高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：3-3-2 两点间的距离公式 7页

一、选择题 ‎1．已知点A(a,0)，B(b,0)，则A，B两点间的距离为(　　)‎ A．a－b B．b－a C. D．|a－b|‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　代入两点间距离公式．‎ ‎2．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标是(　　)‎ A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－3)或(2,7)‎ C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.‎ ‎3．已知A(5,‎2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　|AB|＝＝＝，∴当a＝时，|AB|取最小值．‎ ‎4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(　　)‎ A．5 B．4 C．2 D．2 ‎[答案]　C ‎[解析]　设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝＝＝2.‎ ‎5．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　AB的中点D的坐标为D(－1，－1)．‎ ‎∴|CD|＝＝；‎ 故选A.‎ ‎6．已知三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是(　　)‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 ‎[答案]　C ‎[解析]　|AB|＝＝3，‎ ‎|BC|＝＝，‎ ‎|AC|＝＝，‎ ‎∴|AC|＝|BC|≠|AB|，‎ 且|AB|2≠|AC|2＋|BC|2.‎ ‎∴△ABC是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形．‎ ‎7．两直线3ax－y－2＝0和(‎2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A、B，则|AB|等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　易得A(0，－2)，B(－1，)．‎ ‎8．在直线2x－3y＋5＝0上求点P，使P点到A(2,3)距离为，则P点坐标是(　　)‎ A．(5,5) B．(－1,1)‎ C．(5,5)或(－1,1) D．(5,5)或(1，－1)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　设点P(x，y)，则y＝，‎ 由|PA|＝得(x－2)2＋(－3)2＝13，‎ 即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5，‎ 当x＝－1时，y＝1，‎ 当x＝5时，y＝5，∴P(－1,1)或(5,5)．‎ 二、填空题 ‎9．已知点M(m，－1)，N(5，m)，且|MN|＝2，则实数m＝________.‎ ‎[答案]　1或3‎ ‎[解析]　由题意得＝2，解得m＝1或m＝3.‎ ‎10．已知A(1，－1)，B(a,3)，C(4,5)，且|AB|＝|BC|，则a＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　＝，‎ 解得a＝.‎ ‎11．已知点A(4,12)，在x轴上的点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为________．‎ ‎[答案]　(9,0)或(－1,0)‎ ‎[解析]　设P(a,0)，则＝13，‎ 解得a＝9或a＝－1，∴点P的坐标为(9,0)或(－1,0)．‎ ‎12．已知△ABC的顶点坐标为A(7,8)、B(10,4)、C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为________．‎ ‎[答案]　 三、解答题 ‎13．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，‎ ‎(1)求BC边上的中线AM的长；‎ ‎(2)证明△ABC为等腰直角三角形．‎ ‎[解析]　(1)设点M的坐标为(x，y)，‎ ‎∵点M为BC边的中点，∴即M(2,2)，‎ 由两点间的距离公式得：‎ ‎|AM|＝＝.‎ ‎∴BC边上的中线AM长为.‎ ‎(2)由两点间的距离公式得 ‎|AB|＝＝2，‎ ‎|BC|＝＝2，‎ ‎|AC|＝＝2，‎ ‎∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形．‎ ‎14．求证：等腰梯形的对角线相等．‎ ‎[证明]　已知：等腰梯形ABCD.‎ 求证：AC＝BD.‎ 证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．‎ 设A(－a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a,0)，C(－b，c)．‎ 则|AC|＝＝，‎ ‎|BD|＝＝，‎ ‎∴|AC|＝|BD|.‎ 即：等腰梯形的对角线相等．‎ ‎15．已知直线l1：2x＋y－6＝0和A(1，－1)，过点A作直线l2与已知直线交于点B且|AB|＝5，求直线l2的方程．‎ ‎[解析]　当直线l2的斜率存在时，设其为k，则 ⇒(k＋2)x＝k＋7，‎ 而k≠－2，故解得x＝，所以B(，)，‎ 又由|AB|＝5，利用两点间距离公式得 ＝5⇒k＝－，‎ 此时l2的方程为3x＋4y＋1＝0.‎ 而当l2的斜率不存在时，l2的方程为x＝1.‎ 此时点B坐标为(1,4)，则|AB|＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l2的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.‎ ‎16．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD＝‎5 m，宽AB＝‎3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问是否在BC上存在一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？若存在，则求出小路DM的长．‎ ‎[分析]　建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．‎ ‎[解析]　以B为坐标原点，BC、BA所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．‎ 因为AD＝‎5 m，AB＝‎3 m，‎ 所以C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．‎ 设点M的坐标为(x,0)，因为AC⊥DM，‎ 所以kAC·kDM＝－1，‎ 即·＝－1.‎ 所以x＝3.2，即BM＝3.2，‎ 即点M的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC与DM相互垂直．‎ 故在BC上存在一点M(3.2,0)满足题意．‎ 由两点间距离公式得DM＝＝.‎