ 所以 .‎ ‎20. 已知椭圆：，其左、右焦点分别为，，离心率为，点，又点在线段的中垂线上.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设椭圆的左右顶点分别是，，点在直线上（点不在轴上），直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，线段的中点为，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析;: （1）由已知条件得，，，由此能求出椭圆 的方程．  ‎ ‎（2）设的方程为（），方程为)，由方程组，得(，由此求出 ，化简后 ，，三角形为直角三角形， 为斜边中点，从而能证明 ．‎ 试题解析：（1） 在PF1的中垂线上, ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ ‎ ‎ (2)由(1)可知 设的方程为（），则P坐标（）‎ 所以， 所以方程为 由方程组 消去y,整理得 ‎ 求解可得,所以，‎ 因为 ，化简后 ，‎ 所以，则三角形为直角三角形，Q为斜边中点，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆等椭圆知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等 ‎21. 已知函数，，函数的图象在点处的切线的斜率为，函数在处取得极小值.‎ ‎（1）求函数，的解析式；‎ ‎（2）已知不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知有求出，由求得，所以，；（2）令，将问题转化为对任意的恒成立， ，对实数分情况讨论，得出单调性，求出最小值，从而得出的范围。‎ 试题解析：（1），，，，.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 令 ，.‎ 问题转化为对任意的恒成立.‎ ‎.‎ ‎①当时，，在上单调递减，，满足题意.‎ ‎②当时，，在上单调递减，，满足题意.‎ ‎③当时，在上恒成立，在上恒成立.‎ 所以在单调递减，在上单调递增，所以，不满足题意.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ 点睛：本题主要考查了导数在研究函数中的应用，属于中档题。考查了导数的几何意义，考查了分类讨论和等价转换思想。‎ ‎22. 在直角坐标系中，曲线：（为参数且），其中，以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，：.‎ ‎（1）求与交点的直角坐标；‎ ‎（2）若与相交于点，与相交于点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）4‎ ‎【解析】试题分析：（1）将与转化为直角坐标方程，解方程组即可求出交点坐标；（2）求出A，B的极坐标，利用距离公式进行求解．‎ 试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，‎ 联立，解得：或，所以与交点的直角坐标为和.‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为，其中，因此，的极坐标为，‎ 的极坐标为，所以 当时，取得最大值，最大值为4.‎ ‎23. 已知函数，不等式的解集为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）3；（2）或 ‎【解析】试题分析：（1）解不等式得，又不等式的解集为，所以；（2）由恒成立，则，由绝对值三角不等式求出a的范围。‎ 试题解析：（1）由已知得，得，即.‎ ‎（2）得恒成立.‎ ‎∵ （当且仅当时取到等号），‎ ‎∴解得或.‎ 故的取值范围为或.‎