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- 2021-06-12 发布
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辽阳市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. (2-i)2-(1+3i)=( )
A. 2-7i B. 2+i C. 4-7i D. 4+i
【答案】A
【解析】解：(2-i)2-(1+3i)=3-4i-(1+3i)=2-7i．
故选：A．
直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2. 设集合A={x∈Z|x>4}，B={x|x2<100}，则A∩B的元素个数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】解：∵集合A={x∈Z|x>4}，
B={x|x2<100}={x|-100,ω>0)与g(x)=A2cosωx的部分图象如图所示，则( )
A. A=1，ω=3π
B. A=2，ω=π3
C. A=1，ω=π3
D. A=2，ω=3π
【答案】B
【解析】解：由图象可知，12A=1，T4=1.5，
∴A=2，T=6，
又6=T=2πω，
∴ω=13π，
故选：B．
结合图象可知，12A=1，T4=1.5，然后再由周期公式即可求解ω
本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题．
1. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，c=9，sinAsinC=sin2B，则cosB=( )
A. 6572 B. 3136 C. 78 D. 6172
【答案】D
【解析】解：∵a=4，c=9，sinAsinC=sin2B，
∴b2=ac=36，
∴cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac=6172．
故选：D．
由已知利用正弦定理可求b2=ac=36，根据余弦定理可求cosB的值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
2. 已知f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)=x+1x，则f(x)的值域为( )
A. (-∞,-2]∪[2,+∞) B. [-2,2]
C. (-∞,-1]∪[1,+∞) D. [2,+∞)
【答案】A
【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=x+1x，则f(x)=x+1x≥2×x×1x=2，
又由函数f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，则当x<0时，有f(x)≤-2，
则函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)；
故选：A．
根据题意，由函数在x>0时的解析式，结合基本不等式的性质分析可得f(x)≥2，结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用、函数的值域计算，涉及基本不等式的应用，属于基础题．
3. 正三棱锥A-PBC的侧棱两两垂直，D，E分别为棱PA，BC的中点，则异面直线PC与DE所成角的余弦值为( )
A. 36 B. 56 C. 33 D. 63
【答案】D
【解析】解：如图，
设AB=2，以A为坐标原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P(0,0，2)，D(0,0，1)，C(0,2，0)，E(1,1，0)，
DE=(1,1,-1)，PC=(0,2,-2)，
则cos=DE⋅PC|DE|⋅|PC|=2+23×22=63．
∴异面直线PC与DE所成角的余弦值为63．
故选：D．
设AB=2，以A为坐标原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出DE,PC的坐标，由数量积求夹角公式可得异面直线PC与DE所成角的余弦值．
本题考查异面直线及其所成角，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．
1. (1+x2-2x)(1+x)5展开式中x2的系数为( )
A. 1 B. -9 C. 31 D. -19
【答案】B
【解析】解：(1+x)5展开中第r+1项为Tr+1=∁5rxr，其x2的系数，常数项，x3的系数分别为∁52，∁50，∁53，
故(1+x2-2x)(1+x)5展开式中x2的系数为∁52+∁50-2∁53=-9，
故选：B．
利用通项公式可得：(1+x)5展开中第r+1项为Tr+1=∁5rxr，其x2的系数，常数项，x3的系数分别为∁52，∁50，∁53，进而得出答案．
本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2. 设a=log30.4，b=log23，则( )
A. ab>0且a+b>0 B. ab<0且a+b>0
C. ab>0且a+b<0 D. ab<0且a+b<0
【答案】B
【解析】解：∵13<0.4<1；
∴-11；
即-11；
∴ab<0，a+b>0．
故选：B．
容易得出-11，即得出-11，从而得出ab<0，a+b>0．
考查对数函数的单调性，以及增函数的定义．
1. 一批排球中正品有m个，次品有n个，m+n=10(m>≥n)，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数若DX=2.1，从这批排球中随机取两个，则至少有一个正品的概率p=( )
A. 4445 B. 1415 C. 79 D. 1315
【答案】B
【解析】解：由题意知，随机变量X～(10,n10)，
则方差DX=10×n10×(1-n10)=2.1，
又m≥n，则n≤5，
∴解得n=3，
∴所求的概率为p=1-C32C102=1415．
故选：B．
由题意知随机变量X～(10,n10)，根据方差DX求得n的值，再计算所求的概率值．
本题考查了离散型随机变量的方差计算问题，是基础题．
2. 已知函数f(x)=3x+18,x<-3-x2(x+2),-3≤x<0-3x+3,x≥0，在[m,n]上的值域为[-3227,9]，若n-m的最小值与最大值分别为l1，l2，则l2l1=( )
A. 731162 B. 631162 C. 731135 D. 631135
【答案】D
【解析】解：函数f(x)=3x+18,x<-3-x2(x+2),-3≤x<0-3x+3,x≥0，当-3≤x<0时，f(x)=-x2(x+2)，
f'(x)=-3x2-4x，令
f'(x)=0，可得x=-43，
当x=-43时，f(x)取得极小值为：-3227.又f(-3)=9，可得f(x)的图象如图：
由3x+18=-3227，可得x=-6-3281；
由-3x+3=-3227，可得x=1+3281.故l1=-43+3=53；
l2=1+3281-(-6-3281)=63181．
则l2l1=631135．
故选：D．
利用分段函数，求出函数的导数，得到函数的极值，利用数形结合转化求解即可．
本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，数形结合的应用，考查计算能力．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
1. 已知向量a，b的夹角为120∘，且|a|=1，|b|=4，则a⋅b=______．
【答案】-2
【解析】解：由向量的数量积公式得：
a⋅b=|a||b|cos120∘=1×4×(-12)=-2，
故答案为：-2
由向量的数量积公式：a⋅b=|a||b|cosθ运算即可．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属简单题．
2. 若tanα=-3，则tan(2α+π4)=______．
【答案】7
【解析】解：∵tanα=-3，
∴tan2α=2tanα1-tan2α=-3×21-(-3)2=34，
∴tan(2α+π4)=tan2α+11-tan2α=34+11-34=7．
故答案为：7．
由已知利用倍角公式求出tan2α，再由两角和的正切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正切，是基础题．
3. 若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点P，使得|PF1|=8|PF2|，其中F1，F2分别是C的左、右焦点，则C的离心率的取值范围为______．
【答案】[79,1)
【解析】解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点P，使得|PF1|=8|PF2|，其中F1，F2分别是C的左、右焦点，
∴|PF1|+|PF2|=2a，
可得：|PF2|=2a9≥a-c，
解得ca≥79．
所以椭圆的离心率为：[79,1)．
故答案为：[79,1)．
利用已知条件，通过椭圆的定义，列出不等式求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
1. 设O1为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上.若两个底面的面积之和为8π，O1A与底面所成角为60∘，则球O的表面积为________．
【答案】28π
【解析】解：如图，
设该圆柱底面半径为r，高为h，则2πr2=8π，
hr=tan60∘=3，解得r=2，h=23，
则球O的半径R=r2+(h2)2=7，
故球O的表面积为4πR2=28π．
故答案为：28π．
由题意画出图形，设该圆柱底面半径为r，高为h，由圆柱的底面积求得圆柱底面半径，再由O1A与底面所成角为60∘求得圆柱的高，进一步求出球的半径得答案．
本题考查球内接旋转体及其表面积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
三、解答题（本大题共7小题）
2. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=81，a2+a3=8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若S3，a14，Sm成等比数列，求S2m．
【答案】解：(1)∵Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=81，a2+a3=8．
∴a2+a3=2a1+3d=8S9=9a5=9(a1+4d)=81，
解得a1=1，d=2，
∴an=1+(n+1)×2=2n-1．
(2)由(1)知，Sn=n(1+2n-1)2=n2．
∵S3，a14，Sn成等比数列，∴S3Sm=a142，
即9m2=272，解得m=9，
∴S2m=182=324．
【解析】(1)由等差数列{an}的前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的通项公式．
(2)推导出Sn=n(1+2n-1)2=n2.由S3，a14，Sn成等比数列，得9m2=272，从而求出m=9，由此能求出S2m．
本题考查等差数列的通项公式、前n项和的求法及应用，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
1. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AC=BC，且BC⊥AC．
(1)证明：平面PBC⊥平面PAC；
(2)设棱AB，BC的中点分别为E，D，求平面PAC与平面PDE所成锐二面角的余弦值．
【答案】证明：(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．
解：(2)以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
令AC=2，则P(0,2，2)，D(1,0，0)，E(1,1，0)，
则DE=(0,1，0)，PE=(1,-1,-2)，
设平面PDE的法向量为n=(x,y，z)，
则n⋅DE=y=0n⋅PE=x-y-2z=0，取x=2，得n=(2,0，1)，
平面PAC的一个法向量m=(1,0，0)，
则cos=25×1=255．
∴平面PAC与平面PDE所成锐二面角的余弦值为255．
【解析】(1)推导出PA⊥BC，BC⊥AC，从而BC⊥平面PAC，由此能证明平面PBC⊥平面PAC．
(2)以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAC与平面PDE所成锐二面角的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
1. 在直角坐标系xOy中直线y=x+4与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB．
(1)求C的方程；
(2)若D为直线y=x+4外一点，且△ABD的外心M在C上，求M的坐标．
【答案】解：(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立y=x+4x2=2py，可得x2-2px-8p=0，
则x1+x2=2p，x1x2=-8p，
从而y1y2=(x1+4)(x2+4)=x1x2+4(x1+x2)+16=-8p+8p+16=16，
∵OA⊥OB，
∴OA⊥OB=x1x2+y1y2=-8p+16=0，解得p=2，
故C的方程为x2=4y，
(2)设线段AB的中点N(x0,y0)，
由(1)可知x0=12(x1+x2)=2，y0=x0+4=6，
则线段AB的中垂线方程为y-6=-(x-2)，即y=-x+8，
联立y=-x+8x2=4y，解得y=16x=-8或y=4x=4，
M的坐标为(4,4)或(-8,16)．
【解析】(1)联立方程组，根据韦达定理和向量的数量积即可求出，
(2)先求出线段AB的中垂线方程为y=-x+8，再联立方程组，解得即可．
本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档题
2. 某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：
每月完成合格产品的件数(单位：百件)
[26,28)
[28,30)
[30,32)
[32,34)
[34,36]
频数
10
45
35
6
4
男员工人数
7
23
18
1
1
(1)其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？
非“生产能手”
“生产能手”
合计
男员工
女员工
合计
(2)为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出(0,200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200,400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元，将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，没实得计件工资(实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资)不少于3100元的人数为Z，求Z的分布列和数学期望．
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
P(K2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】解：(1)列联表：
非“生产能手”
“生产能手”
合计
男员工
48
2
50
女员工
42
8
50
合计
90
10
100
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(48×8-42×2)250×50×90×10=4>3.841．
∴有95%的把握认为“生产能手”与性别有关．
(2)当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为2600×1+200×1.2+200×1.3=3100元．
从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率p1=25，女员工实得计件工资不少于3100元的概率p1=12．
在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，实得计件工资不少于3100元的人数为Z=0，1，2，3，
P(Z=0)=(1-12)2×(1-25)=320，P(Z=1)=C21×12×(1-12)×(1-25)+(1-12)2×25=820．
P(Z=2)=(12)2×(1-25)+C21×12×(1-12)×25=720，
P(Z=3)=220．
∴Z的分布列：
Z
0
1
2
3
P
320
820
720
220
E(Z)=0×320+1×820+2×720+3×220=75
【解析】(1)求得K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(48×8-42×2)250×50×90×10=4>3.841.即可判定有95%的把握认为“生产能手”与性别有关．
(2)可计算得当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为3100元.从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率p1=25，女员工实得计件工资不少于3100元的概率p1=12.可得Z=0，1，2，3，计算相应的概率即可．
本题考查了概率计算，随机变量的分布列、期望值，独立性检验，属于中档题．
1. 已知函数f(x)=12x2-(a+1)x+alnx．
(1)当a>1时，求f(x)的单调递增区间；
(2)证明：当-120)，
当a>1时，由f'(x)>0，解得：0a，
故f(x)在(0,1)，(a,+∞)递增；
(2)证明：当-120，且f(2)=a(-2+ln2)>0
(或x→0，f(x)→+∞，f(x)→+∞)，
故f(x)有2个零点；
(3)证明：g(x)=12x-a-1+alnxx，
g'(x)=x2+2a(1-lnx)2x2，
设h(x)=x2+2a(1-lnx)，
∵a<-12，
故h(x)在(0,+∞)递增，
又h(1)=1+2a<0，h(e)=e2>0，
故∃t∈(1,e)，
h(t)=0，
当0t时，g'(x)>0，
故x0=t且x02+2a=2alnx0，
f(x0)=12x02-(a+1)x0+12x02+a(x0-1)(x0-a)，
∵a<-12，x0∈(1,e)，
故05+52时，d=|2a-5|5>1，l和C相离．
【解析】(1)由直线l的参数方程能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的参数方程能求出曲线C的直角坐标方程．
(2)曲线C是以(a,2)为圆心，1为半径的圆，圆心C(a,2)到直线l的距离d=|2a-5|5，由此利用分类讨论思想能判断l和C的位置关系．
本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线与圆的位置关系的判断，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
1. 设函数f(x)=|x-a|+|x-4|．
(1)当a=1时，求不等式f(x)<7的解集；
(2)若∃x0∈R，f(x0)<|a+3|，求a的取值范围．
【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=5-2x,x≤13,112，
故a的取值范围为(12,+∞)．
【解析】(1)求出a的值，求出f(x)的分段函数的形式，求出不等式的解集即可；
(2)求出f(x)的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．
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