山东省济南市历城第二中学2021届高三数学10月检测试题（Word版附答案） 4页

历城二中10月份数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分）‎ ‎1.已知集合，，则的子集共有( )‎ A.3个 B.4个 C.7个 D.8个 ‎2..已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知向量，若，则( )‎ A.5 B‎.4 ‎ C.3 D. 2‎ ‎4.已知函数对任意，都有，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.设为第二象限角，若，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知函数，若正实数满足，则的最小值为( )‎ ‎ A.4 B‎.8 ‎ C.9 D. 13‎ ‎7.已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，‎ 无穷无尽. 2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为( )‎ A. 猴 B. 马 C. 羊 D. 鸡 二、多项选择题（每小题5分，共20分）‎ ‎9.下列命题正确的是( )‎ A. 若角，则 ‎ B. 任意的向量，若，则 ‎ C. 已知数列的前项和（为常数），则为等差数列的充要条件是 D. 函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图像关于直线对称 ‎10.函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是( )‎ A. ‎ B. 若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数 C. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上 是增函数 D. ，若恒成立，则的最小值为 ‎11.若为正实数，则的充要条件为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数，函数，下列选项正确的是( )‎ A. 点是函数的零点 B. ,使 C.函数的值域为 D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 三、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.在等差数列中，若，则_________.‎ ‎14._________.‎ ‎15.2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）．‎ ‎16.已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围是__________；若不等式有解，则的取值范围是___________. （第一个空2分，第二个空3分）‎ 四、解答题（共70分）‎ ‎17(10分）.在中，分别为角所对的边，且.‎ ‎（1）求角.‎ ‎（2）若 ，求的最大值.‎ ‎18.（12分）已知数列的前项和为，.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）已知曲线若为椭圆，求的值；‎ ‎19.（12分）如图, 在直四棱柱中， ,‎ 分别为的中点，.（1） 证明：平面.‎ ‎（2） 求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.（12分）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”.‎ ‎（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方 法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，‎ 并根据列联表的独立性检验，判断是否有的把握认为经常使用共享单车与年 龄有关？‎ 使用共享单车情况与年龄列联表 年轻人 非年轻人 合计 经常使用单车用户 ‎120‎ 不常使用单车用户 ‎80‎ 合计 ‎160‎ ‎40‎ ‎200‎ ‎（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享 单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布列与期望.‎ ‎（参考数据：独立性检验界值表 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 其中，‎ ‎21.（12分）已知椭圆的离心率是，原点到直线的距离等于. ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程.‎ ‎（2）已知点，若椭圆上总存在两个点关于直线对称，且，求实数的取值范围．‎ ‎22.（12分）已知函数.‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.‎ ‎ 历城二中10月份数学试卷参考答案 ‎1-5BABDA 6.-8：CDB 9.：BC 10.：ABD 11.：BD 12：BC ‎13.8 14.：-1 15.：900 16.：;‎ ‎16.解析：由题可得，因为函数有两个不同的极值点，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有,解得.‎ 若不等式有解，所以 因为 ‎.‎ 设，‎ ‎，故在上单调递增，故，‎ 所以，所以的取值范围是.‎ ‎17.答案：（1）即 ‎ ‎（2）由可得， ‎ ‎（其中） 的最大值为 ‎18.（1）对任意的，，则且，‎ 所以，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列；‎ （2） 由（1）可得，.‎ 当时，，‎ 也适合上式，所以，.‎ 由于曲线是椭圆，则，即，‎ ‎，解得或2；‎ ‎19.答案：（1）连接,易知侧面为矩形，为的中点,为的中点.‎ 为的中点,平面,平面平面 ‎ ‎（2）在平面中，过点作，易知平面,‎ 故以为原点，分别以所在直 线为轴建立如图所示空间直角坐标系，‎ 设,‎ 则，，‎ 设平面的法向量为,‎ 由即解得 ‎ 令，得，所以 ‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为 ‎20.（1）补全的列联表如下：‎ 年轻人 非年轻人 合计 经常使用共享单车 ‎100‎ ‎20‎ ‎120‎ 不常使用共享单车 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 合计 ‎160‎ ‎40‎ ‎200‎ 于是 即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关. ‎ ‎（2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.729‎ ‎0.243‎ ‎0.027‎ ‎0.001‎ ‎∴的数学期望.‎ ‎21.答案：（1）由，得， 所以椭圆的标准方程为． ‎ ‎（2）根据题意可设直线的方程为，联立，整理得，‎ 由，得．设，则 又设的中点为，则.‎ 由于点在直线上，所以，得代入，得，所以①‎ 因为，所以 ‎.由，得，即 所以，即②由①②得. 故实数的取值范围为.‎ ‎22. （1）的定义域为，，‎ 当时，在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，‎ 当时，，所以无极值，‎ 当时，在上递增，在上递减，所以在处取得极大值.‎ ‎（2）设，即，‎ ‎.‎ ‎①若，则当时，单调递减，当时，单调递增，至多有两个零点.‎ ‎②若，则（仅）. 单调递增，至多有一个零点.‎ ‎③若，则，当或时，单调递增；当时，单调递减，要使有三个零点，必须有成立.‎ 由，得，这与矛盾，所以不可能有三个零点.‎ ‎④若，则.当或时，，单调递增；当时，单调递减，要使有三个零点，必须有成立，‎ 由，得，由及，得，‎ ‎.并且，当时，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 综上，使有三个零点的的取值范围为.‎