【数学】2018届一轮复习人教A版数列、不等式学案 32页

专题1.4 数列、不等式 一．考场传真 ‎1. 【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为 A．0 B．‎1 ‎‎ ‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎2．【2017课标II，文7】设满足约束条件 ,则的最小值是 A. B. C. D ‎ ‎【答案】A ‎【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点 处取得最小值 .故选A.‎ ‎3．【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A． –3,0] B． –3,2] C． 0,2] D． 0,3]‎ ‎【答案】B ‎【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点 处取得最小值 . 在点 处取得最大值 . ‎ 所以选B.‎ ‎4．【2017天津，文13】若a，，，则的最小值为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 5【2017山东，文】若直线 过点（1,2）,则‎2a+b的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由直线 过点（1,2）可得,所以.‎ ‎6．【2017课标3，文17】设数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列 的前项和.‎ ‎7．【2017课标II，文17】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， ‎ ‎(1)若 ，求的通项公式；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【解析】（1）设的公差为d，的公比为q，则,.由得，d+q=3. ① ‎ （1） 由得 ②‎ 联立①和②解得（舍去），因此的通项公式 （2） 由得.解得，当时，由①得，则.‎ 当时，由①得，则.‎ ‎8．【2017课标1，文17】记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．‎ 二．高考研究 ‎【考纲解读】‎ ‎1.考纲要求 ‎（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．‎ ‎（2）理解等差数列和等比数列的概念．‎ ‎（3）掌握等差数列和等比数列的通项公式与前n项和公式．‎ ‎（4）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，在实际情形中运用数列知识解决实际问题.．‎ ‎（5）了解等差数列与一次函数的关系以及等比数列与指数函数的关系.‎ ‎（6）掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.‎ ‎（7）认识数列的函数特性，能结合方程、不等式和解析几何等知识解决一些数列综合题．‎ 不等式 ‎（1）不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.‎ ‎（2）一元二次不等式　　‎ ‎①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.‎ ‎②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.‎ ‎③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.‎ ‎（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题　　‎ ‎①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.‎ ‎②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.‎ ‎③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.‎ ‎（4）基本不等式：‎ 掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.‎ ‎①了解基本不等式的证明过程.‎ ‎②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.‎ ‎【命题规律】‎ 对等差数列与等比数列基本量的考查是重点内容，主要考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组求解，属于低档题，主要是以选择、填空题的形式出现.对等差数列与等比数列性质的考查是热点，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关的计算问题.数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热点，根据与的关系求通项公式以及利用构造或转化的方法求通项公式也是常考的热点．数列的求和问题，多以考查等差、等比数列的前n项和公式、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点.选择、填空、解答题都有出现.数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点，主要考查利用函数的观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质，多为中档题，以解答题的形式出现.‎ 不等式是中学数学的主体内容之一, 是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具, 因而是数学高考命制能力题的重要版块. 在近年 的高考数学中,有关不等式的试题都占有较大的比重. 不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上, 选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、简单线性规划的应用、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等;解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是不等式的证明、解不等式、求参数范围.常和函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题结合, 知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高, 是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地. ‎ ‎3．学法导航 ‎ ‎1. 在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．‎ ‎2. 解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．‎ ‎(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．‎ ‎(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．‎ ‎3. 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．‎ ‎4. 给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.‎ ‎5．数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．‎ ‎6．解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．‎ ‎7．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误．‎ ‎8．对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化．求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．‎ 一．基础知识整合 基础知识：‎ 一．基础知识整合 1. 等差数列知识要点：‎ ‎（1）通项公式要点：.‎ ‎（2）前项和公式要点：Sn＝＝na1＋d.‎ ‎（3）通项公式的函数特征：是关于的一次函数形式(A、B为常数)，其中；‎ 前项和公式的函数特征：是关于的常数项为0的二次函数形式Sn＝An2＋Bn (A、B为常数)，其中.‎ ‎（4）判断方法：①定义法：；（证明方法）；②等差中项法：；（证明方法）；③通项公式法：；④前项和公式法：Sn＝An2＋Bn (A、B为常数).‎ ‎（5）常用性质：‎ ‎①如果数列是等差数列（），特别地，当为奇数时，.②等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…成等差数列.③等差数列{an}，{bn}的前n项和为An，Bn，则.④等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列仍是等差数列.‎ ‎（6）等差数列的单调性：设等差数列的公差为，当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列；若，则数列为常数数列.‎ ‎（7）等差数列的最值：若是等差数列，求前项和的最值时，①若，，且满足，则前项和最大;②若，，且满足，则前项和最小.‎ 1. 等比数列知识要点：（1）通项公式要点：.‎ ‎（2）前项和公式要点：.‎ ‎（3）通项公式的函数特征：是关于的函数（，都是不为0的常数，）；‎ 前项和公式的函数特征：前项和是关于的函数（为常数且，）.‎ ‎（4）判断方法：①定义法：（）；（证明方法）；②等比中项法：；（证明方法）；③通项公式法：；‎ ‎④前项和公式法：或.‎ ‎（5）常用性质：①如果数列是等比数列（），特别地，当为奇数时，.②等比数列的前项和为，满足成等比数列（其中均不为0）.‎ ‎（6）等比数列的单调性：设等比数列的公差为，当或时，为递增数列；当或.‎ ‎（7）等差与等比数列的转化：①若为正项等比数列，则为等差数列；②若为等差数列，则为等比数列；③若为等差数列又等比数列是非零常数列.‎ ‎3.数列常见通项公式的求法：（1）累加法：；（2）累乘法：；（3）（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）（其中均为常数，）. （或,其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.（5）解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（6）‎ 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（7）（其中均为常数）.解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解. （8）取倒数法：解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.（10）已知求(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解.（11） 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中 均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列.‎ 4. 数列求和的主要方法：（1）公式法：如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分或.（2）倒序相加法：如果一个数列，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．（3）分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法 求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．（5）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式如下：①分式型;‎ ‎， ②乘式型；阶乘型 ,；④三角函数型, ，⑤根式型，（6）并项求和法：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．‎ ‎5.不等式的常用变形如下 ‎(1)根式形式：a＋b≥2(a≥0，b≥0)当且仅当a＝b时，等号成立；(2)整式形式：ab≤2(a，b∈R)，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)，2≤(a，b∈R)，以上不等式当且仅当a＝b时，等号成立；(3)分式形式：＋≥2(ab＞0)，当且仅当a＝b时，等号成立；(4)倒数形式：a＋≥2(a＞0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a＜0)，当且仅当a＝－1时，等号成立．‎ ‎6.基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x＞0，y＞0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x＞0，y＞0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)．‎ ‎7. 不等式恒成立问题：若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)min>A；若不等式f(x)