2019届二轮复习回扣7　解析几何课件（56张）（全国通用） 56页

回扣 7 　解析几何 板块四　考前回扣 回归教材 易错提醒 内容索引 回扣训练 回归教材 1. 直线方程的五种形式 (1) 点斜式： y － y 1 ＝ k ( x － x 1 )( 直线过点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ，且斜率为 k ，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线 ). (2) 斜截式： y ＝ kx ＋ b ( b 为直线 l 在 y 轴上的截距，且斜率为 k ，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线 ). (5) 一般式： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( 其中 A ， B 不同时为 0). 2. 直线的两种位置关系 当不重合的两条直线 l 1 和 l 2 的斜率存在时： (1) 两直线平行 l 1 ∥ l 2 ⇔ k 1 ＝ k 2 . (2) 两直线垂直 l 1 ⊥ l 2 ⇔ k 1 · k 2 ＝－ 1. 提醒　 当一条直线的斜率为 0 ，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略 . 提醒　 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中 x ， y 的系数应对应相等 . 4. 圆的方程的两种形式 (1) 圆的标准方程： ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 . (2) 圆的一般方程： x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0( D 2 ＋ E 2 － 4 F >0). 5. 直线与圆、圆与圆的位置关系 (1) 直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法 . (2) 圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法 . 6. 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a (2 a >| F 1 F 2 |) || PF 1 | － | PF 2 || ＝ 2 a (2 a <| F 1 F 2 |) | PF | ＝ | PM | 点 F 不在直线 l 上， PM ⊥ l 于 M 标准方程 ＝ 1( a > b >0) ＝ 1 ( a >0 ， b >0) y 2 ＝ 2 px ( p >0) 图形 几何性质 范围 | x | ≤ a ， | y | ≤ b | x | ≥ a x ≥ 0 顶点 (± a, 0) ， (0 ， ± b ) (± a, 0) (0,0) 对称性 关于 x 轴， y 轴和原点对称 关于 x 轴对称 焦点 (± c, 0) 轴 长轴长 2 a ，短轴长 2 b 实轴长 2 a ，虚轴长 2 b   几何性质 离心率 e ＝ ( 0< e <1) e ＝ ( e >1) e ＝ 1 准线     x ＝ 渐近线   y ＝ ± x   7. 直线与圆锥曲线的位置关系 判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断 . 8. 解决范围、最值问题的常用解法 (1) 数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解 . (2) 构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解 . (3) 构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域 . 9. 定点问题的思路 (1) 动直线 l 过定点问题，解法：设动直线方程 ( 斜率存在 ) 为 y ＝ kx ＋ t ，由题设条件将 t 用 k 表示为 t ＝ mk ，得 y ＝ k ( x ＋ m ) ，故动直线过定点 ( － m, 0). (2) 动曲线 C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点 . 10. 求解定值问题的两大途径 (1) (2) 先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值 . 11. 解决存在性问题的解题步骤 第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) ； 第二步：解此方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) ，若有解则存在，若无解则不存在； 第三步：得出结论 . 易错提醒 1. 不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错 . 2. 易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为 0 的情况，直接 设为 ； 再如，过定点 P ( x 0 ， y 0 ) 的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为 y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) 等 . 3. 讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为 0. 4. 在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合 . 5. 求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接 代 入公式 ， 导致错解 . 6. 在圆的标准方程中，误把 r 2 当成 r ；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件 . 7. 易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解 . 8. 利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件 . 如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二， 2 a <| F 1 F 2 |. 如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支 . 9. 易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中 a ， b ， c 三者之间的关系，导致计算错误 . 10. 已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解 . 11 . 直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式 Δ ≥ 0 的限制 . 尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有 “ 判别式 Δ ≥ 0 ” ；在求交点、 弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在 “ Δ >0 ” 下进行 . 回扣训练 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 又因为 m >0 ，所以 0< k ≤ 1. 综上可得直线的斜率 0 ≤ k ≤ 1 . 设 直线的倾斜角为 θ ，则 0 ≤ tan θ ≤ 1 ， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 2. 直线 ax ＋ by － a － b ＝ 0( a ≠ 0) 与圆 x 2 ＋ y 2 － 2 ＝ 0 的位置关系为 A. 相离 B . 相切 C. 相交或相切 D. 相交 √ 解析 所以直线与圆相交或相切，故选 C. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 3. 曲线 x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1( x ≤ 0) 上的点到直线 x － y － 1 ＝ 0 的距离的最大值为 a ，最小值为 b ，则 a － b 的值是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 4. 直线 3 x ＋ 4 y － 5 ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 相交于 A ， B 两点，则弦 AB 的长等于 √ 解析 解析　 由于圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 的圆心为 O (0,0) ，半径 r ＝ 2 ， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 5. 与圆 O 1 ： x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x － 4 y ＋ 7 ＝ 0 和圆 O 2 ： x 2 ＋ y 2 － 4 x － 10 y ＋ 13 ＝ 0 都相切的直线条数是 A.4 B.3 C.2 D.1 √ 解析　 O 1 ( － 2,2) ， r 1 ＝ 1 ， O 2 (2,5) ， r 2 ＝ 4 ， ∴ | O 1 O 2 | ＝ 5 ＝ r 1 ＋ r 2 ， ∴ 圆 O 1 和圆 O 2 外切， ∴ 与圆 O 1 和圆 O 2 都相切的直线有 3 条 . 故选 B. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 6. 设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 上任意一点， M 是线段 PF 上的点，且 | PM | ＝ 2| MF | ，则直线 OM 的斜率的最大值为 √ 解析　 如图， 显然，当 y 0 <0 时， k OM <0 ； 当 y 0 >0 时， k OM >0 ，要求 k OM 的最大值，不妨设 y 0 >0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ 解析　 依题意知， 抛物线的准线为 x ＝－ 2 ，代入双曲线方程得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 ∵△ FAB 是等腰直角三角形， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ 解析　 由题意得 F ( － 1,0) ，设点 P ( x 0 ， y 0 ) ， 又因为－ 2 ≤ x 0 ≤ 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ 解析 解析 　 当 x ＋ 1 ＝ 0 ，即 x ＝－ 1 时， y ＝－ 1 ， 故 A ( － 1 ，－ 1) ，设抛物线的焦点为 F (1,0) ，根据抛物线的定义可知， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ 由 ∠ F 1 PF 2 ＝ 30° 及余弦定理，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 11. 已知直线 l ： mx － y ＝ 1 ，若直线 l 与直线 x ＋ m ( m － 1) y ＝ 2 垂直，则 m 的值为 ________ ；动直线 l ： mx － y ＝ 1 被圆 C ： x 2 － 2 x ＋ y 2 － 8 ＝ 0 截得的最短弦长为 ________. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 0 或 2 答案 解析 　 由两直线垂直的充要条件得 m × 1 ＋ ( － 1) × m ( m － 1) ＝ 0 ， ∴ m ＝ 0 或 m ＝ 2 ；圆的半径为 3 ，动直线 l 过定点 (0 ，－ 1) ， 当 圆心 (1,0) 到直线的距离最长， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 解析 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 令 y ＝ 0 ，解得 C ( － 2,0) ， D (2,0) ，所以 | CD | ＝ 4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 答案 16 由双曲线的定义，得 | PF 2 | － | PF 1 | ＝ 2 a ＝ 8 ， ① | QF 2 | － | QF 1 | ＝ 2 a ＝ 8 ， ② ① ＋ ② 得 | PF 2 | ＋ | QF 2 | － (| QF 1 | ＋ | PF 1 |) ＝ 16. ∴ | PF 2 | ＋ | QF 2 | － | PQ | ＝ 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 14. 在直线 y ＝－ 2 上任取一点 Q ，过 Q 作抛物线 x 2 ＝ 4 y 的切线，切点分别为 A ， B ，则直线 AB 恒过定点 ________. (0,2) 答案 又点 Q ( t ，－ 2) 的坐标满足这两个方程， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解答 15. 已知过点 A (0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C ： ( x － 2) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 1 交于 M ， N 两点 . (1) 求 k 的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解 　 由题设可知，直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解 　 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， 将 y ＝ kx ＋ 1 代入方程 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 1 ， 整理得 (1 ＋ k 2 ) x 2 － 4(1 ＋ k ) x ＋ 7 ＝ 0. Δ ＝ 16(1 ＋ k ) 2 － 4(1 ＋ k 2 ) × 7 ＝－ 12 k 2 ＋ 32 k － 12>0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 经检验，满足 Δ >0. 所以 l 的方程为 y ＝ x ＋ 1. 故圆心 C 在 l 上，所以 | MN | ＝ 2. 解答 16. 已知圆 F 1 ： ( x ＋ 1) 2 ＋ y 2 ＝ r 2 与圆 F 2 ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ (4 － r ) 2 (0< r <4) 的公共点的轨迹为曲线 E ，且曲线 E 与 y 轴的正半轴相交于点 M . 若曲线 E 上相异的两点 A ， B 满足直线 MA ， MB 的斜率之积 为 . (1) 求曲线 E 的方程； 解　 设圆 F 1 ，圆 F 2 的公共点为 Q ， 由已知得 | F 1 F 2 | ＝ 2 ， | QF 1 | ＝ r ， | QF 2 | ＝ 4 － r ， 故 | QF 1 | ＋ | QF 2 | ＝ 4>| F 1 F 2 | ， 因此曲线 E 是长轴长 2 a ＝ 4 ，焦距 2 c ＝ 2 的椭圆，且 b 2 ＝ a 2 － c 2 ＝ 3 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 (2) 证明直线 AB 恒过定点，并求定点的坐标； 由题意知， x 1 ≠ 0 ， x 2 ≠ 0 ，若直线 AB 的斜率不存在 ， 则 直线 AB 的方程为 x ＝ x 1 ，故 y 1 ＝－ y 2 ， 因此直线 AB 的斜率存在，设直线 AB ： y ＝ kx ＋ m ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 得 (3 ＋ 4 k 2 ) x 2 ＋ 8 kmx ＋ 4( m 2 － 3) ＝ 0 . (*) 因为直线 AB 与曲线 E 有公共点 A ， B ， 所以方程 (*) 有两个非零不等实根 x 1 ， x 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 (3) 求 △ ABM 的面积的最大值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15