2019届二轮复习第1讲　立体几何中的向量方法、抛物线课件（53张）（全国通用） 53页

第 1 讲　立体几何中的向量方法、抛物线 高考定位　 高考对本内容的考查主要有： (1) 空间向量的坐标表示及坐标运算，属 B 级要求； (2) 线线、线面、面面平行关系判定，属 B 级要求； (3) 线线、线面、面面垂直的判定，属 B 级要求； (4) 求异面直线、直线与平面、平面与平面所成角，属 B 级要求； (5) 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质， B 级要求 . 1. (2018· 江苏卷 ) 如图，在正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AB ＝ AA 1 ＝ 2 ，点 P ， Q 分别为 A 1 B 1 ， BC 的中点 . (1) 求异面直线 BP 与 AC 1 所成角的余弦值； (2) 求直线 CC 1 与平面 AQC 1 所成角的正弦值 . 真 题 感 悟 2. (2016· 江苏卷 ) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l ： x － y － 2 ＝ 0 ，抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0). (1) 若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； (2) 已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q . ① 求证：线段 PQ 的中点坐标为 (2 － p ，－ p ) ； ② 求 p 的取值范围 . (1) 解 　 ∵ l ： x － y － 2 ＝ 0 ， ∴ l 与 x 轴的交点坐标为 (2 ， 0). 1. 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线 l 的方向向量为 a ＝ ( a 1 ， b 1 ， c 1 ) ，平面 α ， β 的法向量分别为 μ ＝ ( a 2 ， b 2 ， c 2 ) ， ν ＝ ( a 3 ， b 3 ， c 3 ) ，则 (1) 线面平行 l ∥ α  a ⊥ μ  a·μ ＝ 0  a 1 a 2 ＋ b 1 b 2 ＋ c 1 c 2 ＝ 0. (2) 线面垂直 l ⊥ α  a ∥ μ  a ＝ k μ  a 1 ＝ ka 2 ， b 1 ＝ kb 2 ， c 1 ＝ kc 2 . (3) 面面平行 α ∥ β  μ ∥ ν  μ ＝ λ ν  a 2 ＝ λa 3 ， b 2 ＝ λb 3 ， c 2 ＝ λc 3 . (4) 面面垂直 α ⊥ β  μ ⊥ ν  μ · ν ＝ 0  a 2 a 3 ＋ b 2 b 3 ＋ c 2 c 3 ＝ 0. 考 点 整 合 2. 直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 3. 抛物线的几何性质 热点一　向量法证明平行与垂直 【例 1 】 如图，在直三棱柱 ADE － BCF 中，平面 ABFE 和平面 ABCD 都是正方形且互相垂直， M 为 AB 的中点， O 为 DF 的中点，运用向量方法求证： (1) OM ∥ 平面 BCF ； (2) 平面 MDF ⊥ 平面 EFCD . 证明 　 法一　 由题意，得 AB ， AD ， AE 两两垂直，以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 . 探究提高 　 解决本类问题的关键步骤是建立恰当的坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算 . 【训练 1 】 如图，在四棱锥 P － ABCD 中， PA ⊥ 平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形， PA ＝ AB ＝ 2 ， ∠ BAD ＝ 60° ， E 是 PA 的中点 . (1) 求证：直线 PC ∥ 平面 BDE ； (2) 求证： BD ⊥ PC . 热点二　利用空间向量求空间角 [ 考法 1] 　求线面角 【例 2 － 1 】 (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 如图，四边形 ABCD 为正方形， E ， F 分别为 AD ， BC 的中点，以 DF 为折痕把 △ DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF ⊥ BF . (1) 证明：平面 PEF ⊥ 平面 ABFD ； (2) 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 . (1) 证明　 由已知可得， BF ⊥ PF ， BF ⊥ EF ，又 PF ∩ EF ＝ F ， PF ， EF  平面 PEF ，所以 BF ⊥ 平面 PEF . 又 BF  平面 ABFD ，所以平面 PEF ⊥ 平面 ABFD . (2) 解　 作 PH ⊥ EF ，垂足为 H . 由 (1) 得， PH ⊥ 平面 ABFD . 探究提高 　 利用法向量求解空间线面角的关键在于 “ 四破 ” ：第一，破 “ 建系关 ” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破 “ 求坐标关 ” ，准确求解相关点的坐标；第三，破 “ 求法向量关 ” ，求出平面的法向量；第四，破 “ 应用公式关 ”. (1) 证明：直线 CE ∥ 平面 PAB ； (2) 点 M 在棱 PC 上 , 且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45° , 求二面角 M － AB － D 的余弦值 . 探究提高 　 利用法向量的根据是两个半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互补，在能断定所求二面角的平面角是锐角或钝角的情况下，这种方法具有一定的优势，但要注意，必须能断定 “ 所求二面角的平面角是锐角或钝角 ” ，在用法向量法求二面角的大小时，务必要作出这个判断，否则解法是不严谨的 . 【训练 2 】 (2013· 江苏卷 ) 如图，在直三棱柱 A 1 B 1 C 1 － ABC 中， AB ⊥ AC ， AB ＝ AC ＝ 2 ， A 1 A ＝ 4 ，点 D 是 BC 的中点 . (1) 求异面直线 A 1 B 与 C 1 D 所成角的余弦值； (2) 求平面 ADC 1 与平面 ABA 1 所成二面角的正弦值 . 解　 (1) 由题意知， AB ， AC ， AA 1 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A － xyz ， 热点三　向量法解决立体几何中的探索性问题 【例 3 】 (2018· 南通模拟 ) 如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直直角梯形 ABPE 所在的平面，且 AB ＝ BP ＝ 2 ， AD ＝ AE ＝ 1 ， AE ⊥ AB ，且 AE ∥ BP . 解　 由 AE ⊥ AB ，且 AE ∥ BP ，得 BP ⊥ AB . 又平面 ABCD ∩ 平面 ABPE ＝ AB ， PB  平面 ABPE ， 所以 PB ⊥ 平面 ABCD ，又 BC  平面 ABCD ，所以 PB ⊥ BC ， 又四边形 ABCD 为矩形，所以 AB ⊥ BC ， 故直线 BA ， BP ， BC 两两垂直，以 B 为原点，分别以 BA ， BP ， BC 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 B (0 ， 0 ， 0) ， A (2 ， 0 ， 0) ， P (0 ， 2 ， 0) ， E (2 ， 1 ， 0) ， C (0 ， 0 ， 1) ， D (2 ， 0 ， 1). (1) 证明 　 ∵ 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD ∩ 平面 ABCD ＝ AD . 又 AB ⊥ AD ， AB  平面 ABCD ， ∴ AB ⊥ 平面 PAD . ∵ PD  平面 PAD ， ∴ AB ⊥ PD . 又 PA ⊥ PD ， PA ∩ AB ＝ A . ∴ PD ⊥ 平面 PAB . 又 ∵ PO  平面 PAD ，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， AD 为交线， ∴ PO ⊥ 平面 ABCD ， ∵ CO  平面 ABCD ， ∴ PO ⊥ CO ， ∵ AC ＝ CD ， ∴ CO ⊥ AD . 以 O 为原点建立如图所示空间直角坐标系 . 易知 P (0 ， 0 ， 1) ， B (1 ， 1 ， 0) ， D (0 ，－ 1 ， 0) ， C (2 ， 0 ， 0). 热点四　抛物线的综合问题 【例 4 】 (2018· 南通、扬州、淮安等七市调研 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F 为抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) 的焦点，直线 l 过点 F 且与抛物线相交于 A ， B 两点 ( 点 A 在第一象限 ). (2) 依题意，直线 l 的斜率存在，且不为零 . 探究提高　 高考对这一部分内容的考查主要涉及抛物线标准方程、几何性质以及弦长的计算等知识，也可以结合其他知识进行综合命题，运算能力要求较高 . 【训练 4 】 如图，已知抛物线 C 的顶点为 O (0 ， 0) ，焦点为 F (0 ， 1). (1) 求抛物线 C 的方程； (2) 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A ， B 两点 . 若直线 AO ， BO 分别交直线 l ： y ＝ x － 2 于 M ， N 两点，求 MN 的最小值 . 4. 空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把 “ 非运算 ” 问题 “ 运算 ” 化，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何中的平行、垂直关系，各类角、距离以向量的方式表达出来，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题 . 应用的核心是充分认识形体特征，进而建立空间直角坐标系，通过向量的运算解答问题，达到几何问题代数化的目的，同时注意运算的准确性 . 5. 抛物线的综合问题应准确应用抛物线的定义及几何性质进行分析求解，涉及直线与抛物线的位置关系问题要注意分类讨论 .