【数学】2018届一轮复习人教A版　正弦定理和余弦定理的应用举例学案 17页

第8讲　正弦定理和余弦定理的应用举例 ‎ [学生用书P85]‎ ‎1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．‎ ‎2．方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．‎ ‎3．方向角 相对于某一正方向的角(如图③)．‎ ‎(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．‎ ‎(2)东北方向：指北偏东45°.‎ ‎(3)其他方向角类似．‎ ‎1．辨明两个易误点 ‎(1)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．‎ ‎(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．‎ ‎2．解三角形应用题的一般步骤 ‎1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)‎ A．α＞β　　　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°‎ ‎　B　[解析] 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.‎ ‎2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)‎ A．北偏东15° B．北偏西15°‎ C．北偏东10° D．北偏西10°‎ ‎　B　[解析] 如图所示，∠ACB＝90°，‎ 又AC＝BC，所以∠CBA＝45°，‎ 而β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.‎ 所以点A在点B的北偏西15°.‎ ‎3．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为________．‎ ‎[解析] 由正弦定理得 AB＝＝＝50 m.‎ ‎[答案] 50 m ‎　测量距离[学生用书P86]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距千米的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．‎ ‎【解】　在△ACD中，‎ ‎∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，‎ 所以AC＝CD＝ km.‎ 在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.‎ 所以BC＝＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋－2×××cos 75°‎ ‎＝3＋2＋－＝5，所以AB＝ km，‎ 所以A，B之间的距离为 km.‎ 距离问题的类型及解法 ‎(1)测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达．‎ ‎(2)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．　 ‎ ‎　如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法为：先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝.若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．‎ ‎[解] 由题可得，在△ABC中，‎ AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos ∠ACB，‎ 所以AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.‎ 所以AB＝200 m.‎ 即A，B两点间的距离为200 m.‎ ‎　测量高度[学生用书P87]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.‎ ‎【解析】　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.‎ 又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，‎ 解得BC＝300 m.‎ 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．‎ ‎【答案】　100 求解高度问题的注意事项 ‎(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；‎ ‎(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；‎ ‎(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．　 ‎ ‎　(2017·湖北省七市(州)协作体联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD＝________m.‎ ‎[解析] 由题意可知，设CD＝h，则AD＝，BD＝h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，所以由余弦 定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°，可得1302＝3h2＋－2·h··，解得h＝10，故塔的高度为10 m.‎ ‎[答案] 10 ‎　测量角度[学生用书P87]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间．(注：≈2.449)‎ ‎【解】　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里)．‎ 在△ABC中，因为AB＝(－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，‎ 根据余弦定理，可得 BC＝ ‎＝(海里)．‎ 根据正弦定理，可得 sin∠ABC＝＝＝.‎ 所以∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，‎ 从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.‎ 在△BCD中，根据正弦定理，可得 sin∠BCD＝＝＝，‎ 所以∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，‎ 所以BD＝BC＝(海里)，‎ 则有10t＝，t＝≈0.245小时＝14.7分钟．‎ 故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．‎ 解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义．‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．　 ‎ ‎　在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．‎ ‎[解] 如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，‎ 则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.‎ 根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，‎ 解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.‎ 根据正弦定理得＝，‎ 解得sin α＝＝.‎ 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.‎ ‎ [学生用书P88]‎ ‎——解三角形与其他知识的交汇 ‎　△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；‎ ‎(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．‎ ‎【解】　(1)证明：因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.‎ 由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.‎ 因为sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，‎ 所以sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．‎ ‎(2)因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.‎ 由余弦定理得 cos B＝＝≥＝，‎ 当且仅当a＝c时等号成立．‎ 所以cos B的最小值为.‎ ‎　本题是解三角形问题和数列的交汇，其解题思路是由数列问题转化为边角的等式关系，再利用正、余弦定理即可求解．本题体现了高考试题的设计理念和意图，‎ 在命题上追求知识间的交汇，有时也与不等式、直线、圆等知识交汇命题，注重考查知识应用能力．‎ ‎　在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycos A＋cos B＝0与ax＋ycos B＋cos A＝0平行，则△ABC一定是(　　)‎ A．锐角三角形　　　　　　　 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 ‎　C　[解析] 法一：由两直线平行可知bcos B－acos A＝0，由正弦定理可知sin Bcos B－sin Acos A＝0，即sin 2B－sin 2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.‎ 若A＝B，则a＝b，cos A＝cos B，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝，即△ABC是直角三角形．‎ 法二：由两直线平行可知bcos B－acos A＝0，‎ 由余弦定理，得a·＝b·，‎ 所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，‎ 所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，‎ 所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.‎ 若a＝b，则两直线重合，不符合题意，‎ 故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．‎ ‎ [学生用书P345(独立成册)]‎ ‎1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ A．北偏东10°　　　　　　　 B．北偏西10°‎ C．南偏东80° D．南偏西80°‎ ‎　D　[解析] 由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.‎ ‎2.‎ 如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在它的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，AB的距离是84 m，则塔高CD为(　　)‎ A．24 m B．12 m C．12 m D．36 m ‎　C　[解析] 设塔高CD＝x m，‎ 则AD＝x m，DB＝x m.‎ 在△ABD中，利用余弦定理，得842＝x2＋(x)2－2·x2cos 150°，解得x＝±12(负值舍去)，故塔高为12 m.‎ ‎3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为(　　)‎ A.海里/小时 B．34海里/小时 C.海里/小时 D．34海里/小时 ‎　C　[解析] 如图所示，在△PMN中，PM＝68，∠PNM＝45°，∠PMN＝15°，‎ ‎∠MPN＝120°，‎ 由正弦定理，得＝，所以MN＝34，‎ 所以该船的航行速度为海里/小时．‎ ‎4．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)‎ A．8 km/h B．6 km/h C．2 km/h D．10 km/h ‎　B　[解析] 设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，‎ sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.‎ ‎5．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．75°‎ ‎　B　[解析] 依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，‎ 所以在△ACD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝ ‎＝ ‎＝＝，‎ 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ ‎6．(2017·武汉市武昌区调研)据气象部门预报，在距离某码头正西方向400 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300 km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为(　　)‎ A．9 h B．10 h C．11 h D．12 h ‎　B　[解析] 记码头为点O，热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴到达B点位置，在△OAB中，OA＝400，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得4002＋400t2－2×20t×400×≤3002，即t2－20t＋175≤0，解得10－5≤t≤10＋5，所以所求时间为10＋5－10＋5＝10(h)，故选B.‎ ‎7．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC 的长为________km.‎ ‎[解析] 由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos ∠D，解得cos ∠D＝－，所以AC＝＝7.‎ ‎[答案] 7‎ ‎8．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.‎ ‎[解析] 如 图，OM＝AOtan 45°‎ ‎＝30(m)，‎ ON＝AOtan 30°‎ ‎＝×30＝10(m)，‎ 在△MON中，由余弦定理得，MN ‎＝ ‎＝＝10(m)．‎ ‎[答案] 10 ‎9．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽度为________．‎ ‎[解析] 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，‎ 则CD为所求河的宽度．在△ABC中，‎ 因为∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，‎ 所以∠ACB＝75°，‎ 所以AC＝AB＝120 m.‎ 在Rt△ACD中，‎ CD＝ACsin∠CAD ‎＝120sin 30°＝60(m)，‎ 因此这条河的宽度为60 m.‎ ‎[答案] 60 m ‎10．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.‎ ‎[解析] 根据图示，AC＝100 m.‎ 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.‎ 由正弦定理得＝⇒AM＝100 m.‎ 在△AMN中，＝sin 60°，‎ 所以MN＝100×＝150(m)．‎ ‎[答案] 150‎ ‎11.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.(已知声音的传播速度为340米/秒)‎ ‎(1)求A，C两地的距离；‎ ‎(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.‎ ‎[解] (1)设BC＝x，由条件可知AC＝x＋×340＝x＋40，‎ 在△ABC中，‎ BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos ∠BAC，‎ 即x2＝1002＋(40＋x)2－2×100×(40＋x)×，解得x＝380，‎ 所以AC＝380＋40＝420米，‎ 故A，C两地的距离为420米．‎ ‎(2)在△ACH中，AC＝420，∠HAC＝30°，∠AHC＝90°－30°＝60°，‎ 由正弦定理，可得＝，即＝，‎ 所以HC＝＝140，故这种仪器的垂直弹射高度为140米．‎ ‎12．某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6 km处，B位于O的北偏东60°方向10 km处．‎ ‎(1)求集镇A，B间的距离；‎ ‎(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线．勘测时发现：以O为圆心，3 km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短．‎ ‎[解] (1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120°，‎ 根据余弦定理得 AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos 120°‎ ‎＝62＋102－2×6×10×＝196，‎ 所以AB＝14.‎ 故集镇A，B间的距离为14 km.‎ ‎(2)依题意得，直线MN必与圆O相切．‎ 设切点为C，连接OC(图略)，则OC⊥MN.‎ 设OM＝x，ON＝y，MN＝c，‎ 在△OMN中，由MN·OC＝OM·ON·sin 120°，‎ 得×3c＝xysin 120°，即xy＝2c，‎ 由余弦定理，得c2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy≥3xy，‎ 所以c2≥6c，解得c≥6，‎ 当且仅当x＝y＝6时c取得最小值6.‎ 所以码头M，N与集镇O的距离均为6 km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6km.‎ ‎)‎ ‎13．A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°、B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要的时间为(　　)‎ A．1小时 B．2小时 C．(1＋)小时 D.小时 ‎　A　[解析] 由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，‎ 所以∠ADB＝105°，‎ 在△DAB中，由正弦定理得＝，‎ 所以DB＝＝ ‎＝10(海里)，‎ 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，‎ BC＝20海里，‎ 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC ‎＝300＋1 200－2×10×20×＝900，‎ 所以CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．‎ ‎14．(2017·山西省第二次四校联考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acos B－bcos A＝c，当tan(A－B)取最大值时，角B的值为________．‎ ‎[解析] 由acos B－bcos A＝c及正弦定理，得 sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(A＋B)＝(sin Acos B＋cos A·sin B)，整理得sin Acos B＝3cos Asin B，即tan A＝3tan B，易得tan A＞0，tan B＞0，所以tan(A－B)＝＝＝≤＝，当且仅当＝3tan B，即tan B＝时，tan(A－B)取得最大值，所以B＝.‎ ‎[答案] ‎15．(2017·河南省六市第一次联考)如图，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．‎ ‎(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；‎ ‎(2)求P到海防警戒线AC的距离．‎ ‎[解] (1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.‎ 在△PAB中，AB＝20，cos ∠PAB＝＝＝，‎ 同理，在△PAC中，AC＝50，cos ∠PAC＝＝＝.‎ 因为cos ∠PAB＝cos ∠PAC，所以＝，‎ 解得x＝31.‎ ‎(2)作PD⊥AC于点D，在△ADP中，‎ 由cos ∠PAD＝，‎ 得sin ∠PAD＝＝，‎ 所以PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4.‎ 故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米．‎ ‎16．在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D为BC边上一点．‎ ‎(1)若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的长；‎ ‎(2)若AB＝AD，试求△ADC的周长的最大值．‎ ‎[解] (1)因为S△DAC＝2，‎ 所以·AD·AC·sin ∠DAC＝2，所以sin∠DAC＝.因为∠DAC＜∠BAC＜π－＝，‎ 所以∠DAC＝.‎ 在△ADC中，由余弦定理，得 DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos，所以DC2＝4＋48－2×2×4×＝28，所以DC＝2.‎ ‎(2)因为AB＝AD，B＝，‎ 所以△ABD为正三角形，‎ 在△ADC中，根据正弦定理，可得 ＝＝，‎ 所以AD＝8sin C，DC＝8sin，‎ 所以△ADC的周长为 AD＋DC＋AC＝8sin C＋8sin＋4 ‎＝8＋4 ‎＝8＋4＝8sin＋4.‎ 因为∠ADC＝，所以0＜C＜，‎ 所以＜C＋＜，‎ 所以当C＋＝，即C＝时，△ADC的周长的最大值为8＋4.‎