数学理卷·2019届安徽省六安市第一中学高二上学期期末考试（2018-01） 9页

六安一中2017～2018年度高二年级第一学期期末考试 数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，长轴长等于圆的半径，则椭圆的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.的内角的对边分别为，已知，，，则（ ）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎3.记为等差数列的前项和.若，，则的公差为（ ）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎4.已知命题，，则下列叙述正确的是（ ）‎ A．， B．， ‎ C. ， D．是假命题 ‎5.函数的最小值是（ ）‎ A． B． C. D．2‎ ‎6.“双曲线渐近线方程为”是“双曲线方程为（为常数且）”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7.已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，不能构成空间基底的向量是（ ）‎ A． B． C. D．或 ‎8.已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（ ）‎ A．1 B．-1或1 C.2 D．-2或2‎ ‎9.椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）‎ A． B． C.3 D．‎ ‎10.在三棱锥中，，，点分别是的中点，平面，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.过抛物线的焦点作不与坐标轴垂直的直线，交抛物线于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则（ ）‎ A．10 B．8 C.6 D．4‎ ‎12.设双曲线的右顶点为，右焦点为，弦过且垂直于轴，过点、点分别作为直线、的垂直，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.在平面直角坐标系中，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，双曲线的左，右焦点分别是，则四边形的面积是 ．‎ ‎14.正方体的棱长为1，分别为，的中点，则点到平面的距离为 ．‎ ‎15.，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.设为椭圆的右焦点，且椭圆上至少有10个不同的点，使组成公差为的等差数列，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知椭圆的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的离心率为.‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）若斜率为1的直线交双曲线于两点，线段的中点的横坐标为，求直线的方程.‎ ‎18.直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，是棱的中点，且.‎ ‎（1）若点为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）若点在棱上，且平面，求线段的长.‎ ‎19.已知椭圆的左，右焦点分别为，.直线与椭圆交于两点.‎ ‎（1）若的周长为，求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若，且以为直径的圆过椭圆的右焦点，求的取值范围.‎ ‎20.如图，在三棱台中，，平面，，，，分别为的中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成角（锐角）的大小.‎ ‎21.平面内一动圆（在轴右侧）与圆外切，且与轴相切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知动直线过点，交轨迹于两点，坐标原点为的中点，求证：.‎ ‎22.已知椭圆，上顶点为，焦点为，点是椭圆上异于点的不同的两点，且满足直线与直线斜率之积为.‎ ‎（1）若为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求面积的最大值；‎ ‎（2）试判断直线是否过定点；若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BBCDA 6-10:CCDBC 11、12：AB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）椭圆的长轴两端点为，得，‎ 又，得，∴.∴双曲线的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，由得，‎ ‎∴，，∴.∴直线方程为.‎ ‎18.解：取边中点为∵底面是边长为2的正三角形，‎ ‎∴ 连接，∵是边的中点∴， ‎ 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，，‎ ‎（1）若为的中点，则，，‎ 设异面直线与所成的角为，则，‎ 所以异面直线与所成的角得余弦值为 ‎（2）设，则，，‎ 若平面，则由，‎ ‎∴可得 即当时，平面 ‎19.解：（1）由题意得，，，解得.‎ 所以椭圆的离心率；‎ ‎（2）由，消去，得.‎ 设，，则，.‎ ‎，，由题知 ‎∴‎ 即，‎ 因为，所以，即.‎ ‎20.解：由平面，可得平面，‎ 又，，则，于是两两垂直，‎ 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，‎ ‎，，，，‎ ‎（1）证明：连接，设与交于点.在三棱台中，，则，‎ 而是的中点，，则，所以四边形是平行四边形，‎ 是的中点，.‎ 又在中，是的中点，则，‎ 又平面，平面，‎ 故平面 ‎（2）解：平面的一个法向量为，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 取，则，，，‎ ‎，故平面与平面所成角（锐角）的大小为.‎ ‎21.（1）解：设，则，‎ ‎∴动圆圆心的轨迹的方程为：.‎ ‎（2）证明：设，，由于为的中点，则 当直线垂直于轴时，由抛物线的对称性知.‎ 当直线不垂直于轴时，设，‎ 由，得 ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴ ∴‎ 综上，.‎ ‎22.解：（1）设，则 ‎∴面积的最大值为.‎ ‎（2）由题意，，直线的斜率不为0，设直线的方程为：，‎ ‎，，由，得 ‎①‎ ‎，②‎ ‎∵直线与直线斜率之积为 ‎∴，‎ 将②式代入，化简得，解得或 ‎（若设直线的斜截式方程，此处可直接求出直线的纵截距为2或）‎ 当时，直线的方程为：，过定点，不符合题意；‎ 当时，直线的方程为：，过定点，将代入①式，‎ 解得 ‎∴直线过定点.‎