数学卷·2018届青海省海东地区平安一中高二上学期期中数学试卷 （解析版） 12页

‎2016-2017学年青海省海东地区平安一中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、单项选择（每题5分，共60分）‎ ‎1．直线x﹣y+3=0的倾斜角是（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎2．抛物线y2=4x的焦点坐标为（　　）‎ A．（0，1） B．（1，0） C．（0，） D．（，0）‎ ‎3．椭圆+=1的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．双曲线=1的渐近线方程是（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎5．一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（　　）‎ A．3 B． C．2 D．6‎ ‎6．圆（x﹣1）2+y2=1和圆x2+y2+2x+4y﹣4=0的位置关系为（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 ‎7．等轴双曲线的离心率是（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎8．椭圆的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是（　　）‎ A．20 B．12 C．10 D．6‎ ‎9．直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（　　）‎ A． B． C． D．﹣2，﹣3‎ ‎10．直线x=1的倾斜角和斜率分别是（　　）‎ A．90°，不存在 B．45°，1 C．135°，﹣1 D．180°，不存在 ‎11．双曲线与椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．平面内有两个定点F1（﹣5，0）和F2（5，0），动点P满足条件|PF1|﹣|PF2|=6，则动点P的轨迹方程是（　　）‎ A．﹣=1（x≤﹣4） B．﹣=1（x≤﹣3）‎ C．﹣=1（x＞≥4） D．﹣=1（x≥3）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0间的距离是　　．‎ ‎14．点（﹣1，2）到直线y=x﹣1的距离是　　．‎ ‎15．抛物线x=4y2的准线方程是　　．‎ ‎16．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分70分）‎ ‎17．求下列各曲线的标准方程．‎ ‎（1）实轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎（2）圆心为点C（8，﹣3），且过点A（5，1）求圆的标准方程；‎ ‎（3）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣，求抛物线的标准方程；‎ ‎（4）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，﹣），（，），求双曲线的标准方程．‎ ‎18．如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．‎ ‎19．过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为，求直线l方程．‎ ‎20．求与椭圆=1相交于A､B两点，并且线段AB的中点为M（1，1）的直线方程．‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．‎ ‎（1）写出C的方程；‎ ‎（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年青海省海东地区平安一中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、单项选择（每题5分，共60分）‎ ‎1．直线x﹣y+3=0的倾斜角是（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【分析】将直线化成斜截式，得到y=x+3．因此直线的斜率k=1，根据斜率与倾斜角的关系和直线的倾斜角的取值范围，可得直线倾斜角为45°．‎ ‎【解答】解：化直线x﹣y+3=0为斜截式，得y=x+3‎ 设直线的斜率角为α，得直线的斜率k=tanα=1‎ ‎∵α∈（0，π），∴α=，‎ 即直线的斜率角是45°‎ 故选：B ‎　‎ ‎2．抛物线y2=4x的焦点坐标为（　　）‎ A．（0，1） B．（1，0） C．（0，） D．（，0）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2，‎ ‎∴焦点坐标为：（1，0）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．椭圆+=1的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先根据椭圆的标准方程得出：长轴长，短轴长，进而根据椭圆a，b，c的关系a2=b2+c2可表示出c，再由e=得到答案 ‎【解答】解：∵椭圆+=1，‎ ‎∴a=5，b=4‎ ‎∴c=3‎ ‎∴e==‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．双曲线=1的渐近线方程是（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的渐近线方程的求法，直接求解即可．‎ ‎【解答】解：双曲线的渐近线方程是，即．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（　　）‎ A．3 B． C．2 D．6‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的半焦距为2，离心率e=，可得c=2，a=3，求出b，从而求出答案．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，‎ ‎∴c=2，a=3，‎ ‎∴b=‎ ‎∴2b=2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．圆（x﹣1）2+y2=1和圆x2+y2+2x+4y﹣4=0的位置关系为（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆与圆的位置关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2+2x+4y﹣4=0的标准方程为（x+1）2+（y+2）2=9，‎ 则圆心为A（﹣1，﹣2）．半径r=3，‎ 则圆（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标为B（1，0），半径R=1，‎ 则AB==，‎ 则3﹣1＜AB＜3+1，‎ 即两圆相交，‎ 故选：A ‎　‎ ‎7．等轴双曲线的离心率是（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】不妨设等轴双曲线的方程为：﹣=1，从而可求得其离心率．‎ ‎【解答】解：设等轴双曲线的方程为：﹣=1，‎ 则c=a，‎ ‎∴其离心率e==．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．椭圆的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是（　　）‎ A．20 B．12 C．10 D．6‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据椭圆的标准方程，求出a的值，由△ABF2的周长是 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a 求出结果．‎ ‎【解答】解：椭圆，‎ ‎∴a=5，b=3．‎ ‎△ABF2的周长是 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=20，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（　　）‎ A． B． C． D．﹣2，﹣3‎ ‎【考点】直线的截距式方程．‎ ‎【分析】可化直线的方程为截距式， =1，进而可得直线在x轴和y轴上的截距．‎ ‎【解答】解：由x+6y+2=0可得x+6y=﹣2，两边同除以﹣2‎ 可化直线x+6y+2=0为截距式，即=1，‎ 故可得直线在x轴和y轴上的截距分别是：﹣2，，‎ 故选B ‎　‎ ‎10．直线x=1的倾斜角和斜率分别是（　　）‎ A．90°，不存在 B．45°，1 C．135°，﹣1 D．180°，不存在 ‎【考点】直线的斜率；直线的倾斜角．‎ ‎【分析】利用直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，选出答案．‎ ‎【解答】解：∵直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，而斜率不存在，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．双曲线与椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】求出椭圆的焦点坐标；据双曲线的系数满足c2=a2+b2；双曲线的渐近线的方程与系数的系数的关系列出方程组，求出a，b；写出双曲线方程．‎ ‎【解答】解：椭圆方程为：，‎ 其焦点坐标为（±2，0）‎ 设双曲线的方程为 ‎∵椭圆与双曲线共同的焦点 ‎∴a2+b2=4①‎ ‎∵一条渐近线方程是，‎ ‎∴②‎ 解①②组成的方程组得a=1，b=‎ 所以双曲线方程为．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．平面内有两个定点F1（﹣5，0）和F2（5，0），动点P满足条件|PF1|﹣|PF2|=6，则动点P的轨迹方程是（　　）‎ A．﹣=1（x≤﹣4） B．﹣=1（x≤﹣3）‎ C．﹣=1（x＞≥4） D．﹣=1（x≥3）‎ ‎【考点】双曲线的定义；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】由条件知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹的方程即可．‎ ‎【解答】解：由|PF1|﹣|PF2|=6＜|F1F2|知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支，‎ 得c=5，2a=6，‎ ‎∴a=3，‎ ‎∴b2=16，‎ 故动点P的轨迹方程是﹣=1（x≥3）．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0间的距离是　　．‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】根据两条平行线之间的距离公式直接计算，即可得到直线l1与直线l2的距离．‎ ‎【解答】解：∵直线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0互相平行 ‎∴直线l1与直线l2的距离等于 d==‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．点（﹣1，2）到直线y=x﹣1的距离是　2　．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：点（﹣1，2）到直线x﹣y﹣1=0的距离d==2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．抛物线x=4y2的准线方程是　x=﹣　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线方程化为标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．‎ ‎【解答】解：抛物线x=4y2，化为y2=x，‎ ‎∴2p=，‎ ‎∴p=，开口向右，‎ ‎∴准线方程是x=﹣．‎ 故答案为x=﹣．‎ ‎　‎ ‎16．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a=　﹣2　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，根据直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，可得直线l：y=x+a过圆心，即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：∵圆（x﹣2）2+y2=1，∴圆心为：（2，0），半径为：1‎ ‎∵直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，‎ ‎∴直线l：y=x+a过圆心，‎ ‎∴a=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分70分）‎ ‎17．求下列各曲线的标准方程．‎ ‎（1）实轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎（2）圆心为点C（8，﹣3），且过点A（5，1）求圆的标准方程；‎ ‎（3）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣，求抛物线的标准方程；‎ ‎（4）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，﹣），（，），求双曲线的标准方程．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】（1）设出椭圆的标准方程，利用实轴长为12，离心率为，即可求得几何量，从而可得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）根据圆心坐标与半径，可直接写出圆的标准方程；‎ ‎（3）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），根据题意建立关于p的方程，解之可得p=，得到抛物线方程；‎ ‎（4）设双曲线方程为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0），代入点，﹣），（，），可得方程组，求出m，n，即可求双曲线的标准方程．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为 +=1（a＞b＞0）‎ ‎∵实轴长为12，离心率为，‎ ‎∴a=6， =，‎ ‎∴c=4，∴b2=a2﹣c2=20‎ ‎∴椭圆的标准方程为+=1；‎ ‎（2）依题意得，该圆的半径为： =5．‎ 所以圆的标准方程是（x﹣8）2+（y+3）2=25；‎ ‎（3）由题意，设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），‎ ‎∵抛物线的准线方程为x=﹣，‎ ‎∴=，解得p=，‎ 故所求抛物线的标准方程为y2=x．‎ ‎（4）设双曲线方程为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0），‎ 代入点，﹣），（，），可得，‎ ‎∴m=1，n=，‎ ‎∴双曲线的标准方程为x2﹣y2=1．‎ ‎　‎ ‎18．如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，可得M（c， b），利用勾股定理与椭圆的定义建立关于a、b、c的等式，化简整理得b=，从而得出c==a，即可算出该椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，‎ 可得焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），点M的坐标为（c， b），‎ ‎∵Rt△MF1F2中，F1F2⊥MF2，‎ ‎∴|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2，即4c2+b2=|MF1|2，‎ 根据椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a，‎ 可得|MF1|2=（2a﹣|MF2|）2=（2a﹣b）2，‎ ‎∴（2a﹣b）2=4c2+b2，整理得4c2=4a2﹣ab，‎ 可得3（a2﹣c2）=2ab，所以3b2=2ab，解得b=，‎ ‎∴c==a，‎ 因此可得e==，‎ 即该椭圆的离心率等于．‎ ‎　‎ ‎19．过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为，求直线l方程．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质；直线的一般式方程．‎ ‎【分析】把圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，求出弦心距的值，设出直线l的方程，‎ 由弦心距的值求出直线的斜率，即得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：圆方程 x2+y2+4y﹣21=0，即 x2+（y+2）2=25，圆心坐标为（0，﹣2），半径r=5．‎ 因为直线l被圆所截得的弦长是，所以弦心距为，‎ 因为直线l过点M（﹣3，﹣3），所以可设所求直线l的方程为y+3=k（x+3），即kx﹣y+3k﹣3=0．‎ 依设得．‎ 故所求直线有两条，它们分别为或y+3=2（x+3），即 x+2y+9=0，或2x﹣y+3=0．‎ ‎　‎ ‎20．求与椭圆=1相交于A､B两点，并且线段AB的中点为M（1，1）的直线方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设出A，B的坐标，代入椭圆方程，利用“点差法”求得AB所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，，‎ 两式作差得：，‎ ‎∴，‎ ‎∵线段AB的中点为M（1，1），∴，‎ ‎∴线段AB所在直线方程为：y﹣1=（x﹣1），‎ 即：4x+9y﹣13=0．‎ ‎　‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．‎ ‎（1）写出C的方程；‎ ‎（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？‎ ‎【考点】圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】（1）由题意可知P点的轨迹为椭圆，并且得到，求出b后可得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后得到判别式大于0，然后利用根与系数关系得到直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，写出两个向量垂直的坐标表示，最后代入根与系数的关系后可求得k的值．‎ ‎【解答】解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，‎ 其中，所以b2=a2﹣c2==1．‎ 故轨迹C的方程为：；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0‎ 由△=16k2+48＞0，可得：，‎ 再由，‎ 即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，‎ 所以，．‎ ‎　‎