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  • 2021-06-12 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版(理)8-3空间点、直线、平面之间的位置关系学案

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§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 考纲展示► 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 考点 1 平面的基本性质及应用 平面的基本性质 (1)公理 1:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线在此平面内. (2)公理 2:过________的三点,有且只有一个平面. (3)公理 3:如果两个不重合的平面有________公共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线. (4)公理 2 的三个推论 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面; 推论 2:经过两条________直线有且只有一个平面; 推论 3:经过两条________直线有且只有一个平面. 答案:(1)两点 (2)不在一条直线上 (3)一个 (4)相交 平行 (1)[教材习题改编]直线 a,b,c 两两平行,但不共面,经过其中两条直线的平面的个 数为( ) A.1 B.3 C.6 D.0 答案:B (2)[教材习题改编]两两相交的三条直线最多可确定________个平面. 答案:3 判断点共线、线共点问题:直接法(直接运用公理或定理). (1)如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC=1 2 AD,BE =1 2 FA,G,H 分别为 FA,FD 的中点. ①四边形 BCHG 的形状是________; ②点 C,D,E,F,G 中,能共面的四点是________. 答案:①平行四边形 ②C,D,E,F 解析:①∵G,H 分别为 FA,FD 的中点, ∴GH 綊 1 2 AD.又 BC 綊 1 2 AD,所以 GH 綊 BC, 所以四边形 BCHG 为平行四边形. ②由 BE=1 2 FA,G 为 FA 的中点知,BE=FG, 所以四边形 BEFG 为平行四边形,所以 EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,所以 EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,所以 C,D,E,F 四点共面. (2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC 与 BD 交于点 M,则 点 O 与直线 C1M 的关系是________. 答案:点 O 在直线 C1M 上 解析:如图所示,因为 A1C⊂平面 A1ACC1,O∈A1C,所以 O∈平面 A1ACC1,而 O 是平面 BDC1 与直线 A1C 的交点,所以 O∈平面 BDC1,所以点 O 在平面 BDC1 与平面 A1ACC1 的交线上.因为 AC∩BD =M,所以 M∈平面 BDC1.又 M∈平面 A1ACC1,所以平面 BDC1∩平面 A1ACC1=C1M,所以 O∈C1M. [典题 1] (1)以下四个命题中,正确命题的个数是( ) ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A,B,C,D 共面,点 A,B,C,E 共面,则 A,B,C,D,E 共面; ③若直线 a,b 共面,直线 a,c 共面,则直线 b,c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] B [解析] ①显然是正确的,可用反证法证明;②中若 A,B,C 三点共线,则 A,B,C,D,E 五点 不一定共面;③构造长方体如图,显然 b,c 异面,故不正确;④中空间四边形中四条线段不 共面.故只有①正确. (2)已知空间四边形 ABCD(如图所示), E,F 分别是 AB,AD 的中点,G,H 分别是 BC,CD 上的点,且 CG=1 3 BC,CH=1 3 DC. 求证:①E,F,G,H 四点共面; ②三直线 FH,EG,AC 共点. [证明] ①连接 EF,GH, ∵E,F 分别是 AB,AD 的中点, ∴EF∥BD. 又∵CG=1 3 BC,CH=1 3 DC, ∴GH∥BD,∴EF∥GH, ∴E,F,G,H 四点共面. ②易知 FH 与直线 AC 不平行,但共面, ∴设 FH∩AC=M, ∴M∈平面 EFHG,M∈平面 ABC. 又∵平面 EFHG∩平面 ABC=EG,∴M∈EG, ∴FH,EG,AC 共点. [点石成金] 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法:①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平 面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面, 再证两平面重合. (2)证明点共线问题的两种方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线 上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点. 考点 2 空间两直线的位置关系 (1)[教材习题改编]已知直线 a 与 b 平行,直线 c 与 b 相交,则直线 a 与 c 的位置关系是 ________. 答案:相交或异面 解析:当直线 c 在直线 a 与 b 确定的平面内时,a 与 c 相交;当直线 c 与直线 a,b 确定 的平面相交时,a 与 c 异面. (2)[教材习题改编]如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,PQ 是异面直线 A1D 与 AQ 的公垂线, 则直线 PQ 与 BD1 的位置关系为________.(填序号) ①平行;②异面;③相交但不垂直;④垂直. 答案:① 解析:∵A1D∥B1C,PQ⊥A1D,∴PQ⊥B1C. 又∵PQ⊥AC,∴PQ⊥平面 AB1C. ∵AC⊥BD,AC⊥DD1,∴AC⊥BD1, 同理 B1C⊥BD1,∴BD1⊥平面 AB1C, ∴PQ∥BD1. 两条直线关系判断误区:异面直线概念、理解不透. 下列关于异面直线的说法正确的是________. ①若 a⊂α,b⊂β,则 a 与 b 是异面直线; ②若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面; ③若 a,b 不同在平面α内,则 a 与 b 异面; ④若 a,b 不同在任何一个平面内,则 a 与 b 异面. 答案:④ 解析:①②③中的两直线可能平行、相交或异面,由异面直线的定义可知④正确. [考情聚焦] 空间两条直线位置关系的判断是每年高考常考内容,并且常作为某一选项 来考查,其中异面直线及平行关系是考查的重点. 主要有以下几个命题角度: 角度一 两直线位置关系的判定 [典题 2] (1)已知 a,b,c 为三条不重合的直线,已知下列结论: ①若 a⊥b,a⊥c,则 b∥c; ②若 a⊥b,a⊥c,则 b⊥c; ③若 a∥b,b⊥c,则 a⊥c. 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] B [解析] 解法一:在空间中,若 a⊥b,a⊥c,则 b,c 可能平行,也可能相交,还可能异 面,所以①②错误,③显然成立. 解法二:构造长方体或正方体模型可快速判断,①②错误,③正确. (2) [2017·浙江余姚模拟]如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中 点,则下列说法错误的是( ) A.MN 与 CC1 垂直 B.MN 与 AC 垂直 C.MN 与 BD 平行 D.MN 与 A1B1 平行 [答案] D [解析] 如图,连接 C1D,在△C1DB 中,MN∥BD,故 C 正确; ∵CC1⊥平面 ABCD,BD⊂平面 ABCD, ∴CC1⊥BD, ∴MN 与 CC1 垂直,故 A 正确; ∵AC⊥BD,MN∥BD, ∴MN 与 AC 垂直,故 B 正确; ∵A1B1 与 BD 异面,MN∥BD, ∴MN 与 A1B1 不可能平行,故 D 错误.故选 D. [点石成金] 点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型,以正方体为主线直观感 知并认识空间点、线、面的位置关系,准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、 面面平行、面面垂直. 角度二 异面直线的判定 [典题 3] (1)在下图中,G,N,M,H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直 线 GH,MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号) ① ② ③ ④ [答案] ②④ [解析] 图①中,直线 GH∥MN;图②中,G,H,N 三点共面,但 M∉ 平面 GHN,因此直线 GH 与 MN 异面;图③中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面;图④中,G,M,N 共面,但 H ∉ 平面 GMN,因此 GH 与 MN 异面.所以在图②④中,GH 与 MN 异面. (2)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段 AB,CD,EF,GH 在原正方体中 互为异面的对数为________对. [答案] 3 [解析] 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则 AB,CD,EF 和 GH 在原正 方体中,显然 AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH 都是异面直线,而 AB 与 EF 相交,CD 与 GH 相交, CD 与 EF 平行.故互为异面的直线有且只有 3 对. [点石成金] 异面直线的判定常用的是反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条 直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条 直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到. 考点 3 异面直线所成角 [典题 4] 如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB =2,则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为( ) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 [答案] D [解析] 连接 BC1,易证 BC1∥AD1, 则∠A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角. 连接 A1C1,由 AB=1 知, AA1=2,A1C1= 2,A1B=BC1= 5, 故 cos∠A1BC1= 5+5-2 2× 5× 5 =4 5 . 则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为4 5 . [题点发散 1] 将题干条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若平面 ABCD 内有且仅有一点 到顶点 A1 的距离为 1”,问题不变. 解:因平面 ABCD 内有且仅有一点到 A1 的距离为 1,则 AA1=1. 此时正四棱柱变为正方体 ABCD-A1B1C1D1, 由图知 A1B 与 AD1 所成角为∠A1BC1,连接 A1C1. 则△A1BC1 为等边三边形, ∴∠A1BC1=60°, ∴cos∠A1BC1=1 2 , 故异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为1 2 . [题点发散 2] 将题干条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若异面直线 A1B 与 AD1 所成角的 余弦值为 9 10 ”,试求AA1 AB 的值. 解:设AA1 AB =t,则 AA1=tAB. ∵AB=1,∴AA1=t. ∵A1C1= 2,A1B= t2+1=BC1, ∴cos∠A1BC1= t2+1+t2+1-2 2× t2+1× t2+1 = 9 10 , ∴t=3,即AA1 AB =3. [题点发散 3] 将题干条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,且平面 ABCD 内有且仅有一点 到顶点 A1 的距离为 1”,则是否存在过顶点 A 的直线 l,使 l 与棱 AB,AD,AA1 所成角都相等.若 存在,存在几条?若不存在,请说明理由. 解:由条件知,此时正四棱柱为正方体. 如图,连接对角线 AC1, 显然 AC1 与棱 AB,AD,AA1 所成角都相等,联想正方体的其他体对角线. 如连接 BD1,则 BD1 与棱 BC,BA,BB1 所成的角都相等,因为 BB1∥AA1,BC∥AD, 所以体对角线 BD1 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都相等. 同理体对角线 A1C,DB1 也与棱 AB,AD,AA1 所成角都相等,故过 A 作 BD1,A1C,DB1 的平行 线都满足,故这样的直线可以作 4 条. [点石成金] 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作:即据定义作平行线,作出异面直线所成的角; (2)二证:即证明作出的角是异面直线所成的角; (3)三求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角; 如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角. 已知三棱锥 A-BCD 中,AB=CD,且直线 AB 与 CD 所成的角为 60°,点 M,N 分别是 BC, AD 的中点,求直线 AB 和 MN 所成的角的大小. 解:解法一:如图,取 AC 的中点 P,连接 PM,PN, 则 PM∥AB,且 PM=1 2 AB,PN∥CD,且 PN=1 2 CD, 所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角. 则∠MPN=60°或∠MPN=120°. 若∠MPN=60°, 因为 PM∥AB, 所以∠PMN(或其补角)是 AB 与 MN 所成的角. 又因为 AB=CD,所以 PM=PN, 则△PMN 是等边三角形, 所以∠PMN=60°, 即 AB 与 MN 所成的角为 60°. 若∠MPN=120°, 则易知△PMN 是等腰三角形. 所以∠PMN=30°, 即 AB 与 MN 所成的角为 30°. 综上知,直线 AB 和 MN 所成的角为 60°或 30°. 解法二:由 AB=CD,可以把该三棱锥放在长方体 AA1BB1-C1CD1D 中进行考虑,如图, 由 M,N 分别是 BC,AD 的中点,所以 MN∥AA1, 即∠BAA1(或其补角)为 AB 与 MN 所成的角. 连接 A1B1 交 AB 于 O,所以 A1B1∥CD, 即∠AOA1(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角. 所以∠AOA1=60°或 120°. 由矩形 AA1BB1 的性质可得∠BAA1=60°或 30°. 所以直线 AB 和 MN 所成的角为 60°或 30°. [方法技巧] 1.要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再 证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”). 2.要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公 共点,根据公理 3 可知这些点在交线上,因此共线. 3.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直 线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 4.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共 面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关. [易错防范] 1.异面直线是“不同在任何一个平面内”的直线,不要理解成“不在同一 个平面内”. 2.不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不共线”条件. 3.两条异面直线所成角的范围是 0,π 2 . 4.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等 于两异面直线所成的角,也可能等于其补角. 真题演练集训 1.[2016·新课标全国卷Ⅰ]平面α过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,α∥平面 CB1D1, α∩平面 ABCD=m,α∩平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( ) A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D.1 3 答案:A 解析:因为过点 A 的平面α与平面 CB1D1 平行,平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,所以 m∥B1D1∥ BD,又 A1B∥平面 CB1D1,所以 n∥A1B,则 BD 与 A1B 所成的角为所求角,所以 m,n 所成角的正 弦值为 3 2 ,故选 A. 2.[2015·安徽卷]已知 m,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正 确的是( ) A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 答案:D 解析:可以结合图形逐项判断. A 项,α,β可能相交,故错误; B 项,直线 m,n 的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误; C 项,若 m⊂α,α∩β=n,m∥n,则 m∥β,故错误; D 项,假设 m,n 垂直于同一平面,则必有 m∥n,所以原命题正确,故选 D. 3.[2014·辽宁卷]已知 m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n⊂α,则 m⊥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α 答案:B 解析:解法一:若 m∥α,n∥α,则 m,n 可能平行、相交或异面,A 错;若 m⊥α,n ⊂α,则 m⊥n,因为直线与平面垂直时,它垂直于平面内任一直线,B 正确;若 m⊥α,m⊥n, 则 n∥a 或 n⊂α,C 错;若 m∥α,m⊥n,则 n 与α可能相交,可能平行,也可能 n⊂α,D 错. 解法二:如图,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,用平面 ABCD 表示α. A 项中,若 m 为 A′B′,n 为 B′C′,满足 m∥α,n∥α,但 m 与 n 是相交直线,故 A 错.B 项中,m⊥α,n⊂α,∴m⊥n,这是线面垂直的性质,故 B 正确.C 项中,若 m 为 AA′, n 为 AB,满足 m⊥α,m⊥n,但 n⊂α,故 C 错.D 项中,若 m 为 A′B′,n 为 B′C′,满足 m∥α,m⊥n,但 n∥α,故 D 错. 4. [2015·浙江卷]如图,在三棱锥 A-BCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点 M, N 分别为 AD,BC 的中点,则异面直线 AN,CM 所成的角的余弦值是________. 答案:7 8 解析:如图所示,连接 DN,取线段 DN 的中点 K,连接 MK,CK. ∵ M 为 AD 的中点, ∴ MK∥AN, ∴ ∠KMC 即为异面直线 AN,CM 所成的角. ∵ AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N 为 BC 的中点, 由勾股定理易求得 AN=DN=CM=2 2, ∴ MK= 2. 在 Rt△CKN 中,CK= 2 2+12= 3. 在△CKM 中,由余弦定理,得 cos∠KMC= 2 2+ 2 2 2- 3 2 2× 2×2 2 =7 8 . 课外拓展阅读 构造平面研究直线相交问题 [典例 1] 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在空间中与三 条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线有________条. [思路分析] [解析] 解法一:如图所示,在 EF 上任意取一点 M,直线 A1D1 与 M 确定一个平面,这个 平面与 CD 有且仅有一个交点 N,当 M 取不同的位置时就确定不同的平面,从而与 CD 有不同的 交点 N,而直线 MN 与这三条异面直线都有交点,所以在空间中与这三条直线都相交的直线有 无数条. 解法二:在 A1D1 上任取一点 P,过点 P 与直线 EF 作一个平面α,因为 CD 与平面α不平行, 所以它们相交, 设它们交于点 Q,连接 PQ,则 PQ 与 EF 必然相交,即 PQ 为所求直线. 由点 P 的任意性知,有无数条直线与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交. [答案] 无数 温馨提示 1.本题难度不大,但比较灵活.对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难 度一般都不会太大. 2.注意本题解法较多,但关键在于构造平面,但不少学生不会构造平面,因此失分较多.

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