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- 2021-06-11 发布
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第2课时 等比数列的性质及应用
双基达标 (限时20分钟)
1.在等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于 ( ).
A.4 B.8 C.16 D.32
解析 由等比数列的性质得a2·a6=a42=42=16.
答案 C
2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于 ( ).
A.- B.-2 C.2 D.
解析 根据an=am·qn-m,得a5=a2·q3.
∴q3=×=.∴q=.
答案 D
3.已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则ad等于 ( ).
A.3 B.2 C.1 D.-2
解析 ∵y=(x-1)2+2,∴b=1,c=2.又∵a,b,c,d成等比数列,∴ad=bc=2.
答案 B
4.在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=________.
解析 根据等比数列的性质:a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列.
∴a5+a6=(a3+a4)·=120×=480.
答案 480
5.已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9=________.
解析 由等比数列的性质得a3a11=a72,
∴a72=4a7.∵a7≠0,∴a7=4.
∴b7=a7=4.
再由等差数列的性质知b5+b9=2b7=8.
答案 8
6.已知等比数列{an}中,a2a6a10=1,求a3·a9的值.
解 法一 由等比数列的性质,有a2a10=a3a9=a62,
由a2·a6·a10=1,得a63=1,
∴a6=1,∴a3a9=a62=1.
法二 由等比数列通项公式,得
a2a6a10=(a1q)(a1q5)(a1q9)=a13·q15=(a1q5)3=1,
∴a1q5=1,∴a3a9=(a1q2)(a1q8)=(a1q5)2=1.
综合提高 (限时25分钟)
7.已知各项为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于 ( ).
A.5 B.7 C.6 D.4
解析 ∵a1a2a3=a23=5,∴a2=.
∵a7a8a9=a83=10,∴a8=.
∴a52=a2a8==50,
又∵数列{an}各项为正数,∴a5=50.
∴a4a5a6=a53=50=5.
答案 A
8.在等比数列{an}中,a3=12,a2+a4=30,则a10的值为 ( ).
A.3×10-5 B.3×29
C.128 D.3×2-5或3×29
解析 ∵a2=,a4=a3q,∴a2=,a4=12q.
∴+12q=30.即2q2-5q+2=0,
∴q=或q=2.
当q=时,a2=24,
∴a10=a2·q8=24×8=3×2-5;
当q=2时,a2=6,
∴a10=a2q8=6×28=3×29.
答案 D
9.在等比数列{an}中,若an>0,a1·a100=100,则lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100=________.
解析 由等比数列性质知:a1·a100=a2·a99=…=a50·a51=100.
∴lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100=lg(a1·a2·a3·…·a100)=lg(a1·a100)50=lg 10050=lg 10100=100.
答案 100
10.三个数a,b,c成等比数列,公比q=3,又a,b+8,c成等差数列,则这三个数依次为________.
解析 ∵a,b,c成等比数列,公比是q=3,
∴b=3a,c=a·32=9a.
又由等差中项公式有:2(b+8)=a+c,
∴2(3a+8)=a+9a.∴a=4.
∴b=12,c=36.
答案 4,12,36
11.在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{an}的通项公式.
解 ∵a1a5=a32,a3a5=a42,a3a7=a52,
∴由条件,得a32-2a42+a52=36,
同理得a32+2a3a5+a52=100,
∴即
解得或
分别解得或
∴an=a1qn-1=2n-2或an=a1qn-1=26-n.
12.(创新拓展)互不相等的3个数之积为-8,这3个数适当排列后可以组成等比数列,也可组成等差数列,求这3个数组成的等比数列.
解 设这3个数分别为,a,aq,则a3=-8,即a=-2.
(1)若-2为-和-2q的等差中项,则+2q=4,
∴q2-2q+1=0,解得q=1,与已知矛盾,舍去;
(2)若-2q为-和-2的等差中项,则+1=2q,
∴2q2-q-1=0,解得q=-或q=1(与已知矛盾,舍去),
∴这3个数组成的等比数列为4,-2,1;
(3)若-为-2q与-2的等差中项,则q+1=,
∴q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(与已知矛盾,舍去),
∴这3个数组成的等比数列为1,-2,4.
故这3个数组成的等比数列为4,-2,1或1,-2,4.