专题21+平面向量的应用（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍 5页

‎1．在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·等于(　　)‎ A．2　　　B．3‎ C．4 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知，‎ ·＝·＝·＋·＝0＋×3×3cos45°＝3。‎ ‎2．已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则2sinαcosα等于(　　)‎ A．3 B．－3‎ C. D．－ ‎【答案】D ‎【解析】由a∥b得cosα＝－2sinα，所以tanα＝－。‎ 所以2sinαcosα＝＝＝－。‎ ‎3．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于(　　)‎ A．1 B．－1‎ C. D. ‎【答案】A ‎4．若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是(　　)‎ A. B. C．2 D. ‎【答案】B ‎【解析】a·b＝|a||b|cos30°＝8sin15°cos15°×＝4×sin30°×＝。‎ ‎5．函数y＝tan的部分图象如图所示，则(＋)·＝(　　)‎ A．4 B．6‎ C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6。‎ ‎6．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若‎4a＋2b＋‎3c＝0，则cosB＝(　　)‎ A．－ B. C. D．－ ‎【答案】A ‎7．若向量a＝，b＝，且a∥b，则锐角α的大小是________。‎ ‎【答案】 ‎【解析】因为a∥b，所以×－sinαcosα＝0，‎ 所以sin2α＝1，又α为锐角，故α＝。‎ ‎8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则·＝__________。‎ ‎【答案】－1‎ ‎【解析】依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB＞0，‎ 于是有cosA＝，sinA＝＝，‎ 又S△ABC＝·bcsinA＝bc× ＝，‎ 所以bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1。‎ ‎9．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l ，垂足为Q，且·＝0，则点P到点C的距离的最大值是__________。‎ ‎【答案】6‎ 点。‎ 故|PC|max＝a＋c＝4＋2＝6。‎ ‎10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，且m⊥n。‎ ‎(1)求角C的大小。‎ ‎(2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围。‎ ‎【解析】(1)由题意得m·n＝(a＋c，b－a)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2－ab＝0，即c2＝a2＋b2－ab。由余弦定理得cosC＝＝。因为0＜C＜π，所以C＝。‎ ‎(2)因为s＋t＝＝(cosA，cosB)，‎ 所以|s＋t|2＝cos‎2A＋cos2B ‎＝cos‎2A＋cos2 ‎＝－sin＋1。‎ 因为0＜A＜，所以－＜‎2A－＜，‎ 所以－＜sin≤1。‎ 所以≤|s＋t|2＜，故≤|s＋t|＜。‎ ‎11．如图，A，B是单位圆上的动点，C是单位圆与x轴的正半轴的交点，且∠AOB＝，记∠COA＝θ，θ∈(0，π)，△AOC的面积为S。‎ ‎(1)若f(θ)＝·＋2S，试求f(θ)的最大值以及此时θ的值。‎ ‎(2)当A点坐标为时，求||2的值。 ‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.‎ ‎(1)若m⊥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若m与n的夹角为，求x的值．‎ ‎【解析】(1)因为m＝，‎ n＝(sin x，cos x)，m⊥n.‎ 所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，‎ 所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.‎ ‎(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，‎ 即sin x－cos x＝，所以sin＝，‎ 因为0＜x＜，所以－＜x－＜，‎ 所以x－＝，即x＝.‎ ‎15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·. ‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．‎ 等号)，‎ 即ac≤3(2＋)，‎ 故△ABC的面积 S＝acsin B≤，‎ 即△ABC的面积的最大值为.‎