专题02+平面向量与复数（仿真押题）-2018年高考数学（文）命题猜想与仿真押题 13页

‎1．设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，那么实数a的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B．－ C．3 D．－3‎ 解析：选C.＝，由题意知2a－1＝a＋2，解之得a＝3.‎ ‎2．若复数z满足(1＋2i)z＝(1－i)，则|z|＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.z＝＝⇒|z|＝.‎ ‎3．已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则－z2的共轭复数是(　　)‎ A．－1＋3i B．1＋3i C．1－3i D．－1－3i 解析：选B.－z2＝－(1＋i)2＝－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共轭复数是1＋3i，故选B.‎ ‎4．若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝(　　)‎ A．i B．1‎ C．－i D．－1‎ 解析：选C.∵z为纯虚数，∴a＝，∴＝＝＝＝－i.‎ ‎5．已知复数z＝，则z－|z|对应的点所在的象限为(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎6．若复数z满足z(1－i)＝|1－i|＋i，则z的实部为(　　)‎ A. B.－1‎ C．1 D. 解析：选A.由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝＝＝＋i，z的实部为，故选A. ‎ ‎7．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：选B.由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为边BC的中点，则＝＝×(＋)＝(＋)，所以＋＝3，故m＝3，故选B.‎ ‎8．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　)‎ A．24 B．8‎ C. D. 解析：选B.∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，即2x＋3y＝3，‎ ‎∴＋＝×(2x＋3y)＝≥＝8，当且仅当2x＝3y＝时，等号成立．‎ ‎∴＋的最小值是8.故选B.‎ ‎9．在平行四边形ABCD中，AC＝5，BD＝4，则·＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎10．在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·＝－4，则△ABC的面积为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．2 D．3‎ 解析：选C.∵＝(2,2)，∴||＝＝2.‎ ‎∵·＝||·||cos A＝2×2cos A＝－4，‎ ‎∴cos A＝－，∵0＜A＜π，∴sin A＝，∴S△ABC＝||·||sin A＝2.故选C.‎ ‎11．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)‎ A.＋　　　　 B.＋ C.＋ D.＋ 答案：B ‎12．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则等于(　　)‎ A．－ B. C．－2 D．2‎ 解析：∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则，故＝－2.‎ 答案：C ‎13.如图，在等腰直角三角形ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过点C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则·(－)＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：依题意AB＝，∠OAB＝45°，又⊥，＝，∴·(－)＝·＝·＋2＋·＝－1＋＝－.‎ 答案：A ‎14．设向量a＝(cosα，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan＝(　　)‎ A．－ B. C．－1 D．0‎ 解析：由已知可得，a·b＝2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，tan＝＝，故选B. ‎ 答案：B ‎15.如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB中，Q为上一点，点P在扇形内(含边界)，且＝t＋(1－t)·(0≤t≤1)，则·的最大值为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案：D ‎16．设复数z满足＝i(i为虚数单位)，则z2 016＝(　　)‎ A．21 008 B．21 008i C．－21 008 D．－21 008i 解析：由＝i得z－i＝zi＋i，z＝＝＝－1＋i，则z2＝(－1＋i)2＝－2i，从而z2 016＝(z2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i1 008＝21 008×(i4)252＝21 008.故选A.‎ 答案：A ‎17．如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是 、，则复数的值是（ ）‎ A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i ‎【答案】A ‎ ‎ ‎18．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以.‎ ‎19．复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】由题意得，，∴，故选A．‎ ‎20.函数y＝tan的部分图象如图所示，则(＋)·＝(　　) ‎ A.4 B.6‎ C.1 D.2‎ 解析　由条件可得B(3，1)，A(2，0)，‎ ‎∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.‎ 答案　B ‎21.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－，解得a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.‎ 答案　A ‎22.已知两个非零向量a，b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝3，c＝ta＋(1－t)b，若b⊥c，则t＝________.‎ 答案　2‎ ‎23. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.‎ 解析　法一　如图，建立平面直角坐标系.‎ 由题意知：A(3，0)，B(0，3)，‎ 设M(x，y)，由＝2，‎ 得解得 即M点坐标为(2，1)，‎ 所以·＝(2，1)·(0，3)＝3.‎ 法二　·＝(＋)·＝2＋×＝2＋·(－)＝2＝3.‎ 答案　3‎ ‎24.已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心).‎ 答案　垂心 ‎25.已知向量a＝，b＝，且x∈.‎ ‎(1)求a·b及|a＋b|；‎ ‎(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.‎ 解　(1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，‎ ‎|a＋b|＝ ‎＝＝2，‎ 因为x∈，所以cos x≥0，‎ 所以|a＋b|＝2cos x.‎ ‎(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－4λcos x，‎ 即f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.‎ 因为x∈，所以0≤cos x≤1.‎ ‎①当λ＜0时，当且仅当cos x＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；‎ ‎②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；‎ ‎③当λ＞1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝.‎ ‎26．设复数z=a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且 |z|=．‎ ‎（Ⅰ）求复数z；‎ ‎（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎27．已知平面上三个向量，其中．‎ ‎（1）若，且，求的坐标；‎ ‎（2）若，且，求与夹角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，所以设，，，所以或．‎ ‎（2）因为，所以，，所以．‎ ‎28．已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．‎ ‎①设，且，求k的值；‎ ‎②若A与D关于x的轴对称，求△AOD的面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）①②‎ ‎②∵，‎ ‎（当且仅当时取等号），‎ ‎∴S△AOD的最大值为．‎ ‎29．(1)向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，求|a＋b|和a＋b与c的夹角；‎ ‎(2)设O为△ABC的外心，已知AB＝3，AC＝4，非零实数x，y满足＝x＋y，且x＋2y＝1，求cos ∠BAC的值．‎ ‎ ‎