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- 2021-06-11 发布
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6.2
等差数列
高考理数
考点一 等差数列及其性质
考点清单
考向基础
1.等差数列的定义
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数,那么这
个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母
d
表示.定义式如下:
a
n
+1
-
a
n
=
d
(
n
∈N
*
)或
a
n
-
a
n
-1
=
d
(
n
≥
2,
n
∈N
*
).
2.通项公式
如果等差数列{
a
n
}的首项为
a
1
,公差为
d
,那么它的通项
a
n
=
a
1
+(
n
-1)
d
=
nd
+
a
1
-
d
,
n
∈N
*
.
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:
a
n
=
a
m
+(
n
-
m
)
d
(
n
,
m
∈N
*
).
(2)若{
a
n
}为等差数列,且
k
+
l
=
m
+
n
(
k
,
l
,
m
,
n
∈N
*
),则
a
k
+
a
l
=
a
m
+
a
n
.
(3)若{
a
n
}是等差数列,公差为
d
,则{
a
2
n
}也是等差数列,公差为2
d
.
(4)若{
a
n
},{
b
n
}(项数相同)是等差数列,则{
pa
n
+
qb
n
}(
p
,
q
∈R)也是等差数列.
(5)若{
a
n
}是等差数列,则
a
k
,
a
k
+
m
,
a
k
+2
m
,
…
(
k
,
m
∈N
*
)组成公差为
md
的等差数列.
考向突破
考向一 等差数列基本量运算
例1
(2019甘肃二诊,4)在等差数列{
a
n
}中,已知
a
1
与
a
11
的等差中项是15,
a
1
+
a
2
+
a
3
=9,则
a
9
=
( )
A.24 B.18 C.12 D.6
解析
∵在等差数列{
a
n
}中,
a
1
与
a
11
的等差中项是15,
∴
(
a
1
+
a
11
)=
a
1
+5
d
=15①.
∵
a
1
+
a
2
+
a
3
=9,∴
a
1
+
d
=3②.
联立①②,得
a
1
=0,
d
=3,∴
a
9
=
a
1
+8
d
=0+24=24.故选A.
答案
A
考向二 等差数列的性质的应用
例2
(2019江西红色七校第一次联考,3)已知数列{
a
n
}为等差数列,若
a
2
+
a
6
+
a
10
=
,则tan(
a
3
+
a
9
)的值为
( )
A.0 B.
C.1 D.
解析
∵数列{
a
n
}为等差数列,
a
2
+
a
6
+
a
10
=
,∴3
a
6
=
,解得
a
6
=
.∴
a
3
+
a
9
=2
a
6
=
,∴tan(
a
3
+
a
9
)=tan
=
.故选D.
答案
D
考向基础
1.等差数列的前
n
项和公式
2.等差数列的前
n
项和公式与函数的关系
S
n
=
n
2
+
n
.
非零数列{
a
n
}是等差数列的充要条件是其前
n
项和
S
n
=
f
(
n
)是关于
n
的二次函
数或一次函数,且不含常数项,即
S
n
=
An
2
+
Bn
(
A
2
+
B
2
≠
0).
3.在等差数列{
a
n
}中,若
a
1
>0,
d
<0,则
S
n
存在最大值;若
a
1
<0,
d
>0,则
S
n
存在最小值.
已知条件
前
n
项和公式
a
1
,
a
n
,
n
S
n
=
a
1
,
d
,
n
S
n
=
na
1
+
d
考点二 等差数列的前n项和
4.与等差数列各项的和有关的性质
(1)若{
a
n
}是等差数列,则
也是等差数列,其首项与{
a
n
}的首项相同,其公
差是{
a
n
}的公差的
.
(2)若{
a
n
}是等差数列,
S
m
,
S
2
m
,
S
3
m
分别为{
a
n
}的前
m
项,前2
m
项,前3
m
项的和,则
S
m
,
S
2
m
-
S
m
,
S
3
m
-
S
2
m
成
等差
数列.
(3)关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质
(i)若项数为2
n
,则
S
偶
-
S
奇
=
nd
,
=
.
(ii)若项数为2
n
-1,则
S
偶
=(
n
-1)
a
n
,
S
奇
=
na
n
,
S
奇
-
S
偶
=
a
n
,
=
.
(4)两个等差数列{
a
n
}、{
b
n
}的前
n
项和
S
n
、
T
n
之间的关系为
=
.
考向突破
考向 等差数列的前
n
项和及其最值
例
(2019河南百校联盟考前仿真试卷,7)已知等差数列{
a
n
}满足
a
1
=32,
a
2
+
a
3
=
40,则{|
a
n
|}的前12项之和为
( )
A.-144 B.80 C.144 D.304
解析
因为
a
2
+
a
3
=2
a
1
+3
d
=64+3
d
=40
⇒
d
=-8,所以
a
n
=40-8
n
,所以|
a
n
|=|40-8
n
|=
所以{|
a
n
|}的前12项之和为
+
=80+224=304.
答案
D
方法1
等差数列的判定与证明
方法
解读
适合题型
定义法
对于大于2的任意自然数
n
,
a
n
-
a
n
-1
为同一常数
⇔
{
a
n
}是等差数列
解答题中证明问题
等差
中项法
2
a
n
-1
=
a
n
+
a
n
-2
(
n
≥
3,
n
∈N
*
)成立
⇔
{
a
n
}是等差数列
通项
公式法
a
n
=
pn
+
q
(
p
,
q
为常数)对任意的正整数
n
都成立
⇔
{
a
n
}是等差数列
选择题、填空题中的判定问题
前
n
项和
公式法
验证
S
n
=
An
2
+
Bn
(
A
,
B
是常数)对任意的正整数
n
都成立
⇔
{
a
n
}是等差数列
方法技巧
例1
(2018山东济南一中1月检测,18)各项均不为0的数列{
a
n
}满足
=
a
n
+2
a
n
,且
a
3
=2
a
8
=
.
(1)证明:数列
是等差数列,并求数列{
a
n
}的通项公式;
(2)若数列{
b
n
}的通项公式为
b
n
=
,求数列{
b
n
}的前
n
项和
S
n
.
解题导引
解析
(1)依题意,
a
n
+1
a
n
+
a
n
+2
a
n
+1
=2
a
n
+2
a
n
,两边同时除以
a
n
a
n
+1
a
n
+2
,可得
+
=
,故数列
是等差数列.
设数列
的公差为
d
.因为
a
3
=2
a
8
=
,所以
=5,
=10,所以
-
=5=5
d
,即
d
=1,
故
=
+(
n
-3)
d
=5+(
n
-3)
×
1=
n
+2,故
a
n
=
.
(2)由(1)可知
b
n
=
=
·
=
,
故
S
n
=
=
.
方法2
等差数列前n项和的最值问题
求等差数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
的最值的方法:
例2
(2019广东中山一中等七校联合体第二次联考,8)已知等差数列{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
a
6
+
a
8
=6,
S
9
-
S
6
=3,则
S
n
取得最大值时
n
的值为
( )
A.5 B.6 C.7 D.8
解析
解法一:(通项公式法)由题意,可得
a
6
+
a
8
=2
a
7
=6
⇒
a
7
=3,
S
9
-
S
6
=
a
7
+
a
8
+
a
9
=
3
a
8
=3
⇒
a
8
=1,则
d
=
a
8
-
a
7
=-2,可求得数列的通项公式为
a
n
=17-2
n
,
令
a
n
≥
0,即17-2
n
≥
0,解得
n
≤
,又由
n
∈N
*
,
可得等差数列{
a
n
}中,当1
≤
n
≤
8,
n
∈N
*
时,
a
n
>0,当
n
≥
9,
n
∈N
*
时,
a
n
<0,所以
S
n
取得最大值时
n
的值为8,故选D.
解法二:(二次函数法)由题意可得
a
6
+
a
8
=2
a
7
=6,所以
a
7
=3,
S
9
-
S
6
=
a
7
+
a
8
+
a
9
=3
a
8
=
3,所以
a
8
=1,则
d
=
a
8
-
a
7
=-2,所以
a
1
=15,所以
S
n
=15
n
+
×
(-2)=-
n
2
+16
n
=-(
n
-8)
2
+
64,所以当
n
=8时,
S
n
最大.故选D.
答案
D