2017-2018学年安徽省蚌埠市第二中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 10页

蚌埠二中2017-2018学年第二学期期中考试 高二数学（理）试题 试卷满分：150分考试时间：120分钟 ‎ 第I卷（选择题）‎ 一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.‎ ‎1．已知函数，在处函数极值的情况是（ ）‎ ‎ A．没有极值 B．有极大值 C．有极小值 D．极值情况不能确定 ‎2.设是虚数单位，复数，则=（ ）‎ A．B． C．D．‎ ‎3.在等分区间的情况下，及x轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是(　　)‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎4．余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理()‎ A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 ‎5.在极坐标系中，曲线C的方程是，过点作曲线C的切线，切线长为（ ）‎ A．B．‎4 C．D．‎ ‎6.已知关于x的不等式的解集不是空集，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知，下列选项中不可能是函数图象的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．若，则（ ）‎ A．1 B．C．0 D．‎ ‎9．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋(　　)‎ A．都不大于－2B．都不小于－2‎ C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2‎ ‎10. 已知函数的最大值为，则（）‎ A． B．C． D．‎ ‎11．2017年吴京执导的动作、军事电影《战狼2》上映三个月，以56.8亿震撼世界的票房成绩圆满收官，该片也是首部跻身全球票房TOP100的中国电影．小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《战狼2》，并把标识分别为A,B,C,D的四张电影票放在编号分别为1,2,3,4的四个不同盒子里，让四位好朋友进行猜测：‎ 甲说：第1个盒子里面放的是B，第3个盒子里面放的是C；‎ 乙说：第2个盒子里面放的是B，第3个盒子里面放的是D；‎ 丙说：第4个盒子里面放的是D，第2个盒子里面放的是C；‎ 丁说：第4个盒子里面放的是A，第3个盒子里面放的是C.‎ 小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半．”‎ 可以推测，第4个盒子里面放的电影票为（）‎ A．A或B B． B或CC．C或D D．D或A ‎12．设函数f(x)满足2x‎2f(x)＋x‎3f′(x)＝ex，f(2)＝.则x∈[2，＋∞)时，f(x)的最小值为(　　)‎ A.B．C.D．‎ 第II卷（非选择题）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.的平方根是 ‎14.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为。类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．‎ ‎15.已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．‎ ‎16．已知函数若有，则的最大值为.‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. （本小题10分）在极坐标系中，圆的极坐标方程为，已知，为圆上一点，求面积的最小值。‎ ‎18. （本小题12分）已知不等式的解集为。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，，求证：。‎ ‎19.（本小题12分）用数学归纳法证明：。‎ ‎20．（本小题12分）已知曲线。‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求与直线平行的曲线的切线方程。‎ ‎21. （本小题12分）已知关于x的方程有实数根b。‎ ‎(1)求实数a,b的值；‎ ‎(2)若复数z满足，求当z为何值时,| z|有最小值?并求出|z|的最小值。‎ ‎22. （本小题12分）已知函数。‎ ‎（1）设函数求的单调区间；‎ ‎（2）若存在常数使得对恒成立，且对恒成立，则称直线为函数与的“分界线”，‎ 试问：与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由.‎ 蚌埠二中2017—2018学年第二学期期中考试 高二数学（理）答案 一．选择题 ‎ CDBCA—DDACB—DD 二．填空题 ‎13. 【答案】 14. 【答案】　 15.【答案】 16．【答案】3‎ ‎17.‎ ‎18. （Ⅰ）由，‎ 得或或，‎ 解得，∴， ．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，‎ ‎∴ ，‎ 当且仅当即， 时取等号，‎ ‎∴，即．‎ ‎19.证明：(1)当n＝1时，≤1＋≤，命题成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ‎1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.‎ 又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，‎ 即n＝k＋1时，命题成立．‎ 由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，‎ 求导可得，∴切线的斜率为，‎ ‎∴所求切线方程为，即．‎ ‎（2）设与直线平行的切线的切点为，‎ 则切线的斜率为．‎ 又所求切线与直线平行，∴，解得，‎ 代入可得切点为或，‎ ‎∴所求切线方程为或，‎ 即或．‎ ‎21.【解析】(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,‎ 所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,‎ 故 解得a=b=3.‎ ‎(2)设z=m+ni(m,n∈R),‎ 由|-3-3i|=2|z|,‎ 得(m-3)2+(n+3)2=4(m2+n2),‎ 即(m+1)2+(n-1)2=8,‎ 所以Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,以2为半径的圆.‎ 如图,当Z点在直线OO1上时,|z|有最大值或最小值.‎ 因为|OO1|=,半径r=2,‎ 所以当z=1-i时,|z|有最小值,且|z|min=.‎ ‎22.【答案】(1)函数的单调减区间是（0，），单调增区间是（，＋）；‎ ‎（2）“分界线”的方程为：‎ ‎（2）由（I）可知，当时，取得最小值（）＝0，‎ 则与的图象在处有公共点（，）‎ 假设与存在“分界线”，则其必过点（，）…………………6分 故设其方程为：，即，‎ 由对恒成立， 则对恒成立，‎ 所以，≤0成立，‎ 因此，“分界线”的方程为：…………………………………9分 下面证明对恒成立，‎ 设，则，‎ 所以当时，，当时，＜0，‎ 当时，取得最大值0，则对恒成立，‎ 故所求“分界线”的方程为：………………………………12分