数学卷·2018届重庆第二外国语学校高二上学期第三次月考数学试卷（文科） （解析版） 22页

‎2016-2017学年重庆第二外国语学校高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．双曲线的一个焦点坐标为（　　）‎ A．（3，0） B．（0，3） C． D．‎ ‎2．原点到直线x+2y﹣5=0的距离为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎3．已知直线l1：3x+4y+1=0与直线l2：4x﹣3y+2=0，则直线l1与直线l2的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．垂直 C．重合 D．无法确定 ‎4．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎5．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为4的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（　　）‎ A．16 B．4 C．8 D．8‎ ‎6．设α、β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若 ‎|AF|=3，则△AOF的面积为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎9．已知x，y满足不等式组则目标函数z=3x+y的最大值为（　　）‎ A． B．12 C．8 D．24‎ ‎10．圆（x+1）2+（y+2）2=8上与直线x+y+1=0的距离等于的点共有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知双曲线﹣=1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，点A满足•=0，则点A到原点的最近距离为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎　‎ 一、填空题（每小题5分，满分20分）‎ ‎13．过原点且倾斜角为45°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为　　．‎ ‎14．已知（1，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是　　．‎ ‎15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是　　．‎ ‎16．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线左支上一点，且，则△PF1F2的面积是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（第17题满分70分，18-22满分70分）‎ ‎17．命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅；‎ 命题q：函数y=（2a2﹣a）x增函数．若p∨q是真命题p∧q是假命题．求实数a的取值范围．‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，BC1∩B1C=E．求证：‎ ‎（Ⅰ）DE∥平面AA1C1C；‎ ‎（Ⅱ）BC1⊥AB1．‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB．‎ ‎（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．‎ ‎20．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，‎ ‎（Ⅰ）若直线l1过定点A（1，0），且与圆C相切，求l1的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x+y﹣2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程．‎ ‎21．直线l1过点M（﹣1，0），与抛物线y2=4x交于P1、P2两点，P是线段P1P2的中点，直线l2过P和抛物线的焦点F，设直线l1的斜率为k．‎ ‎（1）将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f（k）；‎ ‎（2）求出f（k）的定义域及单调增区间．‎ ‎22．已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，且是其中一个焦点．‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点P（﹣1，0）的动直线l与中心在原点，半径为2的圆O交于A，B两点，C是椭圆上一点，且=0，当||取得最大值时，求弦AB的长度．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年重庆第二外国语学校高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．双曲线的一个焦点坐标为（　　）‎ A．（3，0） B．（0，3） C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得焦点位置以及c的值，进而可得其焦点坐标，分析选项即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，‎ 其焦点在y轴上，且c==3，‎ 则其焦点坐标为（0，±3），‎ 分析选项：B符合题意，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．原点到直线x+2y﹣5=0的距离为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】用点到直线的距离公式直接求解．‎ ‎【解答】解析：．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．已知直线l1：3x+4y+1=0与直线l2：4x﹣3y+2=0，则直线l1与直线l2的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．垂直 C．重合 D．无法确定 ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】求出直线的斜率，判断两条直线的位置关系．‎ ‎【解答】解：直线l1：3x+4y+1=0的斜率为：﹣，直线l2：4x﹣3y+2=0的斜率为：，‎ 显然有=﹣1，‎ 直线l1与直线l2的位置关系是垂直．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；‎ 根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；‎ 根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；‎ 根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．‎ ‎【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；‎ 若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；‎ 若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；‎ 若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；‎ 故选B ‎　‎ ‎5．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为4的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（　　）‎ A．16 B．4 C．8 D．8‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，结合正视图，不难得到侧视图，然后求出面积 ‎【解答】解：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，底面边长为4，侧棱长4，‎ 结合正视图，得到侧视图是矩形，长为4，宽为2‎ 面积为：4×2=8‎ 故选D ‎　‎ ‎6．设α、β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】直线与平面垂直的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．根据题意由判断定理得l⊥β⇒α⊥β．若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．由α⊥β，直线l⊂α得不到l⊥β，所以所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．‎ ‎【解答】解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．‎ 因为直线l⊂α，且l⊥β 所以由判断定理得α⊥β．‎ 所以直线l⊂α，且l⊥β⇒α⊥β 若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．‎ 所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．‎ 故答案为充分不必要．‎ ‎　‎ ‎7．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线的定义，求出A的坐标，再计算△AOF的面积．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．‎ ‎∵|AF|=3，‎ ‎∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3‎ ‎∴1+xA=3‎ ‎∴xA=2，‎ ‎∴yA=±2，‎ ‎∴△AOF的面积为=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2‎ ‎，求出a，b，即可求出双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，‎ 令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，‎ ‎∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，‎ ‎∴=2，‎ ‎∵c2=a2+b2，‎ ‎∴a2=5，b2=20，‎ ‎∴双曲线的方程为﹣=1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．已知x，y满足不等式组则目标函数z=3x+y的最大值为（　　）‎ A． B．12 C．8 D．24‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形OABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=4，y=0时，z=3x+y取得最大值为12．‎ ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，‎ 得到如图的四边形OABC及其内部，‎ 其中O（0，0），A（4，0），B（，），C（0，8）‎ 设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，‎ 当l经过点A时，目标函数z达到最大值 ‎∴z最大值=F（4，0）=12‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．圆（x+1）2+（y+2）2=8上与直线x+y+1=0的距离等于的点共有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】先确定圆的圆心坐标与半径，再求出圆心到直线x+y+1=0的距离，从而可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，圆心坐标为（﹣1，﹣2），半径为 ‎∴圆心到直线x+y+1=0的距离为 ‎∴圆（x+1）2+（y+2）2=8上与直线x+y+1=0相交，且圆（x+1）2+（y+2）2=8上与直线x+y+1=0的距离等于的点共有3个 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】空间点、线、面的位置．‎ ‎【分析】因为A1B1∥EF，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，由三角形面积可得所求距离．‎ ‎【解答】解：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，‎ 即是A1到D1E的距离，D1E=，由三角形面积可得所求距离为，‎ 故选：D ‎　‎ ‎12．已知双曲线﹣=1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，点A满足•=0，则点A到原点的最近距离为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设F'为双曲线的右焦点，M为PF的中点，则|PF|﹣|PF'|=2，|OM|=|PF'|，点A在以PF为直径的圆上，故当O，A，M共线时，可得OA取得最小值MA﹣OM．‎ ‎【解答】解：双曲线的左焦点为F（﹣2，0），右焦点为F′（2，0），‎ 连接PF′，PF，设PF的中点为M，‎ ‎∵•=0，‎ ‎∴点A在以PF为直径的圆M上，‎ ‎∴当AOM三点共线时，OA取得最小值，最小值为MA﹣OM．‎ 设圆M的半径为r，则PF=2r，MA=r．‎ ‎∵P在双曲线﹣=1上，‎ ‎∴PF﹣PF′=2，‎ ‎∴PF′=2r﹣2，‎ ‎∵OM是△PFF′的中位线，‎ ‎∴OM=PF′=r﹣，‎ ‎∴MA﹣OM=r﹣（r﹣）=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 一、填空题（每小题5分，满分20分）‎ ‎13．过原点且倾斜角为45°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】求出直线的方程为y=x，即x﹣y=0，化简圆方程得圆心为（0，2）且半径r=2．利用点到直线的距离公式算出圆心到直线的距离，结合垂径定理即可得出直线截圆所得弦长．‎ ‎【解答】解：∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率k=tan45°=1，‎ 结合直线过原点，得直线方程为y=x，即x﹣y=0‎ ‎∵圆x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，‎ 得圆心为（0，2），半径r=2，‎ ‎∴圆心到直线的距离d==，‎ ‎∴可得直线截圆得弦长为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知（1，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是　x+8y﹣17=0　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．代入相减可得： +=0，利用=1， =2，，即可得出k．‎ ‎【解答】解：设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎∴=1， =1，‎ 相减可得： +=0，‎ ‎∵=1， =2，，‎ ‎∴=0，‎ 解得k=﹣．‎ ‎∴直线l的方程为：y﹣2=﹣（x﹣1），‎ 化为：x+8y﹣17=0．‎ 故答案为：x+8y﹣17=0．‎ ‎　‎ ‎15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是　90°　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．‎ ‎【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，‎ 则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）‎ ‎•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，‎ 故答案为：90°．‎ ‎　‎ ‎16．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线左支上一点，且，则△PF1F2的面积是　24　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的a，b，c，由条件可得|PF1|，运用双曲线的定义，求得|PF2|，由勾股定理的逆定理可得△PF1F2为斜边为F1F2的直角三角形，由三角形的面积公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：双曲线的a=1，b=2，‎ 可得c==5，‎ 由，可得：‎ ‎|PF1|=×10=6，‎ 由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a=2，‎ 可得|PF2|=6+2=8，‎ 由|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2，‎ 可得△PF1F2为斜边为F1F2的直角三角形，‎ 可得△PF1F2的面积是|PF1|•|PF2|=×6×8=24．‎ 故答案为：24．‎ ‎　‎ 三、解答题（第17题满分70分，18-22满分70分）‎ ‎17．命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅；‎ 命题q：函数y=（2a2﹣a）x增函数．若p∨q是真命题p∧q是假命题．求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，由△＜0，解得a范围．命题q：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．可得2a2﹣a＞1，解得a范围．由p∨q是真命题p∧q是假命题．可得p与q必然是一真一假．‎ ‎【解答】解：命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，由△=（a﹣1）2﹣4a2＜0，解得或a＜﹣1．‎ 命题q：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．∴2a2﹣a＞1，解得a＞1或a．‎ ‎∵p∨q是真命题p∧q是假命题．∴p与q必然是一真一假．‎ ‎∴，或，‎ 解得或．‎ 实数a的取值范围是或．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，BC1∩B1C=E．求证：‎ ‎（Ⅰ）DE∥平面AA1C1C；‎ ‎（Ⅱ）BC1⊥AB1．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥AC，由此能证明DE∥平面AA1C1C．‎ ‎（2）推导出BC1⊥B1C，AC⊥CC1，AC⊥BC，从而AC⊥平面BCC1B1，进而AC⊥BC1，由此能证明BC1⊥AB1．‎ ‎【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1∩B1C=E，‎ ‎∴E是B1C的中点，‎ ‎∵AB1的中点为D，∴DE∥AC，‎ ‎∵AC⊂平面AA1C1C，DE⊄平面AA1C1C，‎ ‎∴DE∥平面AA1C1C．‎ ‎（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=CC1，‎ ‎∴BC1⊥B1C，AC⊥CC1，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，‎ ‎∴AC⊥平面BCC1B1，∴AC⊥BC1，‎ ‎∵AC∩B1C=C，∴BC1⊥平面ACB1，‎ ‎∴BC1⊥AB1．‎ ‎　‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB．‎ ‎（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知容易证PA⊥CE，CE⊥AD，由直线与平面垂直的判定定理可得 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知CE⊥AD，从而有四边形ABCE为矩形，且可得P到平面ABCD的距离PA=1，代入锥体体积公式可求 ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥CE，‎ 因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD 又PA∩AD=A，所以CE⊥平面PAD．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知CE⊥AD，‎ 在Rt△ECD中，DE=CDcos45°=1，CE=CDsin45°=1，又因为AB=CE=1，AB∥CE，‎ 所以四边形ABCE为矩形，‎ 所以 ‎=，‎ 又PA⊥平面ABCD，PA=1，‎ 所以 ‎　‎ ‎20．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，‎ ‎（Ⅰ）若直线l1过定点A（1，0），且与圆C相切，求l1的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x+‎ y﹣2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程．‎ ‎【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．‎ ‎【分析】（I）由直线l1过定点A（1，0），故可以设出直线的点斜式方程，然后根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k值即可，但要注意先讨论斜率不存在的情况，以免漏解．‎ ‎（II）圆D的半径为3，圆心在直线l2：x+y﹣2=0上，且与圆C外切，则设圆心D（a，2﹣a），进而根据两圆外切，则圆心距等于半径和，构造出关于a的方程，解方程即可得到答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）①若直线l1的斜率不存在，即直线是x=1，符合题意．‎ ‎②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．‎ 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，‎ 即 解之得．‎ 所求直线方程是x=1，3x﹣4y﹣3=0．‎ ‎（Ⅱ）依题意设D（a，2﹣a），又已知圆的圆心C（3，4），r=2，‎ 由两圆外切，可知CD=5‎ ‎∴可知=5，‎ 解得a=3，或a=﹣2，‎ ‎∴D（3，﹣1）或D（﹣2，4），‎ ‎∴所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2=9或（x+2）2+（y﹣4）2=9．‎ ‎　‎ ‎21．直线l1过点M（﹣1，0），与抛物线y2=4x交于P1、P2两点，P是线段P1P2‎ 的中点，直线l2过P和抛物线的焦点F，设直线l1的斜率为k．‎ ‎（1）将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f（k）；‎ ‎（2）求出f（k）的定义域及单调增区间．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）先设直线L1的方程是y=k（x+1），然后与抛物线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积，将直线L1与该抛物线有两个交点转化为△=（2k2﹣4）2﹣4k2•k2＞0且k≠0，进而可得到k的范围，设点P的坐标为（a，b），可以得到直线L1、直线L2的斜率，记f（k）=，再由a=，由此将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f（k）；‎ ‎（2）根据函数解析式，即可求出f（k）的定义域及单调增区间．‎ ‎【解答】解：（1）由已知条件可知，直线L1的方程是y=k（x+1）①‎ 把①代入抛物线方程y2=4x，‎ 整理后得到k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0②‎ 因此，直线L1与该抛物线有两个交点的充要条件是：（2k2﹣4）2﹣4k2•k2＞0③‎ 及k≠0．④‎ 解出③与④得到k∈（﹣1，0）∪（0，1）‎ 现设点P的坐标为（a，b），‎ 则直线L1的斜率k1=，而直线L2的斜率k2=，‎ ‎∴f（k）=‎ 今记L1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2，‎ 由韦达定理及②得x1+x2=（k∈（﹣1，0）∪（0，1））‎ ‎∴a=，由此得到f（k）=，k∈（﹣1，0）∪（0，1），‎ ‎（2）定义域k∈（﹣1，0）∪（0，1），1﹣k2在（﹣1，0）内递增，在（0，1）内递减，‎ 所以，f（k）=在（0，1）内为增函数，在（﹣1，0）内为减函数．‎ ‎　‎ ‎22．已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，且是其中一个焦点．‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点P（﹣1，0）的动直线l与中心在原点，半径为2的圆O交于A，B两点，C是椭圆上一点，且=0，当||取得最大值时，求弦AB的长度．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），由=，c=2，b2=a2﹣c2，解出即可得出．‎ ‎（2）设C（cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]）．可得|CP|==，利用二次函数的单调性可得最大值，由于对称性可取C．求出kCP，利用=0，可得kAB=﹣．可得直线AB的方程．圆的方程为：x2+y2=4．求出圆心（0，0）到直线AB的距离d，可得|AB|=2．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），‎ ‎∵=，c=2，b2=a2﹣c2，‎ 解得：c=2，a=3，b=1．‎ ‎∴该椭圆的标准方程是： +x2=1．‎ ‎（2）设C（cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]）．‎ 则|CP|==≤，当且仅当cos，sinθ=±时取等号．‎ 由于对称性可取C．‎ kCP==，‎ ‎∵=0，‎ ‎∴kAB=﹣．‎ ‎∴直线AB的方程为：y=﹣（x+1），即y+1=0．‎ 圆的方程为：x2+y2=4．‎ ‎∴圆心（0，0）到直线AB的距离d=，‎ ‎∴|AB|=2=．‎ ‎　‎ ‎2017年4月18日