2020学年高一数学下册期末等差数列及其前n项和知识梳理 10页

2020 学年高一数学下册期末等差数列及其前 n 项和 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示． 定义辨析 例 1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数 列．( ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an＋2.( ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．( ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 知识点 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 an＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项 由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做 a 与 b 的 等差中项. 4．等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝ n a1＋an 2 或 Sn＝na1＋ n n－1 2 d. 5．等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn＝ d 2 n2＋ a1－ d 2 n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)． 练习 等差数列的基本运算 例 2、(2019·内蒙古赤峰月考)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝6，a3＝0，则公差 d 等于( ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 【答案】D [依题意得 S3＝3a2＝6，即 a2＝2，故 d＝a3－a2＝－2.] 练习．(2018·山东临沂期中)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2＋a6＝14，则 S7＝ ( ) A．13 B．35 C．49 D．63 【答案】C [∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a2＋a6＝14，∴S7＝ 7 2 (a1＋a7)＝ 7 2 (a2＋a6) ＝ 7 2 ×14＝49.] 练习．(2018·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，则 a5 ＝( ) A．－12 B．－10 C．10 D．12 【答案】B [设等差数列{an}的公差为 d，由 3S3＝S2＋S4，得 3 3a1＋ 3× 3－1 2 ×d ＝ 2a1＋ 2× 2－1 2 ×d＋4a1＋ 4× 4－1 2 ×d，将 a1＝2 代入上式，解得 d＝－3，故 a5＝a1 ＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10. ] 练习．(2018·吉林长春期末)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中 有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．” 其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织 一尺，三十天织完，问三十天共织布( ) A．30 尺 B．90 尺 C．150 尺 D．180 尺 【答案】B [由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{an}中，a1＝5，a30＝1， ∴S30＝ 30× 5＋1 2 ＝90(尺)．] 等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差 d，然后由通项公式或前 n 项和公 式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个 就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题． 等差数列的判定与证明 例 3、已知数列{an}中，a1＝ 3 5 ，an＝2－ 1 an－1 (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足 bn＝ 1 an－1 (n ∈N*)． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． 【答案】(1)证明 因为 an＝2－ 1 an－1 (n≥2，n∈N*)， bn＝ 1 an－1 (n∈N*)， 所以 bn＋1－bn＝ 1 an＋1－1 － 1 an－1 ＝ 1 2－ 1 an －1 － 1 an－1 ＝ an an－1 － 1 an－1 ＝1. 又 b1＝ 1 a1－1 ＝－ 5 2 . 所以数列{bn}是以－ 5 2 为首项，1 为公差的等差数列． (2)解 由(1)知 bn＝n－ 7 2 ，则 an＝1＋ 1 bn ＝1＋ 2 2n－7 . 设 f(x)＝1＋ 2 2x－7 ， 则 f(x)在区间 －∞， 7 2 和 7 2 ，＋∞ 上为减函数． 所以当 n＝3 时，an 取得最小值－1，当 n＝4 时，an 取得最大值 3. [变式探究] 本例中，若将条件变为 a1＝ 3 5 ，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an} 的通项公式． 解 由已知可得 an＋1 n＋1 ＝ an n ＋1， 即 an＋1 n＋1 － an n ＝1，又 a1＝ 3 5 ， ∴ an n 是以 a1 1 ＝ 3 5 为首项，1 为公差的等差数列， ∴ an n ＝ 3 5 ＋(n－1)·1＝n－ 2 5 ，∴an＝n2－ 2 5 n. 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d 是常数)⇔{an}是等差数列. 可用来判定与证明． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．可用来判定与证明． (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q 为常数)⇔{an}是等差数列． (4)前 n 项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)⇔{an}是等差数列． 练习 (2017·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和． 已知 S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式； (2)求 Sn，并判断 Sn＋1，Sn，Sn＋2 是否成等差数列． 解 (1)设{an}的公比为 q.由题设可得 a1 1＋q ＝2， a1 1＋q＋q2 ＝－6. 解得 q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通项公式为 an＝(－2)n. (2)由(1)可得 Sn＝ a1 1－qn 1－q ＝－ 2 3 ＋(－1)n2n＋1 3 . 由于 Sn＋2＋Sn＋1＝－ 4 3 ＋(－1)n2n＋3－2n＋2 3 ＝2 － 2 3 ＋ －1 n2n＋1 3 ＝2Sn， 故 Sn＋1，Sn，Sn＋2 成等差数列. 【知识梳理】 6．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md 的等 差数列． (6)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 7．等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn 存在最大值；若 a1<0，d>0，则 Sn 存在最小值． 8.与等差数列各项的和有关的性质 1．若{an}是等差数列，则 Sn n 也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差 的 1 2 . 2．若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m 分别为{an}的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和， 则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列． 3．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质． (1)若项数为 2n，则 S 偶－S 奇＝nd， S 奇 S 偶 ＝ an an＋1 . (2)若项数为 2n－1，则 S 偶＝(n－1)an，S 奇＝nan，S 奇－S 偶＝an， S 奇 S 偶 ＝ n n－1 . 4．两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和 Sn，Tn 之间的关系为 an bn ＝ S2n－1 T2n－1 . 练习 等差数列的性质及前 n 项和的最值 一、等差数列的性质 例 4、数列{an}满足 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且 a2＋a4＋a6＝12，则 a3＋a4＋a5 等于( ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D [数列{an}满足 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则数列{an}是等差数列，利用等差数 列的性质可知，a3＋a4＋a5＝a2＋a4＋a6＝12.] 二、等差数列前 n 项和的性质 例 5、(1)(2019·湖北武汉调研)若等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S4＝4，S6＝12，则 S2 ＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．3 【答案】B [根据等差数列的性质，可得 S2，S4－S2，S6－S4 成等差数列，即 2(S4－S2) ＝S2＋S6－S4，因此 S2＝0.] (2)(2019·山东日照检测)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝－2 014， S2 014 2 014 － S2 008 2 008 ＝6，则 S2 018＝________. 【答案】6 054 [由等差数列的性质可得 Sn n 也为等差数列． 设其公差为 d，则 S2 014 2 014 － S2 008 2 008 ＝6d＝6，∴d＝1. 故 S2 018 2 018 ＝ S1 1 ＋2 017d＝－2 014＋2 017＝3， ∴S2 018＝3×2 018＝6 054.] 三、等差数列前 n 项和的最值 例 6、等差数列{an}的首项 a1>0，设其前 n 项和为 Sn，且 S5＝S12，则当 n 为何值时，Sn 有最大值？ 解 设等差数列{an}的公差为 d，由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，d＝－ 1 8 a1<0. 法一(函数法)：Sn＝na1＋ n n－1 2 d ＝na1＋ n n－1 2 · － 1 8 a1 ＝－ 1 16 a1(n2－17n)＝－ 1 16 a1 n－ 17 2 2＋ 289 64 a1， 因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 n＝9 时，Sn 有最大值． 法 二 ( 通 项 变 号 法 ) ： 设 此 数 列 的 前 n 项 和 最 大 ， 则 an≥0， an＋1≤0， 即 a1＋ n－1 · － 1 8 a1 ≥0， a1＋n· － 1 8 a1 ≤0， 解得 n≤9， n≥8， 即 8≤n≤9， 又 n∈N*，所以当 n＝8 或 n＝9 时，Sn 有最大值． 1．等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－an m－n ＝d(m≠n)，其几何意义是 点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an ＋1)． ②S2n－1＝(2n－1)an. 2．求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn＝An2＋Bn，通过配方或借助图象求 二次函数最值的方法求解．(易忽视 n∈N*) (2)邻项变号法： ①当 a1>0，d<0 时，满足 am≥0， am＋1≤0 的项数 m 使得 Sn 取得最大值为 Sm. ②当 a1<0，d>0 时，满足 am≤0， am＋1≥0 的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm. 练习 1 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a6 a5 ＝ 9 11 ，则 S11 S9 ＝( ) A．1 B．－1 C．2 D． 1 2 【答案】A [ S11 S9 ＝ 11 a1＋a11 2 9 a1＋a9 2 ＝ 11a6 9a5 ＝ 11 9 × 9 11 ＝1.] 练习 2 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a4＋a7＋a10＝9，S14－S3＝77，则使 Sn 取 得最小值时 n 的值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B [根据等差数列的性质可得 a4＋a7＋a10＝3a7＝9，得 a7＝3.S14－S3＝11a9 ＝77，解得 a9＝7，所以等差数列的通项公式为 an＝2n－11.当 n＝6 时，an>0；当 n＝5 时， an<0，所以使 Sn 取得最小值的 n 的值为 5.] 练习 3 记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 am＝10，S2m－1＝110，则 m 的值为________. 【答案】6 [∵{an}是等差数列，∴S2m－1＝ a2m－1＋a1 2 ×(2m－1)＝(2m－1)am＝10(2m－1) ＝110，可得 m＝6.]