数学理·辽宁省鞍山市第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试理数试题+Word版含解析x 17页

辽宁省鞍山市第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试 理数试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，命题，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：命题的否定.‎ ‎2.已知椭圆的一点到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点到椭圆的另一个焦点的 距离等于（ ）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由椭圆方程可知，，又由椭圆的定义可知，所以 ‎，故选B.‎ 考点：椭圆的定义及标准方程.‎ ‎3.双曲线的焦距为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由双曲线，可得双曲线的标准方程为，‎ 所以，所以双曲线的焦距为，故选C.‎ 考点：双曲线的标准方程及其性质.‎ ‎4.“”是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A 考点：充分不必要条件的判定.‎ ‎5.数列的通项公式为，则数列的前项和（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，数列的通项公式为 ‎，所以数列的前项和，故选B.‎ 考点：数列的求和.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列的通项公式及通项公式的裂项、数列的裂项求和等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把数列的通项公式化简为是解答的关键，属于基础题.‎ ‎6.命题“如果，那么”的逆命题、否命题、逆否命题这三个 命题中，真命题的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B 考点：四种命题.‎ ‎7.等差数列中，，公差，则项数（ ）‎ A．20 B．19 C．18 D．17‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，等差数列，所以，解得 ‎，所以数列的通项公式为，令，即，故选C.‎ 考点：等差数列的通项公式.‎ ‎8.函数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，当且仅当即等号成立，所以函数的最大值为，故选C.‎ 考点：基本不等式.‎ ‎9.等比数列中，，公比，则该数列前项的和（ ）‎ A．254 B．255 C．256 D．512‎ ‎【答案】B 考点：等比数列的前项和.‎ ‎10.如图所示的平面区域所对应的不等式组是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据二元一次不等式（组）所表示的平面区域，可知如图所示的平面区域所对应的不等式组是，故选A.‎ 考点：二元一次不等式组表示的平面区域.‎ ‎11.已知是直线被椭圆所截得的弦的中点，则直线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：直线与圆锥曲线的关系.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系，其中解答中涉及到一元二次方程的根与系数的关系，直线与方程、直线的点斜式方程等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题解答中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，利用一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键，属于中档试题.‎ ‎12.已知实数满足，则的值（ ）‎ A．一定是正数 B．一定是负数 C．可能是0 D．正负不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据，可得中有个负数，有一个为正数，不妨设，且，所以，所以，而，所以，故选B.‎ 考点：不等式的性质.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中涉及不等式的性质及化简，负数的性质以及绝对值的含义等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解答中根据，可得中有个负数，有一个为正数是解答关键.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.已知，则的取值范围是____________（答案写成区间或集合）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，因为，所以，所以.‎ 考点：不等式的性质.‎ ‎14.已知椭圆的一个焦点坐标是，则____________．‎ ‎【答案】‎ 考点：椭圆的方程及几何性质.‎ ‎15.已知且，则的最小值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，因为且，则，所以 ‎，当且仅当，即时等号是成立的，所以的最小值为.‎ 考点：基本不等式求最值.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了基本不等式求最值，其中解答中涉及到构造思想的应用和求解最值的方法的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中根条件且，化简得到是解答的关键，同时注意基本不等式成立的条件.‎ ‎16.已知函数，数列的通项公式为，则此数列前2018‎ 项的和为_____________．‎ ‎【答案】‎ 考点：数列的求和.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到函数的化简运算、数列的倒序相加法求和等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据函数的解析式，化简得到是解答的关键.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知，命题人，命题椭圆的离心率满足．‎ ‎（1）若是真命题，求实数取值范围；‎ ‎（2）若是的充分条件，且不是的必要条件，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，根据离心率满足，即可求解实数取值范围；（2）由是的充分条件，且不是的必要条件，得出不等式组，即可求解实数的值．‎ 考点：命题的真假判定及应用.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白 质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的 维生素．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个 单位的维生素．‎ 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，‎ 应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？‎ ‎【答案】当时，有最小值．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别问个单位和个单位，所花的费用为元，得出目标函数和约束条件，利用线性规划，即可求解结论.‎ 试题解析：设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别问个单位和个单位，所花的费用为元，‎ 则由题意可得，且满足 即，‎ 设直线，如图，‎ 当直线经过点时，直线的纵截距最小由得，∴当时，有最小值．‎ 考点：简单的线性规划问题.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知中心在原点的椭圆的两个焦点和椭圆的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且 椭圆过点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知是椭圆上的任意一点，，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）时，时，，时，．‎ 试题解析：（1）由已知椭圆，相应的焦点分别为，则椭圆的焦点分别为，设椭圆的方程为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴椭圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）设，则，‎ ‎，‎ 令，∵，‎ ‎∴时，；时，；‎ 时，．综上所述：时， 时，；时，．．．．．．．．．．．．．．．6分 考点：椭圆的方程；直线与圆锥曲线的性质.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为；等比数列的前项和为 成等差数列，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ 试题解析：（1）∵，∴，‎ 则，∴，∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴时， ；时，．综上，，‎ 设数列的公比为，∵成等差数列，∴，‎ 即，∴，∴，‎ ‎∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 考点：数列的通项公式，数列的求和.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 椭圆与过点且斜率为的直线交于两点．‎ ‎（1）若线段的中点为，求的值；‎ ‎（2）在轴上是否存在一个定点，使得的值为常数，若存在，求出点的坐标；若不存在，‎ 说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设，直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，得出等式，即可求解的值；（2）假设在轴上存在一个定点满足题意，设，得出的坐标，利用向量的坐标运算，得出的表达式，即可得出结论.‎ 试题解析：（1）设，直线为与联立得 ‎，则有，‎ ‎∴，‎ 解之得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 考点：直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，其中解答中直线与椭圆的位置关系的应用、向量的运算，二次函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，转化为方程的根和系数的关系，利用判别式与韦达定理是解答的关键.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 函数的图像与轴的交点至少有一个在原点的右侧.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）对于（1）中的，设，不等式恒成立，求的取值 范围（表示不超过的最大整数）.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 试题解析：（1）时，，解得；时，满足题意；‎ 时，∵，∴满足题意综上所述，．．．．．．．．．．．．．　4分 ‎（2）由（1），，则，‎ 时，；时，；‎ ‎，当时，，，‎ 由已知，则，‎ 令，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴时，；时，；时，，‎ ‎∴，∴，‎ 综上所述，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 考点：函数的综合问题.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、全称命题、函数的最值、不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中正确理解题意，合理转化，准确运算是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题.‎