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- 2021-06-11 发布
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2017-2018学年安徽省池州市高二上学期期末考试理科数学
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分150分,考试时间120分钟。
第I卷
一、选择题(本题共有12小题,每小题5分,共60分。在每小題给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。
1.抛物线x2=—32y的焦点坐标为
A.(0,-8) B.(0,8) C.(-8,0) D.(8,0)
2.命题p:“”,则为
A. B.
C. D.
3如图所示,三棱锥O—ABC中, ,且,则
A, B.
C. D.
4.已知命题“若x≥3,则”,则此命题的逆命题、否命题逆否命题中,正确命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
5.已知、是两个不同的平面,m、n是两条不同的直线,下列命题中错误的是
A.若m⊥、m∥n,n,则⊥ B.若∥,m⊥,n⊥,则m∥n
C.若∥,,,则m∥n D.若⊥,m,,,m⊥n,则m⊥
6.“m>0,n>0”是“曲线mx2—ny2=1为双曲线”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.一几何体的三视图如图所示,其中网格纸中每个小正方形的边长为1,则该几何体的表面积为
A. B. C, D.
8.已知a、b是关于x的方程 (P为常数)的两个不相等的实根,则
过两点M(,)、N(b,b2)的直线与圆的位置关系为
A.相交 B,相切 C相离 D.相切或相离
9.已知双曲线C: 上任意一点为G,则G到双曲线C的两条渐近线距离之积为
A. B. C. D.
10.中国古代第一部数学名著《九章算术》中,将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形,其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖,若三棱锥Q-ABC为鳖臑,QA⊥平面ABC,AB⊥BC,QA=BC=3,AC=5,则三棱锥Q-ABC外接球的表面积为
A. B. C. D.
11.如果圆上总存在两个点到点(1,1)的距离为2,则实数t的取值范围是
A. B.
C. D.
12.已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1,M是正方形ABCD所在平面内一动点,点E、F满足,若点M到直线EF与直线BC的距离之比为1:2,则动点M的轨迹是
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
第Ⅱ卷
13.已知向量,则
14.已知正四棱锥S-ABCD所有棱长均为2,若E为棱SC的中点,则异面直线BE与SA所成角的正切值为______________。
15.已知抛物线的焦点为F,经过F的直线与抛物线在第一象限的交点为A,与准线l交于点B、A在B的上方,且AK⊥l于K,若△KFB是等腰三角形,腰长为2,则p=__。
16.椭圆的右焦点为F(c,0),上下顶点分别为A、B,直线AF交椭圆于另一点P,若PB的斜率为,则椭圆的离心率e=_______。
三、解答题:(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知命题p:直线和直线平行,命题q:函数的值可以取遍所有正实数
(I)若p为真命题,求实数a的值
(Ⅱ)若命题均为假命题,求实数a的取值范围
18.(本小题满分12分)
一装有水的直三棱柱ABC-A1B1C1容器(厚度忽略不计),上下底面均为边长为5的正三角形,侧棱为10,侧面AA1B1B水平放置,如图所示,点D、E、F、G分别在棱CA、CB、C1B1、C1A1上,水面恰好过点D,E,F,C,且CD=2
(1)证明:DE∥AB;
(Ⅱ)若底面ABC水平放置时,求水面的高
19(本小题满分12分)
已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2,过点F2作直线交椭圆C于M、N两点,△F1MN的周长为。
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若∠F1F2M=,求弦长
20.(本小题满分12分)
已知四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为直角梯形,CD⊥平面ABC,侧面ABC是等腰直角三角形,∠EBC=∠ABC=90°,BC=CD=2BE=2,点M是棱AD的中点
(I)证明:平面AED⊥平面ACD;
(Ⅱ)求锐二面角B-CM-A的余弦值
21.(本小题满分12分)
已知⊙H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四个部分,且截x轴所得线段的长为2。
(I)求⊙H的方程;
(Ⅱ)若存在过点P(0,b)的直线与⊙H相交于M,N两点,且点M恰好是线段PN的中点,求实数b的取值范围
22.(本小题满分12分)
已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,准线为l,三个点P(2,),Q(2, ),R(3,)中恰有两个点在C上
(I)求抛物线C的标准方程;
(Ⅱ)过F的直线交C于A,B两点,点M为l上任意一点,证明:直线MA,MF,MB的斜率成等差数列。
池州市高二(理科)数学答案
题
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答
案
A
D
C
B
C
A
B
C
B
D
B
B
4.B 【解析】∵,∴,即(x﹣2)(x+1)>0,∴x>2或x<﹣1.逆命题为“若,则”,显然是假命题,又逆命题与否命题互为逆否命题,所以否命题也是假命题.又原命题为真命题,所以逆否命题也是真命题.综上,选B.
5.C【解析】对A,若,则,又 ,所以A正确;对C,
可能是异面直线,所以C错误;易知B,D正确.
6. A 【解析】当时,曲线,可化为,表示焦点在x轴上的双曲线,充分性成立.若曲线为双曲线,则或,必要性不成立,即“”是“曲线为双曲线”的充分不必要条件.
7.B 【解析】原几何体是由一个半圆柱与长方体拼接而成,半圆柱的底面半径为2,高为3,长方体的长为4,宽为1,高为3,故该几何体的表面积为.
8.C 【解析】由题意可得,且.过点的直线方程为,即,即,于是圆心到上述直线的距离为,所以直线与圆相离,故选C.
9.B 【解析】设,双曲线的两条渐近线方程分别为,所以到双曲线的两条渐近线的距离分别为
,所以
又因为点在双曲线上,所以,即,代入上式,可得.
10. D 【解析】补全为长方体,如图,则,所以,故外接球得表面积为.
11.B【解析】因为到点的距离为2的点的轨迹是圆,所以题目条件等价于圆与圆相交,从而,即,解得实数的取值范围是.
12.B 【解析】因为,,且正方体的棱长为4,所以,故点到直线距离,即为点到点距离,于是条件“平面内点到直线与直线的距离之比为1:2”转化为“平面内点到点与直线的距离之比为1:2”.在平面内,以A为坐标原点,AB、AD分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系,则,直线的方程为,设点的坐标为,则依据题意可得,化简可得,故动点的轨迹是椭圆.
13. 5 【解析】因为,所以.
14. 【解析】设正方形ABCD的中心为O,连接EO,OB,则即是异面直线与所成角.易知,所以在中,.
15.1 【解析】如下图,因为是等腰三角形,腰长为2,所以必有,
简单可证也为等腰三角形且,由抛物线的定义可得,又因为,所以,即
16. 或【解析】设,则满足,即,则,的斜率之积为,因为,所以.又因为,所以,即,解得或.
17. 【解析】(I)显然当,直线不平行,
所以,,
因为为真命题,所以,解得,或 …………………………5分
(II)若为真命题,则恒成立,解得,或.
因为命题均为假命题,所以命题都是假命题,
所以,解得,或,
故实数的取值范围是 …………………………………………………10分
18. 【解析】(I)证明:因为直三棱柱容器侧面水平放置,
所以平面平面,
因为平面平面,平面平面,
所以…………………………………………………………………………………6分
(II)当侧面水平放置时,可知液体部分是直四棱柱,
其高即为直三棱柱容器的高,即侧棱长10.
由(I)可得,又,
所以.…………………………………………………………………9分
当底面水平放置时,设水面的高为,由于两种状态下水的体积相等,
所以,即,
解得.…………………………………………………………………………………12分
19. 【解析】(I)因为焦距为2,所以,即.
又因为的周长为,结合椭圆定义可得,所以.
所以,于是椭圆的方程.……………………………………5分
(II)因为,所以直线的斜率,所以直线的方程为,联立,消去y可得.…………………………………8分
设,则,
所以.………………………12分
20. 【解析】(I)证明:取AC的中点F,连接BF,
因为AB=BC,所以,平面ABC,所以CD.
又所以平面ACD.①…………………………………………………3分
因为AM=MD,AF=CF,所以.
因为,所以//MF,
所以四边形BFME是平行四边形.所以EM//BF.②
由①②,得平面ACD,所以平面平面;………………………………5分
(II)BE平面ABC,
又,
以点B为原点,直线BC、BA、BE分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系B-xyz.
由,得B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),D(2,0,2).
由中点坐标公式得,
,,
设向量为平面BMC的一个法向量,则即
令y=1,得x=0,z=-1,即,……………………………………………………8分
由(I)知,是平面ACD的一个法向量. ……………………………………9分
设二面角B-CM-A的平面角为,
则,…………………………11分
又二面角B-CM-A为锐二面角,故. …………………………………………12分
21. 【解析】(I)设的方程为,
因为被直线分成面积相等的四部分,
所以圆心一定是两直线的交点,
易得交点为,所以.……………………………………………………2分
又截x轴所得线段的长为2,所以.
所以的方程为.…………………………………………………4分
(II)法一:如图,的圆心,半径,
过点N作的直径,连结.
当与不重合时,,
又点是线段的中点;
当与重合时,上述结论仍成立.
因此,“点是线段的中点”等价于“圆上存在一点使得的长等于的直径”.
…………………………………………………………………………………………………6分
由图可知,即,即.……8分
显然,所以只需,即,解得.
所以实数的取值范围是.………………………………………………12分
法二:如图,的圆心,半径,连结,
过作交于点,并设.
由题意得,
所以,…………………………6分
又因为,所以,
将代入整理可得,………………………………………………8分
因为,所以,,解得.…………12分
22. 【解析】(I)因为抛物线:关于x轴对称,
所以中只能是两点在上,
带入坐标易得,所以抛物线的标准方程为.………………………………6分
(II)证明:抛物线的焦点的坐标为,准线的方程为.
设直线的方程为,.
由,可得,所以,
于是,
设直线的斜率分别为,
一方面,
.
另一方面,.
所以,即直线的斜率成等差数列. ……………………12分