2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：6-2　等差数列（讲解部分） 13页

6.2 　等差数列 高考理数 考点一    等差数列及其性质 考点清单 考向基础 1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数,那么这 个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示.定义式如下: a n +1 - a n = d ( n ∈N * )或 a n - a n -1 = d ( n ≥ 2, n ∈N * ). 2.通项公式 如果等差数列{ a n }的首项为 a 1 ,公差为 d ,那么它的通项 a n = a 1 +( n -1) d = nd + a 1 - d , n ∈N * . 3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广: a n = a m +( n - m ) d ( n , m ∈N * ). (2)若{ a n }为等差数列,且 k + l = m + n ( k , l , m , n ∈N * ),则 a k + a l = a m + a n . (3)若{ a n }是等差数列,公差为 d ,则{ a 2 n }也是等差数列,公差为2 d . (4)若{ a n },{ b n }(项数相同)是等差数列,则{ pa n + qb n }( p , q ∈R)也是等差数列. (5)若{ a n }是等差数列,则 a k , a k + m , a k +2 m , … ( k , m ∈N * )组成公差为 md 的等差数列. 考向突破 考向一    等差数列基本量运算 例1     (2019甘肃二诊,4)在等差数列{ a n }中,已知 a 1 与 a 11 的等差中项是15, a 1 + a 2 + a 3 =9,则 a 9 =   (　　) A.24　　　　    B.18　　　　    C.12　　　　    D.6 解析 　∵在等差数列{ a n }中, a 1 与 a 11 的等差中项是15, ∴   ( a 1 + a 11 )= a 1 +5 d =15①. ∵ a 1 + a 2 + a 3 =9,∴ a 1 + d =3②. 联立①②,得 a 1 =0, d =3,∴ a 9 = a 1 +8 d =0+24=24.故选A. 答案     A 考向二    等差数列的性质的应用 例2     (2019江西红色七校第一次联考,3)已知数列{ a n }为等差数列,若 a 2 + a 6 + a 10 =   ,则tan( a 3 + a 9 )的值为   (　　) A.0　　　　    B.   　　　　    C.1　　　　    D.   解析 　∵数列{ a n }为等差数列, a 2 + a 6 + a 10 =   ,∴3 a 6 =   ,解得 a 6 =   .∴ a 3 + a 9 =2 a 6 =   ,∴tan( a 3 + a 9 )=tan   =   .故选D. 答案     D 考向基础 1.等差数列的前 n 项和公式 2.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 S n =   n 2 +   n . 非零数列{ a n }是等差数列的充要条件是其前 n 项和 S n = f ( n )是关于 n 的二次函 数或一次函数,且不含常数项,即 S n = An 2 + Bn ( A 2 + B 2 ≠ 0). 3.在等差数列{ a n }中,若 a 1 >0, d <0,则 S n 存在最大值;若 a 1 <0, d >0,则 S n 存在最小值. 已知条件 前 n 项和公式 a 1 , a n , n S n =   a 1 , d , n S n = na 1 +   d 考点二    等差数列的前n项和 4.与等差数列各项的和有关的性质 (1)若{ a n }是等差数列,则   也是等差数列,其首项与{ a n }的首项相同,其公 差是{ a n }的公差的   . (2)若{ a n }是等差数列, S m , S 2 m , S 3 m 分别为{ a n }的前 m 项,前2 m 项,前3 m 项的和,则 S m , S 2 m - S m , S 3 m - S 2 m 成 等差 数列. (3)关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质 (i)若项数为2 n ,则 S 偶 - S 奇 = nd ,   =   . (ii)若项数为2 n -1,则 S 偶 =( n -1) a n , S 奇 = na n , S 奇 - S 偶 = a n ,   =   . (4)两个等差数列{ a n }、{ b n }的前 n 项和 S n 、 T n 之间的关系为   =   . 考向突破 考向    等差数列的前 n 项和及其最值 例     (2019河南百校联盟考前仿真试卷,7)已知等差数列{ a n }满足 a 1 =32, a 2 + a 3 = 40,则{| a n |}的前12项之和为   (　　) A.-144　　　　    B.80　　　　    C.144　　　　    D.304 解析 　因为 a 2 + a 3 =2 a 1 +3 d =64+3 d =40 ⇒ d =-8,所以 a n =40-8 n ,所以| a n |=|40-8 n |=   所以{| a n |}的前12项之和为   +   =80+224=304. 答案     D 方法1      等差数列的判定与证明 方法 解读 适合题型 定义法 对于大于2的任意自然数 n , a n - a n -1 为同一常数 ⇔ { a n }是等差数列 解答题中证明问题 等差 中项法 2 a n -1 = a n + a n -2 ( n ≥ 3, n ∈N * )成立 ⇔ { a n }是等差数列 通项 公式法 a n = pn + q ( p , q 为常数)对任意的正整数 n 都成立 ⇔ { a n }是等差数列 选择题、填空题中的判定问题 前 n 项和 公式法 验证 S n = An 2 + Bn ( A , B 是常数)对任意的正整数 n 都成立 ⇔ { a n }是等差数列 方法技巧 例1     (2018山东济南一中1月检测,18)各项均不为0的数列{ a n }满足   = a n +2 a n ,且 a 3 =2 a 8 =   . (1)证明:数列   是等差数列,并求数列{ a n }的通项公式; (2)若数列{ b n }的通项公式为 b n =   ,求数列{ b n }的前 n 项和 S n . 解题导引   解析 　(1)依题意, a n +1 a n + a n +2 a n +1 =2 a n +2 a n ,两边同时除以 a n a n +1 a n +2 ,可得   +   =   ,故数列   是等差数列. 设数列   的公差为 d .因为 a 3 =2 a 8 =   ,所以   =5,   =10,所以   -   =5=5 d ,即 d =1, 故   =   +( n -3) d =5+( n -3) × 1= n +2,故 a n =   . (2)由(1)可知 b n =   =   ·   =     , 故 S n =     =   . 方法2      等差数列前n项和的最值问题 求等差数列{ a n }的前 n 项和 S n 的最值的方法:   例2     (2019广东中山一中等七校联合体第二次联考,8)已知等差数列{ a n } 的前 n 项和为 S n , a 6 + a 8 =6, S 9 - S 6 =3,则 S n 取得最大值时 n 的值为   (　　) A.5　　　　    B.6　　　　    C.7　　　　    D.8 解析 　解法一:(通项公式法)由题意,可得 a 6 + a 8 =2 a 7 =6 ⇒ a 7 =3, S 9 - S 6 = a 7 + a 8 + a 9 = 3 a 8 =3 ⇒ a 8 =1,则 d = a 8 - a 7 =-2,可求得数列的通项公式为 a n =17-2 n , 令 a n ≥ 0,即17-2 n ≥ 0,解得 n ≤   ,又由 n ∈N * , 可得等差数列{ a n }中,当1 ≤ n ≤ 8, n ∈N * 时, a n >0,当 n ≥ 9, n ∈N * 时, a n <0,所以 S n 取得最大值时 n 的值为8,故选D. 解法二:(二次函数法)由题意可得 a 6 + a 8 =2 a 7 =6,所以 a 7 =3, S 9 - S 6 = a 7 + a 8 + a 9 =3 a 8 = 3,所以 a 8 =1,则 d = a 8 - a 7 =-2,所以 a 1 =15,所以 S n =15 n +   × (-2)=- n 2 +16 n =-( n -8) 2 + 64,所以当 n =8时, S n 最大.故选D. 答案     D