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- 2021-06-12 发布
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湖南省长望浏宁四县（区、市）2020届高三4月联考
数学（理科）试题
第I卷(选择题共60分)
一.选择题:共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知复数z满足i为虚数单位,则z等于( )
A.1-i B.1+i
2.设A=则()
A. {x|x>- 1} B. {x|- 10, ω>0,|的部分图象如上图所示，则使f(a+x)-f(a-x)=0成立的a的最小正值为()
9.已知双曲线C:的两条渐近线均与圆相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为()
10.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”:1, 1,2,3,5,8, 13,21,34,55, ...即F(1)=F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3, n∈N*),此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列则数列的前2019项的和为( )
A.672 B.673 C.1346 D.2019
11.已知为函数f(x)的导函数,且若方程g(ax)-x=0有且只有一个根， 则a的取值范围是
D. (-∞
12.已知三棱锥S- ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1, SA为球O的直径，且则此棱锥的体积为( )
第II卷(非选择题共90分)
二.填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.
13.已知等差数列的公差d不为0，且成等比数列，则的值为____
14.甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛,采用三局二胜制,先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为p,若甲赢得比赛的概率为q,则q- p取得最大值时p=__.
15.已知抛物线C:的焦点为F,
是抛物线上一点，过点P向抛物线C的准线引垂线，垂足为D,若△PDF为等边三角形,则p=____
16.若函数在区间[1, 2]上单调递增，则a + 4b的最小值是____
三.解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分
17. (本小题满分12分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a,b,c,已知2a+b=2c·cosB,
(1)求角C;
(2)延长线段AC到点D,使CD=CB, 求△ABD周长的取值范围.
18、(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD, PA= AB, E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.
(1)求证:平面AEF⊥平面PBC.
(2)试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.
19. (本小题满分12分)
如图，在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆C:的右焦点为F (c, 0)，下顶点为P,过点的动直线1交椭圆C于A, B两点.
(1)当直线1平行于x轴时，P, F, A三点共线,且求椭圆C的方程;
(2)当椭圆C的离心率为何值时,对任意的动直线1,总有PA⊥PB ?
20. (本小题满分12分)绿水青山就是金山银山.某山村为做好水土保持，退耕还林,在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目.为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额.分组如下: [0,20)，[20,40), …[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图:
(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点作代表).
(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”.填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系?
(3)为吸引顾客，商家特推出两种促销方案.
方案一:每满80元可立减10元;
方案二:金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
附:参考公式和数据:
n=a+b+c+d
21. (本小题满分12分)设函数
(1)讨论f(x)的单调性;
(2) 当a=1时，若不等式)恒成立,求整数m的最大值.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、 23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分.
22. (本小题满分10分)
在直角坐标系xOy中,直线1的参数方程为(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=4cosθ +6sinθ .
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C与直线1交于点M, N,点A的坐标为(3, 1),求|AM|+|AN|.
23. (本小题满分10分)
已知函数f(x)=|x-2|.
(1)解不等式f(x)+ f(2x+1)≥6;
(2)对a+b=1(a>0,b>0)及任意实数x,不等式恒成立，求实数m的取值范围.
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