2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第十章养提升5　高考中圆锥曲线解答题的提分策略 5页

素养提升5　高考中圆锥曲线解答题的提分策略 素养解读　　高考中圆锥曲线解答题常考查圆锥曲线的标准方程、几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系,定点、定值、最值、取值范围、存在性问题,综合考查各种数学思想方法和技能以及数学学科核心素养.这类试题的命制有一个共同特点:起点低.第(1)问较为简单;第(2)问或第(3)问中一般伴有较为复杂的数学运算,对考生解决问题的能力要求较高.‎ ‎1 [2019全国卷Ⅱ,20,12分][文]已知F1,F2是椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.‎ ‎(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;‎ ‎(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.‎ 本题可拆解成以下几个小问题:‎ ‎(1)①求证:|PF1|=‎3‎c ;②根据椭圆的定义求离心率.‎ ‎(2)①通过PF1⊥PF2,S‎△F‎1‎PF‎2‎=16及点P在椭圆上,联立方程求b ;②利用椭圆的性质建立不等式求a的取值范围.‎ ‎(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知,在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=‎3‎c,①‎ 于是2a=|PF1|+|PF2|=(‎3‎+1)c,②‎ 故C的离心率e=ca‎=‎‎3‎ - 1.③‎ ‎(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,当且仅当‎1‎‎2‎|y|·2c=16,yx+c·yx - c= - 1,x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1,‎ 即c|y|=16　(i),‎ x2+y2=c2　(ii),‎ x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎‎=1　(iii).‎ 由(ii)(iii)及a2=b2+c2得x‎2‎‎=a‎2‎c‎2‎(c‎2‎ - b‎2‎),‎y‎2‎‎=b‎4‎c‎2‎,‎ 又由(i)知y2=‎1‎‎6‎‎2‎c‎2‎,故b=4.④‎ 由x2=a‎2‎c‎2‎(c2 - b2),得c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4‎2‎.⑤‎ 当b=4,a≥4‎2‎时,存在满足条件的点P.‎ 所以b=4,a的取值范围为[4‎2‎,+∞).⑥‎ 感悟升华 阅卷 现场 得分点 第(1)问采点得分说明 ‎①求出|PF1|得2分;‎ ‎②通过椭圆的定义找a,c的关系得2分;‎ ‎③利用离心率公式求出结果得2分.‎ ‎6分 第(2)问采点得分说明 ‎④根据已知条件和椭圆的性质求出b的值得3分;‎ ‎⑤根据已知条件和椭圆的性质求出a的取值范围得2分;‎ ‎⑥写出最终结论得1分.‎ ‎6分 满分 策略 ‎1.解决圆锥曲线解答题的关注点 掌握圆锥曲线的定义及其几何性质是关键,利用根与系数的关系,运用整体思想求解直线与圆锥曲线的位置关系是难点.‎ ‎2.求椭圆的离心率 ‎(1)通过已知条件列方程组,解出a,c的值.‎ ‎(2)变用公式,整体求出ca,e=ca‎=‎‎1 - (‎ba‎)‎‎2‎=‎1‎‎1+(‎bc‎)‎‎2‎.‎ ‎(3)由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于e的一元方程求解.‎ ‎(4)通过特殊值求离心率.‎ ‎3.取值范围或最值问题 利用根的判别式构造不等式;利用椭圆的有界性及变量间的关系挖掘题目中存在的隐含条件.计算中不仅要注意应用函数的思想,更要注意参变量取值范围对最值的影响.‎ ‎2 [2017全国卷Ⅰ,20,12分]已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3( - 1,‎3‎‎2‎),P4(1,‎3‎‎2‎)中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为 - 1,证明:l过定点.‎ ‎(1)根据椭圆的对称性可知,P1点不在椭圆上,P2,P3,P4三点在椭圆上,代入x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1列方程组求解即可;(2)分析直线l与x轴的位置关系,设出直线l的方程,联立直线l与椭圆C的方程,用根与系数的关系得到直线l的斜率与截距的关系,由直线l的方程得定点.‎ ‎(1)因为P3,P4两点关于y轴对称,所以由题意知C经过P3,P4两点.‎ 又由‎1‎a‎2‎‎+‎‎1‎b‎2‎>‎1‎a‎2‎‎+‎‎3‎‎4‎b‎2‎知,P1点不在C上,所以P2点在C上.1分(得分点1)‎ 因此‎1‎b‎2‎‎=1,‎‎1‎a‎2‎‎+‎3‎‎4‎b‎2‎=1,‎解得a‎2‎‎=4,‎b‎2‎‎=1.‎3分(得分点2)‎ 故C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.5分(得分点3)‎ ‎(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.‎ 若l与x轴垂直,设l:x=t.由题意知t≠0,且|t|<2,易得A,B两点的坐标分别为(t,‎4 - ‎t‎2‎‎2‎),(t, - ‎4 - ‎t‎2‎‎2‎).‎ 则k1+k2=‎4 - ‎t‎2‎‎ - 2‎‎2t‎-‎‎4 - ‎t‎2‎‎+2‎‎2t= - 1,解得t=2,不符合题意.6分(得分点4)‎ 若l与x轴不垂直,可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m与x‎2‎‎4‎+y2=1联立,消y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2 - 4=0.7分(得分点5)‎ 由题设可知Δ=16(4k2 - m2+1)>0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= - ‎8km‎4k‎2‎+1‎,x1x2=‎4m‎2‎ - 4‎‎4k‎2‎+1‎.8分(得分点6)‎ 又k1+k2=‎y‎1‎‎ - 1‎x‎1‎‎+‎y‎2‎‎ - 1‎x‎2‎ ‎=‎kx‎1‎+m - 1‎x‎1‎‎+‎kx‎2‎+m - 1‎x‎2‎ ‎=‎‎2kx‎1‎x‎2‎+(m - 1)(x‎1‎+x‎2‎)‎x‎1‎x‎2‎ ‎= - 1,‎ 故(2k+1)x1x2+(m - 1)(x1+x2)=0,‎ 即(2k+1)·‎4m‎2‎ - 4‎‎4k‎2‎+1‎+(m - 1)·‎ - 8km‎4k‎2‎+1‎=0,10分(得分点7)‎ 解得k= - ‎ ‎m+1‎‎2‎.‎ 当且仅当m> - 1时,Δ>0,11分(得分点8)‎ 于是l :y= - m+1‎‎2‎x+m,‎ 即y+1= - ‎ ‎m+1‎‎2‎(x - 2),‎ 所以l过定点(2, - 1).12分(得分点9)‎ 感悟升华 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 方程组和方程的求解.‎ 直观想象 点与椭圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系.‎ 思想 方法 方程思想 ‎1.根据点的坐标建立方程组求解a2,b2.‎ ‎2.联立直线l与椭圆C的方程,用根与系数的关系得x1+x2= - ‎8km‎4k‎2‎+1‎,x1x2=‎4m‎2‎ - 4‎‎4k‎2‎+1‎.‎ ‎3.利用斜率之和为 - 1这一条件,建立直线l的斜率与截距的关系式.‎ 数形结 合思想 利用椭圆的对称性确定P1,P2,P3,P4中哪些点在椭圆上,讨论直线l与x轴的位置关系.‎ 分类讨 论思想 对于直线l的斜率,分存在和不存在两种情况讨论.‎ 得分 要点 ‎1.得步骤分:抓住得分点的解题步骤,“步步为赢”.第(1)问中,分析隐含信息,列方程组得参数,求出方程.第(2)问中,分类讨论设出直线方程→联立方程→利用根与系数的关系→利用公式化简求解.‎ ‎2.得关键分:①列出方程组;②设出直线方程;③利用根与系数的关系;④利用斜率公式.这些都是不可缺少的过程,有则给分,无则没分.‎ ‎3.得计算分:解题过程中计算准确是得到满分的根本保证,如得分点2,5,7.‎ 答题 圆锥曲线中定点问题的两种解法 策略 ‎1.引进参数法:先引进动点的坐标或动线中系数为参数,用参数表示变化的量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.‎ ‎2.从特殊到一般法:先根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.‎ 技巧:若直线方程为y - y0=k(x - x0)(k≠0),则直线过定点(x0,y0);若直线方程为y=kx+b(b为定值),则直线过定点(0,b).‎ ‎3 [2018全国卷Ⅰ,19,12分]设椭圆C:x‎2‎‎2‎+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).‎ ‎(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.‎ ‎(1)先求出椭圆C:x‎2‎‎2‎+y2=1的右焦点F的坐标,因为l与x轴垂直,所以可先求出直线l的方程,然后求出点A的坐标,再利用直线方程的两点式,即可求出直线AM的方程.(2)对直线l分三类讨论:①当直线l与x轴重合时,直接求∠OMA=∠OMB=0° ;‎ ‎②当直线l与x轴垂直时,可直接证得∠OMA=∠OMB;③当直线l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x - 1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),利用斜率公式表示出kMA+kMB,把直线l的方程代入椭圆C的方程,消去y转化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明kMA+kMB=0,从而证得∠OMA =∠OMB.‎ ‎(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.1分 将x=1代入椭圆方程可得点A的坐标为(1,‎2‎‎2‎)或(1, - ‎2‎‎2‎).2分 所以直线AM的方程为y= - ‎2‎‎2‎x+‎2‎或y=‎2‎‎2‎x - ‎2‎.3分 ‎(2)解法一　当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.4分 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.5分 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x - 1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),6分 则 - ‎2‎0.9分 所以x1+x2=‎4‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎,x1x2=‎2k‎2‎ - 2‎‎2k‎2‎+1‎.10分 则2kx1x2 - 3k(x1+x2)+4k=‎4k‎3‎ - 4k - 12k‎3‎+8k‎3‎+4k‎2k‎2‎+1‎=0.‎ 从而kMA+kMB=0,即MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.11分 综上,∠OMA=∠OMB.12分 解法二　当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.4分 当l不与x轴重合时,设x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).5分 将x=ty+1代入x‎2‎‎2‎+y2=1,消x得(2+t 2)y2+2ty - 1=0,易知Δ>0,‎ 所以y1+y2=‎ - 2t‎2+‎t‎2‎,y1y2=‎ - 1‎‎2+‎t‎2‎,7分 所以kAM+kBM=y‎1‎x‎1‎‎ - 2‎‎+y‎2‎x‎2‎‎ - 2‎=y‎1‎ty‎1‎ - 1‎+y‎2‎ty‎2‎ - 1‎=‎‎2ty‎1‎y‎2‎ - (y‎1‎+y‎2‎)‎‎(ty‎1‎ - 1)(ty‎2‎ - 1)‎.9分 因为2ty1y2 - (y1+y2)=‎ - 2t‎2+‎t‎2‎‎+‎‎2t‎2+‎t‎2‎=0,10分 所以kAM+kBM=0,即直线AM,BM的倾斜角互补,‎ 所以∠OMA=∠OMB.11分 综上,∠OMA=∠OMB.12分 感悟升华 命题 探源 本题考查了椭圆的标准方程及其简单性质、直线与椭圆的位置关系、等角的证明,考查考生的推理论证能力、运算求解能力,数形结合思想、转化与化归思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.‎ 真题互鉴:本题来源于2015年新课标全国Ⅰ理科数学第20题:‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x‎2‎‎4‎与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.‎ ‎(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;‎ ‎(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.‎ ‎2018年全国卷Ⅰ理科数学的第19题只是把2015年新课标全国Ⅰ理科数学的第20题的“抛物线”变为“椭圆”,仍然考查直线与圆锥曲线的位置关系,都是“求方程”与“证明等角”问题,只是去掉了原来的是否存在的外包装.在强调命题改革的今天,通过改编、创新等手段来赋予高考典型试题新的生命,已成为高考命题的一种新走向,所以考生在复习备考的过程中要注意对高考真题的训练,把握其实质,掌握其规律,规范其步骤,做到“胸中有高考真题”,才能做到以不变应万变.‎ 满分 策略 ‎1.得步骤分:抓住得分点的步骤,“步步为赢”,求得满分.如第(1)问求出点A的坐标;第(2)问求出kMA+kMB=0,判定MA,MB的倾斜角互补.‎ ‎2.得关键分:解题过程不可忽视关键点,有则给分,无则没分,如第(1)问中求出直线AM的方程;第(2)问讨论直线与坐标轴是否垂直,将直线y=k(x - 1)与x‎2‎‎2‎+y2=1联立,消y得(2k2+1)x2 - 4k2x+2k2 - 2=0.‎ ‎3.得计算分:解题过程中计算准确是得到满分的根本保证.如第(1)问求对点M的坐标与直线AM的方程;第(2)问中正确写出x1+x2=‎4‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎,x1x2=‎2k‎2‎ - 2‎‎2k‎2‎+1‎,进而求出kAM+kMB=0.‎ 失分 探源 ‎1.第(2)问中没有讨论直线与x轴重合以及与x轴垂直的特殊情形.‎ ‎2.没有勾画图形,以致难以将证明“∠OMA=∠OMB”转化为证明“kAM+kBM=0”.‎ ‎3.计算失误:如在第(1)问中求直线方程出错,在第(2)问的运算过程中出错等.‎ ‎4.得到“kAM+kBM=0”后没有交代直线AM与BM的倾斜角互补,直接得出结论“∠OMA=∠OMB”而丢失1分.‎ ‎5.最后没有下结论,以致丢失“收官”的1分.‎ 提分 探源 破解此类解析几何题的关键:一是“图形”引路,一般需画出大致图形,把已知条件翻译到图形中,利用直线方程的点斜式或两点式,即可快速表示出所求直线方程;二是“转化”桥梁,即先根据图形的特征把要证的两角相等转化为斜率之间的关系,再把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系及斜率公式即可证得结论.‎ ‎325‎