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  • 2021-06-11 发布

数学卷·2018届陕西省西安市庆安中学高二上学期第一次月考数学试卷(文科) (解析版)

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‎2016-2017学年陕西省西安市庆安中学高二(上)第一次月考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.若数列{an}满足3an+1=3an+1,则数列是(  )‎ A.公差为1的等差数列 B.公差为的等差数列 C.公差为﹣的等差数列 D.不是等差数列 ‎2.等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12=(  )‎ A.15 B.30 C.31 D.64‎ ‎3.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,{an}的前4项和为(  )‎ A.81 B.120 C.168 D.192‎ ‎4.等差数列中,a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于(  )‎ A.160 B.180 C.200 D.220‎ ‎5.设{an}是等比数列,且a1=,S3=,则它的通项公式为an=(  )‎ A. •()n﹣1 B. C. •(﹣)n﹣2 D. •(﹣2)n﹣1或 ‎6.等比数列{an}中,a3,a5 是方程x2﹣34x+64=0的两根,则a4等于(  )‎ A.8 B.﹣8 C.±8 D.以上都不对 ‎7.若{an}是等比数列,其公比是q,且﹣a5,a4,a6成等差数列,则q等于(  )‎ A.1或2 B.1或﹣2 C.﹣1或 2 D.﹣1或﹣2‎ ‎8.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10:S5=1:2,则S15:S5等于(  )‎ A.3:4 B.2:3 C.1:2 D.1:3‎ ‎9.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1、a3、a9成等比数列,则的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是(  )‎ A.21 B.20 C.19 D.18‎ ‎11.数列1,2,3,4…前n项的和为(  )‎ A. + B.﹣++1‎ C.﹣+ D.﹣+‎ ‎12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,且A、B、C三点共线(该直线不过原点O),则S200=(  )‎ A.100 B.101 C.200 D.201‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.与的等比中项是  .‎ ‎14.等比数列{an}中,公比为2,前四项和等于1,则前8项和等于  .‎ ‎15.已知两个等差数列{an},{bn}的前n项的和分别为Sn,Tn,且,则 =  .‎ ‎16.“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神八”的“长征”系列火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2km,以后每秒钟通过的路程都增加2km,在到达离地面240km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间大约是  秒钟.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.已知等差数列{an}中,a15=8,a60=20,则a75=  .‎ ‎18.已知等差数列{an}中,a3a7=﹣16,a4+a6=0,求:‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2){an}的前n项和Sn.‎ ‎19.已知{an}为等差数列,且a3=﹣6,a6=0.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若等比数列{bn}满足b1=﹣8,b2=a1+a2+a3,求数列{bn}‎ 的前n项和公式.‎ ‎20.设数列{an}满足:a1=1,a2=,an+2=an+1﹣an (n=1,2,…).令bn=an+1﹣an.‎ ‎(1)求证:数列{bn}是等比数列,并求bn;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎21.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.‎ ‎(1)设bn=,证明:数列{bn}是等差数列.‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和.‎ ‎22.已知数列{an}前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…)‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)当bn=log(3an+1)时,求证:数列{}的前n项和Tn=.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年陕西省西安市庆安中学高二(上)第一次月考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.若数列{an}满足3an+1=3an+1,则数列是(  )‎ A.公差为1的等差数列 B.公差为的等差数列 C.公差为﹣的等差数列 D.不是等差数列 ‎【考点】等差关系的确定.‎ ‎【分析】由3an+1=3an+1,可得an+1﹣an=,所以根据等差数列的定义进行判断.‎ ‎【解答】解:∵3an+1=3an+1,‎ ‎∴an+1﹣an=,‎ ‎∴数列{an}是以公差为的等差数列.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎2.等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12=(  )‎ A.15 B.30 C.31 D.64‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16,再由a4=1=a1+3d,解方程求得a1和公差d的值,从而求得a12的值.‎ ‎【解答】解:设公差等于d,由a7+a9=16可得 2a1+14d=16,即 a1+7d=8.‎ 再由a4=1=a1+3d,可得 a1=﹣,d=.‎ 故 a12 =a1+11d=﹣+=15,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,{an}的前4项和为(  )‎ A.81 B.120 C.168 D.192‎ ‎【考点】等比数列的性质.‎ ‎【分析】根据等比数列的性质可知等于q3,列出方程即可求出q的值,利用即可求出a1的值,然后利用等比数列的首项和公比,根据等比数列的前n项和的公式即可求出{an}的前4项和.‎ ‎【解答】解:因为==q3=27,解得q=3‎ 又a1===3,则等比数列{an}的前4项和S4==120‎ 故选B ‎ ‎ ‎4.等差数列中,a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于(  )‎ A.160 B.180 C.200 D.220‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】先根据a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78可得到a1+a20=18,再由等差数列的前20项和的式子可得到答案.‎ ‎【解答】解:∵a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78‎ ‎∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20)‎ ‎∴a1+a20=18‎ ‎∴=180‎ 故选B ‎ ‎ ‎5.设{an}是等比数列,且a1=,S3=,则它的通项公式为an=(  )‎ A. •()n﹣1 B. C. •(﹣)n﹣2 D. •(﹣2)n﹣1或 ‎【考点】等比数列的性质.‎ ‎【分析】由题意可得q的方程,解方程可得q,即可求出•(﹣2)n﹣1或.‎ ‎【解答】解:∵数列{an}为等比数列,且a1=,S3=,‎ ‎∴S3=a1+a1q+a1q2=(1+q+q2)=,‎ 整理可得q2+q﹣2=0,解得q=﹣2或q=1,‎ ‎∴an=•(﹣2)n﹣1或,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.等比数列{an}中,a3,a5 是方程x2﹣34x+64=0的两根,则a4等于(  )‎ A.8 B.﹣8 C.±8 D.以上都不对 ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】利用一元二次方程的根与系数关系求得a3a5=64,再由等比数列的性质得a4.‎ ‎【解答】解:在等比数列{an}中,‎ a3,a5 是方程x2﹣34x+64=0的两根,‎ 由根与系数关系得:a3a5=64,a3+a5=34>0,‎ ‎∴a3>0,a5>0.‎ 再由等比数列的性质得:a42=a3a5=64.‎ ‎∴a4=±8.‎ 故选:C ‎ ‎ ‎7.若{an}是等比数列,其公比是q,且﹣a5,a4,a6成等差数列,则q等于(  )‎ A.1或2 B.1或﹣2 C.﹣1或 2 D.﹣1或﹣2‎ ‎【考点】等比数列的性质.‎ ‎【分析】由题意可得﹣a5+a6=2a4 ,即﹣a4q+a4q2=2a4,化简可得(q+1)(q﹣2)=0,解方程求得q的值.‎ ‎【解答】解:∵﹣a5,a4,a6成等差数列,‎ ‎∴﹣a5+a6=2a4,‎ ‎∴﹣a4q+a4q2=2a4,‎ ‎∴q2﹣q﹣2=0,‎ ‎∴(q+1)(q﹣2)=0,‎ ‎∴q=﹣1或2.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10:S5=1:2,则S15:S5等于(  )‎ A.3:4 B.2:3 C.1:2 D.1:3‎ ‎【考点】等比数列的性质.‎ ‎【分析】根据在等比数列中,每5项的和仍然成等比数列,设S5 =x,则由条件可得 S10 =x,S15= x,从而得到S15:S5 的值.‎ ‎【解答】解:在等比数列中,每5项的和仍然成等比数列,设S5 =x,则由条件可得 S10 =x,‎ ‎∴S10﹣S5 = x﹣x=﹣x,∴S15﹣S10 = x,∴S15= x+x=x,‎ 故 S15:S5 ==,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎9.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1、a3、a9成等比数列,则的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合.‎ ‎【分析】因为{an}是等差数列,故a1、a3、a9都可用d表达,又因为a1、a3、a9恰好是等比数列,所以有a32=a1a9,即可求出d,从而可求出该等比数列的公比,最后即可求比值.‎ ‎【解答】解:等差数列{an}中,a1=a1,a3=a1+2d,a9=a1+8d,‎ 因为a1、a3、a9恰好是某等比数列,‎ 所以有a32=a1a9,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=a1,‎ 所以该等差数列的通项为an=nd 则的值为=.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎10.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是(  )‎ A.21 B.20 C.19 D.18‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】写出前n项和的函数解析式,再求此式的最值是最直观的思路,但注意n取正整数这一条件.‎ ‎【解答】解:设{an}的公差为d,由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105,即a1+2d=35,①‎ a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99,即a1+3d=33,②‎ 由①②联立得a1=39,d=﹣2,‎ ‎∴Sn=39n+×(﹣2)=﹣n2+40n=﹣(n﹣20)2+400,‎ 故当n=20时,Sn达到最大值400.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎11.数列1,2,3,4…前n项的和为(  )‎ A. + B.﹣++1‎ C.﹣+ D.﹣+‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】利用分组求和法求解.‎ ‎【解答】解:数列1,2,2,4…前n项的和:‎ S=(1+2+3+4+…+n)+()‎ ‎=‎ ‎=﹣++1.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,且A、B、C三点共线(该直线不过原点O),则S200=(  )‎ A.100 B.101 C.200 D.201‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】由三点共线得a1+a200=1,再由等差数列前n项和公式解得.‎ ‎【解答】解:∵A,B,C三点共线 ‎∴a1+a200=1‎ 又∵‎ ‎∴s200=100‎ 故选A ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.与的等比中项是 ±1 .‎ ‎【考点】等比数列的性质.‎ ‎【分析】设与的等比中项a,则等比中项的性质可知,,可求 ‎【解答】解:设与的等比中项a 由等比中项的性质可知, =1‎ ‎∴a=±1‎ 故答案为:±1‎ ‎ ‎ ‎14.等比数列{an}中,公比为2,前四项和等于1,则前8项和等于 17 .‎ ‎【考点】等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】利用等比数列的求和公式即可得出.‎ ‎【解答】解:∵=1,解得a1=.‎ 则S8==17.‎ 故答案为:17.‎ ‎ ‎ ‎15.已知两个等差数列{an},{bn}的前n项的和分别为Sn,Tn,且,则 =  .‎ ‎【考点】等差数列的性质;等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】令n=9,代入已知的等式,求出的值,然后利用等差数列的求和公式分别表示出S9和T9,利用等差数列的性质得到a1+a9=2a5及b1+b9=2b5,化简后即可得到的值.‎ ‎【解答】解:令n=9,得到=,‎ 又S9==9a5,T9==9b5,‎ ‎∴===.‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎16.“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神八”的“长征”系列火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2km,以后每秒钟通过的路程都增加2km,在到达离地面240km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间大约是 15 ‎ 秒钟.‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系.‎ ‎【分析】设出每一秒钟的路程为一数列,由题意可知此数列为等差数列,然后根据等差数列的前n项和的公式表示出离地面的高度,让高度等于240列出关于n的方程,求出方程的解即可得到n的值.‎ ‎【解答】解:设每一秒钟通过的路程依次为a1,a2,a3,…,an,‎ 则数列{an}是首项a1=2,公差d=2的等差数列,‎ 由求和公式有na1+=240,即2n+n(n﹣1)=240,‎ 解得n=15,‎ 故答案为:15‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.已知等差数列{an}中,a15=8,a60=20,则a75= 24 .‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】等差数列{an}中,由a15=8,a60=20,求出首项和公差,由此能求出a75.‎ ‎【解答】解:等差数列{an}中,‎ ‎∵a15=8,a60=20,‎ ‎∴,解得,d=,‎ ‎∴a75=+74×=24.‎ 故答案为:24.‎ ‎ ‎ ‎18.已知等差数列{an}中,a3a7=﹣16,a4+a6=0,求:‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2){an}的前n项和Sn.‎ ‎【考点】等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】(1)利用等差数列的通项公式即可得出.‎ ‎(2)利用等差数列的求和公式即可得出.‎ ‎【解答】解 (1)设{an}的公差为d,a3a7=﹣16,a4+a6=0=a3+a7,‎ 解得a3=4,a7=﹣4或a3=﹣4,a7=4.‎ ‎∴a1+2d=4,a1+6d=﹣4,或a1+2d=﹣4,a1+6d=4.‎ 解得或.‎ ‎∴an=8﹣2(n﹣1)=10﹣2n,或an=﹣8+2(n﹣1)=2n﹣10.‎ ‎(2)由(1)可得:或.‎ 因此Sn=﹣8n+2=n(n﹣9),或Sn=8n+×(﹣2)=﹣n(n﹣9).‎ ‎ ‎ ‎19.已知{an}为等差数列,且a3=﹣6,a6=0.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若等比数列{bn}满足b1=﹣8,b2=a1+a2+a3,求数列{bn}的前n项和公式.‎ ‎【考点】等比数列的前n项和;等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设出等差数列的公差为d,然后根据第三项为﹣6,第六项为0利用等差数列的通项公式列出方程解出a1和d即可得到数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)根据b2=a1+a2+a3和an的通项公式求出b2,因为{bn}为等比数列,可用求出公比,然后利用首项和公比写出等比数列的前n项和的公式.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差d.‎ 因为a3=﹣6,a6=0‎ 所以解得a1=﹣10,d=2‎ 所以an=﹣10+(n﹣1)•2=2n﹣12‎ ‎(Ⅱ)设等比数列{bn}的公比为q 因为b2=a1+a2+a3=﹣24,b1=﹣8,‎ 所以﹣8q=﹣24,即q=3,‎ 所以{bn}的前n项和公式为 ‎ ‎ ‎20.设数列{an}满足:a1=1,a2=,an+2=an+1﹣an (n=1,2,…).令bn=an+1﹣an.‎ ‎(1)求证:数列{bn}是等比数列,并求bn;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎【考点】数列递推式.‎ ‎【分析】(1)把已知数列递推式变形,即可证明数列{bn}是等比数列,再由等比数列的通项公式求bn;‎ ‎(2)把bn代入bn=an+1﹣an,然后利用累加法求得数列{an}的通项公式.‎ ‎【解答】(1)证明:∵bn+1=an+2﹣an+1=﹣an+1=(an+1﹣an)=bn.‎ ‎∴= (n=1,2,3,…),即{bn}是等比数列,公比q=,‎ 首项b1=a2﹣a1=.∴bn=;‎ ‎(2)解:an+1﹣an=.‎ ‎∴an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(an﹣an﹣1)‎ ‎=1+b1+b2+…+bn﹣1=1++…+()n﹣1=.‎ ‎ ‎ ‎21.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.‎ ‎(1)设bn=,证明:数列{bn}是等差数列.‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和.‎ ‎【考点】数列的求和;等差关系的确定.‎ ‎【分析】(1)由an+1=2an+2n,可得,即bn+1﹣bn=1.即可证明;‎ ‎(2)由(1)可得:bn=1+(n﹣1)=n,,再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出.‎ ‎【解答】(1)证明:∵an+1=2an+2n,∴,‎ ‎∴bn+1﹣bn=1.‎ ‎∴数列{bn}是等差数列,首项为=1,公差为1.‎ ‎(2)解:由(1)可得:bn=1+(n﹣1)=n,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴数列{an}的前n项和Sn=1+2×2+3×22+…+n•2n﹣1,‎ ‎2Sn=2+2×22+3×23+…+(n﹣1)×2n﹣1+n×2n,‎ ‎∴﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n=﹣n×2n=(1﹣n)×2n﹣1.‎ ‎∴Sn=(n﹣1)×2n+1.‎ ‎ ‎ ‎22.已知数列{an}前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…)‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)当bn=log(3an+1)时,求证:数列{}的前n项和Tn=.‎ ‎【考点】数列的求和;数列递推式.‎ ‎【分析】(1)利用递推式、等比数列的定义及其通项公式即可得出;‎ ‎(2)bn==n,可得=.再利用“裂项求和”即可得出.‎ ‎【解答】(1)解:∵an+1=Sn,∴当n≥2时,,∴an+1﹣an=,即.‎ 当n=1时,,a1=1,∴=,‎ 因此当n≥2时,数列{an}是等比数列,首项为,公比为,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(2)证明:bn=(3an+1)==n,‎ ‎∴==.‎ ‎∴数列{}的前n项和Tn=+…+=1﹣=.‎ ‎∴数列{}的前n项和Tn=.‎