数学理卷·2017届福建省霞浦第一中学高三上学期期中考试（2016 9页

霞浦一中2017届高三第一学期期中考试 理科数学试卷 ‎（满分：150分 时间：120分钟 命卷、审卷：高三数学备课组）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）‎ 温馨提示：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、座号填写在答题卡上。‎ ‎2．考生作答时，将答案写在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域内作答.在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎3．考生不能使用计算器答题 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 把答案填写在答题卷相应位置上.‎ ‎1．设集合A={x| y=lg（x﹣1）}，集合，则A∩B等于 ‎ A．（1，2） B．（1，2] C．[1，2） D．[1，2]‎ ‎2．已知向量和，若，则 ‎ A．64 B．‎8 ‎‎ C．5 D．‎ ‎3．等比数列{an}的各项均为正数，且，则 A．12 B．‎10 C．8 D．‎ ‎4．如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，‎ 则的值为 A． B． C． D．‎ ‎5．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知定义域为R的函数不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎7．下列四个结论中：正确结论的个数是 ‎ ‎①若，则是的充分不必要条件；‎ ‎②命题“若x﹣sinx=0，则x=‎0”‎的逆命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠‎0”‎；‎ ‎③若向量满足，则恒成立；‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 ‎8．设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的部分图象为 ‎ ‎ ‎ A B C D ‎ ‎9．对于函数，部分x与y的对应关系如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎8‎ 数列{xn}满足：x1=2，且对于任意n∈N*，点（xn，xn+1）都在函数y=g（x）的图象上，则 A．4054 B．‎5046 C．5075 D． 6047‎ ‎10.如图是函数图象的一部分，对不同的 ‎，若，有，则 ‎ A.在上是增函数 B.在上是减函数 A C B D C.在上是增函数 D.在上是减函数 ‎11．如图所示，在平面四边形中，，为 正三角形，则面积的最大值为 A．2 B． C． D．‎ ‎12.已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卷相应位置上 ‎13.若幂函数过点（2，8），则满足不等式 f(a﹣3)＞f(1﹣a) 的实数a的取值范围是 .‎ ‎14．一商人将某品牌彩电先按原价提高40%，然后 “八折优惠” 出售，结果每台彩电比按原价出售多赚144元，那么每台彩电原价是 元．‎ ‎15．函数图象与x轴所围成的封闭图形面积为 ．‎ ‎16．已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）=2，‎ f（xy）=x f（y）+y f（x），，，考查下列结论：‎ ‎①f（1）=1；②f（x）为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列．‎ 以上命题正确的是 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．设p：关于x的不等式ax＞1的解集是{ x|x＜0 }；q：函数的定义域为R．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．已知向量，向量，函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期T；‎ ‎（Ⅱ）已知、、分别为△ABC的内角A、B、C的对边，A为锐角，，，且 恰是在上的最大值，求A和．‎ ‎19．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为、、，已知，且，.‎ ‎（Ⅰ）求△ABC的面积．‎ ‎（Ⅱ）若等差数列的公差不为零，且，、、成等比数列，求的前n项和．‎ ‎20．设数列的前项和为，已知，，（），是数列的前项和．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求满足的最大正整数的值．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：． ‎ 请考生从22、23二题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的方程为以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并求与曲线的交点、的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）设是椭圆上的动点，求面积的最大值.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得，求实数的取值范围．‎ ‎霞浦一中2017届高三第一学期期中考试理科数学参考答案 ‎1-5 BCBAD 6-10 CABDA 11-12 DD ‎13. 14. 1200 15. 16. ②③④‎ ‎12．解析：，当时，得到，，解得，所以，设，，‎ 当时，，当时，‎ 所以当时，函数取得最小值，根据题意将不等式转化为，‎ 所以，故选C.‎ ‎17.解：∵关于x的不等式ax＞1的解集是{ x|x＜0 }，∴0＜a＜1；‎ 故命题p为真时，0＜a＜1；‎ ‎∵函数的定义域为R，‎ ‎∴⇒ ，‎ 由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假，‎ 当p真q假时，则⇒ ；‎ 当p假q真时，则⇒ ，‎ 综上实数a的取值范围是．‎ ‎18．解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴当时，取得最大值3，此时，‎ ‎∴由得：，‎ 由余弦定理，得，‎ ‎∴12=b2+16﹣4b，即（b﹣2）2=0，‎ ‎∴b=2．‎ ‎19.解：（Ⅰ）∵，且，.‎ ‎∴由正弦定理得：，即：，‎ ‎∵，‎ 又∵，∴‎ ‎∵‎ ‎∴ ………①‎ ‎∵‎ ‎∴………②‎ 联立①、②解得：，‎ ‎∴△ABC的面积；‎ ‎（Ⅱ）设数列的公差为d且d≠0，由，得，‎ ‎∵、、成等比数列，‎ ‎∴，∴解得d=2‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴‎ ‎20．解：（Ⅰ）∵当时，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴数列是以2为首项，公比为4的等比数列，‎ ‎∴ …………………………………………………………5分 ‎（2）由（1）得：， ……………………………………6分 ‎∴‎ ‎ ……………………………………………………………7分 ‎ …………………………………………………………………8分 ‎． ……………………………………………………………………………9分 所以 ……………………………10分 ‎ ，‎ 令，解得．‎ 故满足条件的最大正整数的值为1008．………………………………………………12分 ‎21解:（Ⅰ） ……………………………………………………1分 ‎， ……………………………………………………2分 ‎∵，， ‎ ‎∴①当时，令，得；令，得，‎ 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为； …………………………3分 ‎②当时，，令，得或；令，得，‎ 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；………………4分 ‎③当时，，令，得；令，得，‎ 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， ‎ 综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； ‎ 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 …5分 ‎（Ⅱ）∵，故由（Ⅰ）可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为 ‎，‎ ‎∴在时取得极大值，并且也是最大值，即． …………………6分 又，∴． ……………………………………… 7分 设，则， …………………8分 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， …………………… 9分 所以， ……………………………………………………10分 ‎，∴， ………………………………………11分 ‎∴，又 ‎． ………………………………………12分 ‎22.解：(Ⅰ)因为，所以的极坐标方程为， 2分 直线的直角坐标方程为，‎ 联立方程组，解得或， 4分 所以点的极坐标分别为. 5分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)易得 6分 因为是椭圆上的点，设P点坐标为， 7分 则到直线的距离， 8分 所以，………9分 当时，取得最大值1. 10分 ‎23．解：（Ⅰ）当时，……3分 ‎∴函数在上是增函数，在上是减函数，‎ 所以． ……………………………5分 ‎（Ⅱ），即，‎ 令，则存在，使得成立，‎ ‎∴即 ………………………………8分 ‎∴当时，原不等式为，解得，‎ 当时，原不等式为，解得，‎ 综上所述，实数的取值范围是． ……………………………10分