• 261.16 KB
  • 2021-06-11 发布

2020学年高一数学下册期末等差数列及其前n项和知识梳理

  • 10页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
2020 学年高一数学下册期末等差数列及其前 n 项和 等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示. 定义辨析 例 1.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数 列.( ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*,都有 2an+1=an+an+2.( ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的.( ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 知识点 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通项公式是 an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A 叫做 a 与 b 的 等差中项. 4.等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn= n a1+an 2 或 Sn=na1+ n n-1 2 d. 5.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn= d 2 n2+ a1- d 2 n. 数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B 为常数). 练习 等差数列的基本运算 例 2、(2019·内蒙古赤峰月考)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a3=0,则公差 d 等于( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 【答案】D [依题意得 S3=3a2=6,即 a2=2,故 d=a3-a2=-2.] 练习.(2018·山东临沂期中)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a6=14,则 S7= ( ) A.13 B.35 C.49 D.63 【答案】C [∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2+a6=14,∴S7= 7 2 (a1+a7)= 7 2 (a2+a6) = 7 2 ×14=49.] 练习.(2018·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 3S3=S2+S4,a1=2,则 a5 =( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 【答案】B [设等差数列{an}的公差为 d,由 3S3=S2+S4,得 3 3a1+ 3× 3-1 2 ×d = 2a1+ 2× 2-1 2 ×d+4a1+ 4× 4-1 2 ×d,将 a1=2 代入上式,解得 d=-3,故 a5=a1 +(5-1)d=2+4×(-3)=-10. ] 练习.(2018·吉林长春期末)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中 有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.” 其意思为:有个女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织 一尺,三十天织完,问三十天共织布( ) A.30 尺 B.90 尺 C.150 尺 D.180 尺 【答案】B [由题意每天织布的数量组成等差数列,在等差数列{an}中,a1=5,a30=1, ∴S30= 30× 5+1 2 =90(尺).] 等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差 d,然后由通项公式或前 n 项和公 式转化为方程(组)求解. (2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,知其中三个 就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题. 等差数列的判定与证明 例 3、已知数列{an}中,a1= 3 5 ,an=2- 1 an-1 (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足 bn= 1 an-1 (n ∈N*). (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由. 【答案】(1)证明 因为 an=2- 1 an-1 (n≥2,n∈N*), bn= 1 an-1 (n∈N*), 所以 bn+1-bn= 1 an+1-1 - 1 an-1 = 1 2- 1 an -1 - 1 an-1 = an an-1 - 1 an-1 =1. 又 b1= 1 a1-1 =- 5 2 . 所以数列{bn}是以- 5 2 为首项,1 为公差的等差数列. (2)解 由(1)知 bn=n- 7 2 ,则 an=1+ 1 bn =1+ 2 2n-7 . 设 f(x)=1+ 2 2x-7 , 则 f(x)在区间 -∞, 7 2 和 7 2 ,+∞ 上为减函数. 所以当 n=3 时,an 取得最小值-1,当 n=4 时,an 取得最大值 3. [变式探究] 本例中,若将条件变为 a1= 3 5 ,nan+1=(n+1)an+n(n+1),试求数列{an} 的通项公式. 解 由已知可得 an+1 n+1 = an n +1, 即 an+1 n+1 - an n =1,又 a1= 3 5 , ∴ an n 是以 a1 1 = 3 5 为首项,1 为公差的等差数列, ∴ an n = 3 5 +(n-1)·1=n- 2 5 ,∴an=n2- 2 5 n. 等差数列的四种判断方法 (1)定义法:an+1-an=d(d 是常数)⇔{an}是等差数列. 可用来判定与证明. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.可用来判定与证明. (3)通项公式:an=pn+q(p,q 为常数)⇔{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式:Sn=An2+Bn(A,B 为常数)⇔{an}是等差数列. 练习 (2017·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和. 已知 S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通项公式; (2)求 Sn,并判断 Sn+1,Sn,Sn+2 是否成等差数列. 解 (1)设{an}的公比为 q.由题设可得 a1 1+q =2, a1 1+q+q2 =-6. 解得 q=-2,a1=-2. 故{an}的通项公式为 an=(-2)n. (2)由(1)可得 Sn= a1 1-qn 1-q =- 2 3 +(-1)n2n+1 3 . 由于 Sn+2+Sn+1=- 4 3 +(-1)n2n+3-2n+2 3 =2 - 2 3 + -1 n2n+1 3 =2Sn, 故 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列. 【知识梳理】 6.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2n}也是等差数列,公差为 2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 md 的等 差数列. (6)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列. 7.等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最大值;若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最小值. 8.与等差数列各项的和有关的性质 1.若{an}是等差数列,则 Sn n 也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差是{an}公差 的 1 2 . 2.若{an}是等差数列,Sm,S2m,S3m 分别为{an}的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和, 则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. 3.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质. (1)若项数为 2n,则 S 偶-S 奇=nd, S 奇 S 偶 = an an+1 . (2)若项数为 2n-1,则 S 偶=(n-1)an,S 奇=nan,S 奇-S 偶=an, S 奇 S 偶 = n n-1 . 4.两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和 Sn,Tn 之间的关系为 an bn = S2n-1 T2n-1 . 练习 等差数列的性质及前 n 项和的最值 一、等差数列的性质 例 4、数列{an}满足 2an=an-1+an+1(n≥2),且 a2+a4+a6=12,则 a3+a4+a5 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】D [数列{an}满足 2an=an-1+an+1(n≥2),则数列{an}是等差数列,利用等差数 列的性质可知,a3+a4+a5=a2+a4+a6=12.] 二、等差数列前 n 项和的性质 例 5、(1)(2019·湖北武汉调研)若等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S4=4,S6=12,则 S2 =( ) A.-1 B.0 C.1 D.3 【答案】B [根据等差数列的性质,可得 S2,S4-S2,S6-S4 成等差数列,即 2(S4-S2) =S2+S6-S4,因此 S2=0.] (2)(2019·山东日照检测)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=-2 014, S2 014 2 014 - S2 008 2 008 =6,则 S2 018=________. 【答案】6 054 [由等差数列的性质可得 Sn n 也为等差数列. 设其公差为 d,则 S2 014 2 014 - S2 008 2 008 =6d=6,∴d=1. 故 S2 018 2 018 = S1 1 +2 017d=-2 014+2 017=3, ∴S2 018=3×2 018=6 054.] 三、等差数列前 n 项和的最值 例 6、等差数列{an}的首项 a1>0,设其前 n 项和为 Sn,且 S5=S12,则当 n 为何值时,Sn 有最大值? 解 设等差数列{an}的公差为 d,由 S5=S12 得 5a1+10d=12a1+66d,d=- 1 8 a1<0. 法一(函数法):Sn=na1+ n n-1 2 d =na1+ n n-1 2 · - 1 8 a1 =- 1 16 a1(n2-17n)=- 1 16 a1 n- 17 2 2+ 289 64 a1, 因为 a1>0,n∈N*,所以当 n=8 或 n=9 时,Sn 有最大值. 法 二 ( 通 项 变 号 法 ) : 设 此 数 列 的 前 n 项 和 最 大 , 则 an≥0, an+1≤0, 即 a1+ n-1 · - 1 8 a1 ≥0, a1+n· - 1 8 a1 ≤0, 解得 n≤9, n≥8, 即 8≤n≤9, 又 n∈N*,所以当 n=8 或 n=9 时,Sn 有最大值. 1.等差数列的性质 (1)项的性质:在等差数列{an}中,am-an=(m-n)d⇔am-an m-n =d(m≠n),其几何意义是 点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差. (2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,则①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an +1). ②S2n-1=(2n-1)an. 2.求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法 (1)函数法:利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn=An2+Bn,通过配方或借助图象求 二次函数最值的方法求解.(易忽视 n∈N*) (2)邻项变号法: ①当 a1>0,d<0 时,满足 am≥0, am+1≤0 的项数 m 使得 Sn 取得最大值为 Sm. ②当 a1<0,d>0 时,满足 am≤0, am+1≥0 的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm. 练习 1 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a6 a5 = 9 11 ,则 S11 S9 =( ) A.1 B.-1 C.2 D. 1 2 【答案】A [ S11 S9 = 11 a1+a11 2 9 a1+a9 2 = 11a6 9a5 = 11 9 × 9 11 =1.] 练习 2 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a4+a7+a10=9,S14-S3=77,则使 Sn 取 得最小值时 n 的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B [根据等差数列的性质可得 a4+a7+a10=3a7=9,得 a7=3.S14-S3=11a9 =77,解得 a9=7,所以等差数列的通项公式为 an=2n-11.当 n=6 时,an>0;当 n=5 时, an<0,所以使 Sn 取得最小值的 n 的值为 5.] 练习 3 记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 am=10,S2m-1=110,则 m 的值为________. 【答案】6 [∵{an}是等差数列,∴S2m-1= a2m-1+a1 2 ×(2m-1)=(2m-1)am=10(2m-1) =110,可得 m=6.]