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  • 2021-06-11 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版第06讲导数中的双参数问题的处理学案

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高中数学热点难点突破技巧第06讲:‎ 导数中的双参数问题的处理 ‎【知识要点】‎ ‎ 对于导数中的单参数问题(零点问题、恒成立问题和存在性问题),大家解答的比较多,一般利用分离参数和分类讨论 分析解答. 对于双参数这些问题,大家如何处理呢?一般利用下面分离次参法和反客为主法两种方法处理.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 分离次参法 使用情景:学 ]‎ 不等式中含有两个参数(主参数和次参数)和一个自变量,并且次参数比较容易分离.‎ 解题步骤 一般先分离次参,变成单参数的问题处理.‎ ‎【例1】已知函数.‎ ‎(1)若函数与函数在点处有共同的切线,求的值;‎ ‎(2)证明:;‎ ‎(3)若不等式对所有,都成立,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1),,,‎ 与在点处有共同的切线,‎ ‎,即, ‎ ‎ ‎ 设,,‎ 故在上是增函数,在上是减函数,故,‎ ‎;‎ ‎(3)由题得不等式对所有的,都成立, : | ]‎ 因为,所以,所以,即 所以,所以 ‎【点评】对于不等式,里面有两个参数和一个自变量,形式比较复杂,所以我们可以想到转化和化归的思想,想方法把双参数变成单参数,这个方法就是分离参数. 由于题目求的是的范围,所以我们称是主参数,是次参数.第(3)问首先分离次参,最后得到了的取值范围,因此这种方法可以称为“分离次参法”. ‎ ‎【反馈检测1】已知,设函数.‎ ‎(1)存在,使得是在上的最大值,求的取值范围;‎ ‎(2)对任意恒成立时,的最大值为1,求的取值范围.‎ 方法二 反客为主法 使用情景 含有两个参数和一个自变量,但是次参数系数有正有负,不便分离.‎ 解题步骤 把次参数看成自变量,把自变量看成参数,构造一次函数解答.‎ ‎【例2】已知函数.若不等式对所有,都成立,求实数的取值范围.‎ ‎ :学 ]‎ 因为,所以 ‎ 所以 令 所以函数在上是增函数,在上是减函数,‎ 所以 所以 综合得.‎ ‎【点评】(1)在中,是自变量,要求的范围,所以是主参,是次参.(2)对于不等式,由于,有正有负,不便分离次参,所以我们要构造一次函数反客为主,中把次参看成自变量,把看作参数,利用一次函数的性质分析解答.(3)一次函数在上恒成立,只须满足.(4)对于“分离次参”的题目,也可以利用反客为主的方法解答.学 ‎ ‎【反馈检测2】已知函数,,,.‎ ‎(Ⅰ)讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)对于任意,任意,总有,求的取值范围. ‎ ‎【反馈检测3】已知函数.‎ ‎(1)当时,解关于的不等式;‎ ‎(2)若对任意及时,恒有成立,求实数的取值范围.‎ 高中数学热点难点突破技巧第06讲:‎ 导数中的双参数问题的处理参考答案 ‎【反馈检测1答案】(1);(2) .‎ ‎③当时,在单调递增,在递减,在单调递增,‎ ‎∴即,∴,‎ ‎④当时, 在单调递增,在单调递减,满足条件,‎ 综上所述:时,存在,使得是在上的最大值.‎ ‎(2)对任意恒成立, : ]‎ 即对任意恒成立,‎ 因为的最大值为1,‎ 所以,‎ 所以 ‎,,‎ 恒成立,‎ 由于,则,‎ 当时,,则,若,则在上递减,在上递增,则,∴在上是递增的函数.‎ ‎∴,满足条件,∴的取值范围是. ‎ ‎【反馈检测2详细解析】(Ⅰ)则 当时,恒成立,即递减区间为,不存在增区间;‎ 当时,令得,令得,‎ 递减区间为,递增区间;‎ 综上:当时,递减区间为,不存在增区间;‎ 当时,递减区间为,递增区间;‎ ‎(Ⅱ)令,由已知得只需即 若对任意,恒成立,即 令,则 设,则 ‎∴在递减,即 ‎∴在递减∴即 的取值范围为.‎ ‎【反馈检测3答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎(2)由题意知对任意及时,‎ 恒有成立,等价于,‎ 当时,由得,‎ 因为,所以,‎ 从而在上是减函数,‎ 所以,所以,即,‎ 因为,所以,所以实数的取值范围为. 学 ‎

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