【数学】2019届一轮复习人教A版（文）专题19坐标系与参数方程教案 8页

坐标系与参数方程 ‎[师说考点]‎ ‎1．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程：‎ ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acos θ；‎ ‎(3)当圆心位于，半径为a：ρ＝2asin θ.‎ ‎2．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程：‎ ‎(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；‎ ‎(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；‎ ‎(3)直线过且平行于极轴：ρsin θ＝b.‎ ‎[典例]　(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是 (t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ ‎[解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)法一：由直线l的参数方程 (t为参数)，消去参数得y＝x·tan α.‎ 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.‎ 由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6，0)，半径为5.‎ 又|AB|＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝ ，即＝，‎ 整理得k2＝，解得k＝±，‎ 即直线l的斜率为±.‎ 法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋‎ ‎12ρcos α＋11＝0，‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ‎＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ 所以直线l的斜率为－或.‎ 极坐标方程与普通方程互化技巧 ‎(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．‎ ‎(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．‎ ‎(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ，将y换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．　　　　 ‎ ‎[演练冲关]‎ ‎　(2016·山西质检)已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．‎ 解：(1)C1：ρsin＝，C2：ρ2＝.‎ ‎(2)∵M(，0)，N(0，1)，∴P，‎ ‎∴OP的极坐标方程为θ＝，‎ 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P.‎ 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q.‎ ‎∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.‎ ‎[师说考点]‎ 几种常见曲线的参数方程 ‎(1)圆 以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．‎ 当圆心在(0，0)时，方程为其中α是参数．‎ ‎(2)椭圆 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．‎ 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．‎ ‎(3)直线 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．‎ ‎[典例]　(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎[解]　(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．‎ 因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，‎ d(α)＝＝，‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ 有关参数方程问题的2个关键点 ‎(1)参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化．‎ ‎(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义．　　　　 ‎ ‎[演练冲关]‎ ‎　(2016·郑州质检)平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m，0)，且倾斜角为，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．‎ 解：(1)曲线C的直角坐标方程为：(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，即ρ2＝2ρcos θ，‎ 所以曲线C的极坐标方程为：ρ＝2cos θ.‎ 直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，‎ 得t2＋(m－)t＋m2－‎2m＝0，所以t1t2＝m2－‎2m，‎ 由题意得|m2－‎2m|＝1，解得m＝1或m＝1＋或m＝1－.‎ ‎1．(2016·南昌模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)．‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，求直线的倾斜角α的值．‎ 解：(1)由ρ＝4cos θ得其直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)将代入圆C的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，化简得t2－‎ ‎2tcos α－3＝0.‎ 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则 ‎∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，‎ ‎∴4cos2α＝2，故cos α＝±，即α＝或.‎ ‎2．(2016·广西质检)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)若直线l的斜率为2，判断直线l与曲线C1的位置关系；‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．‎ 解：(1)斜率为2时，直线l的普通方程为y－1＝2(x＋1)，即y＝2x＋3.①‎ 将消去参数t，化为普通方程得(x－2)2＋(y－4)2＝4，②‎ 则曲线C1是以C1(2，4)为圆心，2为半径的圆，圆心C1(2，4)到直线l的距离d＝＝<2，‎ 故直线l与曲线(圆)C1相交．‎ ‎(2)C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，‎ 由解得 所以C1与C2交点的极坐标为.‎ ‎3．(2016·合肥质检)在直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsin θ＋ρcos θ＝m.‎ ‎(1)当m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系；‎ ‎(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)曲线C的普通方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一个圆；当m＝0时，直线l的直角坐标方程为：x＋y＝0，圆心C到直线l的距离为d＝＝＝r，r为圆C的半径，所以直线l与圆C相切．‎ ‎(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d＝≤，解得－1≤m≤5.‎ 即所求实数m的取值范围为[－1，5]．‎ ‎4．(2016·贵阳模拟)极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C2的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－与曲线C1分别交于(不包括极点O)点A、B、C.‎ ‎(1)求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；‎ ‎(2)当φ＝时，B、C两点在曲线C2上，求m与α的值．‎ 解：(1)证明：依题意|OA|＝4cos φ，‎ ‎|OB|＝4cos，|OC|＝4cos，‎ 则|OB|＋|OC|＝4cos＋4cos＝2(cos φ－sin φ)＋2(cos φ＋sin φ)＝4cos φ＝|OA|.‎ ‎(2)当φ＝时，B、C两点的极坐标分别为、，化为直角坐标为B(1，)、C(3，－)，所以经过点B、C的直线方程为y－＝－(x－1)，而C2是经过点(m，0)且倾斜角为α的直线，故m＝2，α＝.‎ ‎5．(2016·合肥质检)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＝a(a>－3)．‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C与直线l有唯一公共点，求a的值．‎ 解：(1)由ρ2－2ρsin θ＝a知其直角坐标方程为x2＋y2－2y＝a，即x2＋(y－)2＝a＋3(a>－3)．‎ ‎(2)将l：代入曲线C的直角坐标方程得(1＋t)2＋＝a＋3，化简得t2＋t－a－2＝0.‎ ‎∵曲线C与直线l仅有唯一公共点，‎ ‎∴Δ＝1－4(－a－2)＝0，解得a＝－.‎ ‎6．(2016·广州五校联考)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(α为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρcos＝－，曲线C3：ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；‎ ‎(2)设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．‎ 解：(1)曲线C1：消去参数α，得y＋x2＝1，x∈[－1，1]．　①‎ 曲线C2：ρcos＝－⇒x＋y＋1＝0，　②‎ 联立①②，消去y可得：x2－x－2＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)，所以M(－1，0)．‎ ‎(2)曲线C3：ρ＝2sin θ⇒x2＋(y－1)2＝1，是以(0，1)为圆心，半径r＝1的圆．‎ 设圆心为C，点C，B到直线x＋y＋1＝0的距离分别为d，d′，‎ 则d＝＝，|AB|≥d′≥d－r＝－1，‎ 所以|AB|的最小值为－1.‎ ‎7．(2016·武昌区调研)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ.‎ ‎(1)写出Γ的参数方程；‎ ‎(2)设直线l：3x＋2y－6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ 解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为Γ上的点(x，y)，‎ 依题意，得即 由x＋y＝1，得＋＝1.‎ 即曲线Γ的方程为＋＝1.‎ 故Γ的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(2，0)，P2(0，3)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k＝.‎ 于是所求直线方程为y－＝(x－1)，‎ 即4x－6y＋5＝0.‎ 化为极坐标方程，得4ρcos θ－6ρsin θ＋5＝0.‎ ‎8．(2016·石家庄模拟)在极坐标系中，已知曲线C1：ρ＝2cos θ和曲线C2：ρcos θ＝3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．‎ 解：(1)C1的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＝3.‎ ‎(2)设曲线C1与x轴异于原点的交点为A，‎ ‎∵PQ⊥OP，∴PQ过点A(2，0)，‎ 设直线PQ的参数方程为(t为参数)，‎ 代入C1可得t2＋2tcos θ＝0，解得t1＝0，t2＝－2cos θ，‎ 可知|AP|＝|t2|＝|2cos θ|.‎ 代入C2可得2＋tcos θ＝3，解得t′＝，‎ 可知|AQ|＝|t′|＝，‎ ‎∴|PQ|＝|AP|＋|AQ|＝|2cos θ|＋≥2，当且仅当|2cos θ|＝时取等号，‎ ‎∴线段PQ长度的最小值为2.‎