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  • 2021-06-12 发布

专题6-4+数列求和(测)-2018年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)

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一、填空题 1.(2017·皖西七校联考)在数列{an}中,an=2n-1 2n ,若{an}的前 n 项和 Sn=321 64 ,则 n=______ 【解析】由 an=2n-1 2n =1-1 2n得 Sn=n-1 2 +1 22+…+1 2n=n- 1-1 2n ,则 Sn=321 64 =n- 1-1 2n , 将各选项中的值代入验证得 n=6. 2.已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,且 a3,a4+5 2 ,a11 成等比数列.若 p-q=10, 则 ap-aq=______ 3.在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么 S100 的值为______ 【解析】当 n 为奇数时,an+2-an=0,所以 an=1,当 n 为偶数时,an+2-an=2,所以 an=n, 故 an= 1 n 为奇数 , n n 为偶数 , 于是 S100=50+ 2+100 ×50 2 =2 600. 4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,当 n≥2 时,an+2Sn-1=n,则 S2 017 的值为______ 【解析】因为 an+2Sn-1=n,n≥2,所以 an+1+2Sn=n+1,n≥1,两式相减得 an+1+an=1,n≥2. 又 a1=1,所以 S2 017=a1+(a2+a3)+…+(a2 016+a2 017)=1 009 5.已知数列{an}满足 an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且 a5=π 2 ,若函数 f (x)=sin 2x+2cos2x 2 , 记 yn=f(an),则数列{yn}的前 9 项和为______ 【解析】由已知可得,数列{an}为等差数列,f(x)=sin 2x+cos x+1,∴f π 2 =1.∵f(π -x)=sin(2π-2x)+cos(π-x)+1=-sin 2x-cos x+1,∴f(π-x)+f(x)=2.∵a1+ a9=a2+a8=…=2a5=π,∴f(a1)+…+f(a9)=2×4+1=9,即数列{yn}的前 9 项和为 9. 6.设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,S1,S2,S4 成等比数列,且 a3=-5 2 ,则数 列 1 2n+1 an 的前 n 项和 Tn=______ 【解析】设{an}的公差为 d,因为 S1=a1,S2=2a1+d=2a1+a3-a1 2 =3 2 a1-5 4 ,S4=3a3+a1=a1 -15 2 ,S1, S2,S4 成等比数列,所以 3 2 a1-5 4 2= a1-15 2 a1,整理得 4a2 1+12a1+5=0,所以 a1 =-5 2 或 a1=-1 2 .当 a1=-5 2 时,公差 d=0 不符合题意,舍去;当 a1=-1 2 时,公差 d=a3-a1 2 = - 1 , 所 以 an = - 1 2 + (n - 1)×( - 1) = - n + 1 2 = - 1 2 (2n -1) , 所 以 1 2n+1 an = - 2 2n-1 2n+1 =- 1 2n-1 - 1 2n+1 ,所以其前 n 项和 Tn=-1-1 3 +1 3 -1 5 +…+ 1 2n-1 - 1 2n+1 =- 1- 1 2n+1 =- 2n 2n+1 7.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则 a1=________,S5=________. 8.已知数列{an}满足 an+1=1 2 + an-a2 n,且 a1=1 2 ,则该数列的前 2 016 项的和等于________. 【解析】因为 a1 =1 2 ,又 an + 1 =1 2 + an-a2 n ,所以 a2 =1,从而 a3 =1 2 ,a4 =1,即得 an = 1 2 ,n=2k-1 k∈N* , 1,n=2k k∈N* , 故数列的前 2 016 项的和等于 S2 016=1 008× 1+1 2 =1 512. 9.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差数列” 的通项公式为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 【解析】∵an+1-an=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+…+22+2+2=2-2n 1-2 +2=2n-2+2=2n. ∴Sn=2-2n+1 1-2 =2n+1-2. 10.(2017·福建泉州五中模拟)已知 lg x+lg y=1,且 Sn=lg xn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+… +lg(xyn-1)+lg yn,则 Sn=________. 【解析】因为 lg x+lg y=1, 所以 lg(xy)=1. 因为 Sn=lg xn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lg(xyn-1)+lg yn, 所以 Sn=lg yn+lg(xyn-1)+…+lg(xn-2y2)+lg(xn-1y)+lg xn, 两式相加得 2Sn=(lg xn+lg yn)+[lg(xn-1y)+lg(xyn-1)]+…+(lg yn+lg xn)=lg(xn·yn) +lg(xn-1y·xyn-1)+…+lg(yn·xn)=n[lg(xy)+lg(xy)+…+lg(xy)]=n2lg(xy)=n2,所以 Sn=n2 2 . 二、解答题 11.数列{an}满足 a1=1,an+1=2an(n∈N*),Sn 为其前 n 项和.数列{bn}为等差数列,且满足 b1=a1,b4=S3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn= 1 bn·log2a2n+2 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,证明:1 3 ≤Tn<1 2 . 当 n≥2 时,Tn-Tn-1= n 2n+1 - n-1 2n-1 = 1 2n+1 2n-1 >0, ∴数列{Tn}是一个递增数列,∴Tn≥T1=1 3 . 综上所述,1 3 ≤Tn<1 2 . 12.已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f′(x)=6x-2,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 3 anan+1 ,试求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

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