2018-2019学年湖南省娄底市高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版 8页

娄底市2018-2019年第一学期期中考试高二(理科)数学试题 ‎ 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（每小题5分，每小题只有一个正确选项）‎ ‎1．在中,内角的对边分别为，若，则 一定是(　　)‎ A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 ‎2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝（2+）bc，则角A等于(　　)‎ A．30°　　　　　B．60° C．120° D．150°‎ ‎3．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝12，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)‎ A．无实根　 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根 ‎4．若ad>0，则一定有(　　)‎ A.> B.< C.> D.＜ ‎5．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为(　　)‎ A．{x|－21或x<－2}‎ C．{x|x>2或x<－1} D．{x|x<－1或x>1}‎ ‎6．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为2(＋1)，且sin B＋sin C＝sin A，则a＝ (　　)‎ A. B．‎2 C．4 D．2 ‎7．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(－∞，3] D． (－∞，3)‎ ‎8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40， Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　)‎ A．12 B．‎14 C．16 D．18‎ ‎9．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a‎8a15＝(　　)‎ A．2 B．±‎2 C．4 D．±4‎ ‎10．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)‎ A．－1 B．‎1 C. D．2‎ ‎11．若lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，则xy的最小值为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎12．已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围的面积等于(　　)‎ A.9π B.8π C.4π D.π 二、填空题（每小题5分）‎ ‎13．命题“若A∉l，则B∈m”的逆否命题是________.‎ ‎14.在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝，则的值为________．‎ ‎15.“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为‎2 km，以后每秒钟通过的路程都增加‎2 km，在达到离地面‎210 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒．‎ ‎16．已知直线l:+=1,M是直线l上的一个动点,过点M作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B,点P是线段AB的靠近点A的一个三等分点,点P的轨迹方程为________________.‎ 三、解答题 ‎17．（本题满分10分）‎ 在△ABC中， =60°，c=a.‎ ‎（Ⅰ）求sinC的值；‎ ‎（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.‎ ‎18．（本题满分12分）设命题实数满足，其中，命题实数满足 ‎.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围.‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎19．（本题满分12分）已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn. ‎ ‎20．（本题满分12分）设不等式mx2－2x－m＋1＜0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．‎ ‎21．（本题满分12分）某厂有一批长为‎18m的条形钢板，可以割成‎1.8m和 ‎1.5m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润.‎ ‎22．（本题满分12分）已知F1，F2分别是椭圆C： ‎（a＞b＞0）的左，右焦点，D，E分别是椭圆C的上顶点和右顶点，且，离心率e= ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设经过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求的最小值．‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．C 2. A 3.C 4.D 5.B 6.B 7.D 8.B 9.A 10.B 11.A 12.C 二、填空题 ‎13．若B∉m，则A∈l 14. 2 15. 14 16. 3x+8y-8=0‎ 三、解答题 ‎17、（本题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，‎ 所以由正弦定理得. （4分）‎ ‎（Ⅱ）因为，所以.‎ 由余弦定理得， （7分）‎ 解得或（舍）. （8分）‎ 所以△ABC的面积. （10分）‎ ‎18、（本题满分12分）‎ 对于命题p:，‎ 其中，∴，‎ 则，.‎ 由，解得，即. （6分）‎ ‎（1）若解得，若为真，则同时为真，‎ 即，解得，∴实数的取值范围 （9分）‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，‎ ‎∴，即，解得 （12分）‎ ‎19、（本题满分12分）‎ 解：(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得 a1＋2d＝2,‎3a1＋d＝， （2分）‎ 化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝，‎ 解得a1＝1，d＝， （4分）‎ 故{an}的通项公式an＝1＋，即an＝. （6分）‎ ‎(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8. （8分）‎ 设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2， （10分）‎ 故{bn}的前n项和Tn＝ （12分）‎ ‎20、（本题满分12分）‎ 解：原不等式可化为(x2－1)m－(2x－1)＜0. （1分）‎ 令f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，其中m∈[－2,2], 则原命题等价于关于m的一次函数(x2－1≠0时)或常数函数(x2－1＝0时)在m∈[－2,2]上的函数值恒小于零． （2分）‎ ‎(1)当x2－1＝0时，由f(m)＝－(2x－1)＜0得x＝1； （4分）‎ ‎(2)当x2－1＞0时，f(m)在[－2,2]上是增函数，要使f(m)＜0在[－2,2]上恒成立，只需 （6分）‎ 解得1＜x＜； （7分）‎ ‎(3)当x2－1＜0时，f(m)在[－2,2]上是减函数，要使f(m)＜0在[－2,2]上恒成立，只需 ‎ （9分）‎ 解得＜x＜1. （10分）‎ 综合(1)(2)(3)，得＜x＜. （12分）‎ ‎21、（本题满分12分）‎ 设割成的‎1.8m和‎1.5m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，‎ 则z＝20x＋15y－(x＋0.6y)即z＝19x＋14.4y且 ， （3分）‎ 作出不等式组表示的平面区域如图， （5分）‎ 又由，‎ 解出x＝，y＝，∴M(，)， （7分）‎ ‎∵x、y为自然数，在可行区域内找出与M最近的点为(3,8)，此时z＝19×3＋14.4×8＝172. 2(元)． （8分）‎ 又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)；（9分）‎ 过顶点(8,0)的直线使z＝19×8＋14.4×0＝152(元)． （10分）‎ M(，)附近的点(1,10)、(2,9)，直线z＝19x＋14.4y过点(1,10)时，z＝163；过点(2,9)时z＝167.6. （11分）‎ ‎∴当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．‎ 答：只要截‎1.5m长的零件12个，就能获得最大利润．（12分）‎ ‎22、（本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）依题意得， （3分）‎ 解得， （5分）‎ 故所求椭圆方程为： （6分）‎ ‎（Ⅱ）由（1）知F2（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程为x=ty+1，代入椭圆的方程，整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，‎ ‎ （8分）‎ ‎∵，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ， （11分）‎ 当且仅当t=0时上式取等号．∴的最小值为：． （12分）‎