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- 2021-06-12 发布
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2019-2020学年河北省廊坊市六校联考高二上学期期中调研联考数学试题
一、单选题
1.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序,则能组成“中国梦”的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据古典概型概率的求法,列举出所有可能,即可求得能够组成“中国梦”的概率.
【详解】
三张写有“中”、“国”、“梦”的卡片随机排序,所有可能如下:
(中国梦), (中梦国),(国中梦),(国梦中),( 梦中国),(梦国中).
所以得到(中国梦)的概率为
故选:B
【点睛】
本题考查了古典概型概率的求法,利用列举法写出所有可能是常用方法,属于基础题.
2.已知,,动点满足,则点的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆
【答案】C
【解析】根据动点轨迹求法,结合动点满足的条件即可求得动点M的轨迹.
【详解】
因为,,动点满足
而
即
所以动点M的轨迹为线段
故选:C
【点睛】
本题考查了动点轨迹方程的求法,不要误判为椭圆.椭圆的轨迹需满足的条件,属于基础题.
3.命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】C
【解析】试题分析:特称命题的否定是全称命题,并将结论加以否定,所以命题的否定为:,
【考点】全称命题与特称命题
4.“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是
A. B. C. D.或
【答案】B
【解析】由命题间的充分必要性即可求解.
【详解】
解:不等式对恒成立,
则,解得,
则“” 的一个必要不充分条件是,
选项A为充要条件,
选项C为充分不必要条件,
选项D为既不充分也不必要条件,
故选B.
【点睛】
本题考查了充分必要条件,属基础题.
5.若直线过点与双曲线只有一个公共点,则这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】 B
【解析】解:设直线L:y=k(x-3),代入双曲线方程化简得(4-9k2)x2+54k2x-81k2-36=0
要使L与双曲线只有一个公共点,需上述方程只有一根或两实根相等,
∴4-9k2=0,或△=0(不成立),解得k=±
故选B
6.如果椭圆的弦被点平分,则这条弦所在的直线方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】利用点差法可求得,根据直线点斜式方程可求得结果.
【详解】
设直线与椭圆交点为,
,两式作差得:
又为中点 ,
直线方程为:,即:
本题正确选项:
【点睛】
本题考查点差法求解中点弦的问题,关键是能够熟练应用点差法,属于基础题.
7.某商场对某一商品搞活动,已知该商品的进价为3元/个,售价为8元/个,每天销售的第20个及之后的商品按半价出售,该商场统计了近10天这种商品的销售量,如图所示,则从这10天中随机抽取一天,其日利润不少于96元的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据频数分布表,即可算得销量分别为时的利润,即可求得利润不少于96元的概率.
【详解】
商品的进价为3元/个,售价为8元/个,每天销售的第20个及之后的商品按半价出售
所以当销量为时,共有1天,每天的利润为元
销量为时,共有4天,每天利润为元
销量为时,共有3天,每天利润为元
销量为时,共有2天,每天利润为元
所以满足日利润不少于96元的概率为
故选:A
【点睛】
本题考查了古典概型概率的简单应用,属于基础题.
8.已知双曲线:的左、右焦点分别为、,左、右顶点分别为、,过点的直线与双曲线的右支交于点,且,则( )
A. B.1 C.2 D.3
【答案】D
【解析】根据双曲线性质,结合可知,即可求得.
【详解】
双曲线:
由双曲线性质可知
过点的直线与双曲线的右支交于点,且
则
则点的横坐标为2,代入双曲线
可得P点的纵坐标为
所以
故选:D
【点睛】
本题考查了双曲线的标准方程及性质的简单应用,双曲线中通径的求法,属于基础题.
9.下列结论中不正确的个数是( )
①一个人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件;
②“”是“”的充分不必要条件;
③若事件与事件满足条件:,则事件与事件是对立事件;
④把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人,每人分得1张,则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】根据对立事件定义可判断①;由充分必要条件的判定可判断②;根据对立事件的概率性质可判断③;根据互斥事件定义可判断④.
【详解】
对于①,因为对立事件不能同时发生,但事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”都包含事件“射中一次靶”,所以不是对立事件,所以①错误;
对于②当时, ,所以“”是“”的充分条件;当时,或,所以“”不是“”的必要条件,所以②正确;
对于③在同一试验条件下, 事件与事件满足条件则事件与事件是对立事件;当事件与事件在不同的试验条件时,虽然满足,也不一定是对立事件,所以③错误;
对于④将4张纸牌随机分给4人,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生,也不是两个中必有一个发生(即还有乙、丙可能得到红牌),因而事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件,所以④正确
综上可知,正确的为②④
故选:B
【点睛】
本题考查了随机事件中的互斥事件与对立事件的定义与判断,对立事件的概率关系,充分必要条件的判断,属于基础题.
10.直线与曲线有且仅有一个公共点,则的取值范围是( )
A. B.1或-1 C. D.或
【答案】D
【解析】画出曲线表示的图形,根据直线与曲线的位置关系,结合点到直线的距离公式即可求得的取值范围.
【详解】
由题意可知,画出曲线表示的图形如下图所示:
当直线经过点时,代入可求得
当直线经过点时,代入可求得,此时有两个交点
所以当时由1个交点
当直线与圆在轴右侧部分只有一个交点时,圆心到直线的距离等于1,即
解得,因为此时,所以
综上可知,当满足或时,直线与曲线只有1个交点
故选:D
【点睛】
本题考查了曲线轨迹方程的画法,注意曲线只表示圆在轴右侧部分,直线与圆的位置关系,点到直线距离公式的简单应用,属于基础题.
11.设,分别为双曲线(,)的左、右顶点,过左顶点的直线交双曲线右支于点,连接,设直线与直线的斜率分别为,,若,互为倒数,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由圆锥曲线的结论知道
故答案为:B.
二、多选题
12.如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图(注:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比),根据该折线图,下列结论正确的是( )
A.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨
B.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌
C.2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大
D.2019年3月全国居民消费价格环比变化最快
【答案】ABD
【解析】先对图表数据的分析处理,再结合简单的合情推理一一检验即可。
【详解】
对于选项A,从图可以看出同比涨跌幅均为正数,故A正确;
对于选项B,从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数,故B正确;
对于选项C,从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份,故C错误;
对于选项D,从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快,故D正确.故选ABD.
【点睛】
本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理,属于中档题。
三、填空题
13.中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴长是短轴长的2倍,且过点的椭圆的标准方程为________.
【答案】或
【解析】分析:讨论椭圆的焦点在轴上或在轴上,利用椭圆长轴长是短轴长的倍,过点,分别求出的值,即可得到椭圆的标准方程.
详解:若椭圆的焦点在轴上,则,因为长轴长是短轴长的倍,
所以,,椭圆方程为;
若椭圆的焦点在轴上,则,因为长轴长是短轴长的倍,
所以,,椭圆方程为,
故答案为或.
点睛:本题主要考查待定系数求椭圆方程,属于简单题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在轴上,还是在轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程或
;③找关系:根据已知条件,建立关于、、的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
14.若,则方程表示的圆的概率为______.
【答案】
【解析】根据方程表示圆,结合二元二次方程表示圆的条件,即可求得的取值范围,进而求得在所给条件中表示圆的概率.
【详解】
方程表示的圆
则满足,化简可得
即,解不等式可得
因为
所以满足方程表示圆的的值有
即在时方程表示的圆的概率为
故答案为:
【点睛】
本题考查了圆的一般式方程的应用,根据圆的表示条件求参数的取值范围,古典概型概率的求法,属于基础题.
15.下面给出四种说法:
①设、、分别表示数据15、17、14、10、15、17、17、16、14、12的平均数、中位数、众数,则;
②在线性回归模型中,相关系数越接近于1,表示两个变量的相关性越强;
③绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距;
④线性回归直线不一定过样本中心点.
其中正确说法的序号是______.
【答案】①②
【解析】对于①根据数据求得平均数、中位数、众数,即可比较的大小;对于②根据相关系数定义,即可判断是否正确;对于③,根据频率分布直方图的绘制过程即可判断;对于④根据线性回归方程中的求法,可知必过样本中心点,即可判断.
【详解】
对于①,根据数据可求得平均数为,从小到大排列可得,所以中位数为,由数据可知众数为.即,所以①正确;
对于②根据相关系数的意义,可知当相关系数越接近于1,表示两个变量的相关性越强,所以②正确;
对于③绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的频率,所以③错误;
对于④根据线性回归方程中的求法,可知必过样本中心点,所以④错误.
综上可知,正确的为①②
故答案为: ①②
【点睛】
本题考查了平均数、众数与中位数的求法,频率分布直方图中每个小矩形的意义,相关系数意义及线性回归方程与样本中心的关系,属于基础题.
16.过双曲线x2-=1的右支上一点P,分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为______.
【答案】13
【解析】结合双曲线与圆的方程画出图像,由相切得勾股关系,化简|PM|2-|PN|2,在△中结合双曲线定义与三角形三边关系可求出范围.
【详解】
解:圆的圆心为,半径为;
圆的圆心为,半径为;
设双曲线的左右焦点为,
连接,可得
.
当且仅当P为右顶点时,取得等号,即最小值13.
故答案为:13.
【点睛】
本题考查了直线与圆相切,双曲线的焦点三角形,属于基础题.
四、解答题
17.已知:,:方程表示的曲线是双曲线,且是的充分不必要条件,求的取值范围.
【答案】或.
【解析】解一元二次不等式可得的解集.根据双曲线的标准方程及意义即可求得中的取值范围.结合充分不必要条件表示的含义,即可求得的取值范围.
【详解】
由:,解不等式可得
由方程表示的曲线是双曲线
∴,
∴或.
因为是的充分不必要条件,
所以是的真子集
所以或
解得或
所以的取值范围是或
【点睛】
本题考查了含参数的一元二次不等式的解法,双曲线标准方程及其意义,由充分不必要条件求参数的取值范围,属于基础题.
18.(2014·长春模拟)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表:
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36
(1)画出茎叶图.
(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、方差,并判断选谁参加比赛更合适?
【答案】
【解析】(1)画茎叶图如图所示,中间数为数据的十位数.
(2)由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列为
甲:27,30,31,35,37,38;
乙:28,29,33,34,36,38.
所以=×(27+30+31+35+37+38)=33,
=×(28+29+33+34+36+38)=33.
=×[(-6)2+(-3)2+(-2)2+22+42+52]
=,
=×[(-5)2+(-4)2+0+12+32+52]=.
因为=,>.
所以乙的成绩更稳定,故乙参加比赛更合适.
19.已知圆C经过,两点,且在y轴上截得的线段长为,半径小于5.求:
(1)圆C的方程.
(2)过点且与圆C相切的直线方程.
【答案】(1)(2)或
【解析】(1)由圆过,两点,知圆心在线段中垂线上,设圆心坐标,利用弦长公式得,再利用两点间距离公式得,联立方程解得,从而求得圆的方程。
(2)设切线的斜率为,得直线的点斜式方程为,再利用圆心到直线的距离为半径,得到方程。
【详解】
(1)因为圆过,两点,所以圆心在线段中垂线上,
设圆心坐标,半径为,所以,
因为圆在y轴上截得的线段长为,所以,
联立上面两个方程得或,
因为,所以,所以圆的方程为。
(2)由(1)得圆心坐标为,半径,
设圆的切线方程为,即,
所以,解得:或,
所以切线方程为:或。
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系,利用平面几何知识求圆的方程、圆的切线方程,考查数形结合思想及运算求解能力。
20.港珠澳大桥是中国建设史上里程最长,投资最多,难度最大的跨海桥梁项目,大桥建设需要许多桥梁构件。从某企业生产的桥梁构件中抽取件,测量这些桥梁构件的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间,,内的频率之比为.
(1)求这些桥梁构件质量指标值落在区间内的频率;
(2)用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为的样本,将该样本看成一个总体,从中任意抽取件桥梁构件,求这件桥梁构件都在区间内的概率
【答案】(1)0.05(2)
【解析】(1)根据频率分布直方图中表示的频率之和为1得到参数值;(2)先根据分层抽样的原则得到每个区间内的样本件数,再根据古典概型的计算公式列式得到结果即可.
【详解】
(1)设这些桥梁构件质量指标值落在区间内的频率为,则这些桥梁构件质量指标值落在区间,内的频率分别为和.
依题意得 ,解得.
所以这些桥梁构件质量指标值落在区间内的频率为.
(2)由(I)得,这些桥梁构件质量指标值落在区间,,内的频率依次为,,.
用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为的样本,则在区间内应抽取件,记为,,.
在区间内应抽取件,记为,
在区间内应抽取件,记为.
设“从样本中任意抽取件产品,这件桥梁构件都在区间内”为事件,则所有的基本事件有:,,,,,,
,,,,,, ,
,共15种.
事件包含的基本事件有:,,,,
,,,,,共10种.
所以这件桥梁构件都在区间内的概率为.
【点睛】
这个题目考查了频率分布直方图的应用以及古典概型的应用,对于古典概型,要求事件总数是可数的,满足条件的事件个数可数,使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
21.某地区不同身高的未成年男孩的体重平均值如下表:
身高
60
70
80
90
100
体重
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
已知与之间存在很强的线性相关性,
(1)据此建立与之间的回归方程;
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高体重为的在校男生的体重是否正常?
参考数据:,,
附:对于一组数据,,…,,其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
【答案】(1) . (2) 正常的.
【解析】(1)先求得及,即可求得.代入线性回归方程中即可求得.再由即可求得,进而得回归方程.
(2)根据回归方程及参考数据,即可求得该男生的体重,进而判断该体重是否位于平均值的1.2倍与0.8倍之间.
【详解】
(1)由已知可得
,
∴
又,
∴
所以
∴回归方程为:
(2)当时,,
而,
,
∴这一在校男生的体重是正常的.
【点睛】
本题考查了非线性回归方程在实际问题中的应用,计算量较为复杂,需要耐心计算,属于中档题.
22.在平面直角坐标系中,如图所示,已知椭圆的左、右顶点分别为
,,右焦点为.设过点的直线,与此椭圆分别交于点,,其中,,.
(1)设动点满足:,求点的轨迹;
(2)设,,求点的坐标;
(3)设,求证:直线必过轴上的一定点(其坐标与无关),并求出该定点的坐标.
【答案】(1) 的轨迹为直线. (2) (3) 直线必过轴上一定点.
【解析】(1)根据椭圆的标准方程可得、、的坐标,设动点.根据条件,结合两点间距离公式,化简即可得解.
(2)根据,代入椭圆方程即可求得、的坐标.进而求得直线与直线的方程.联立两条直线方程即可求得交点的坐标.
(3)设出直线与直线的方程,分别联立椭圆方程即可表示出、的坐标.讨论与,并分别求得的值.即可求得所过定点的坐标.
【详解】
(1)由题设得,,,,设动点,
由,,,
代入化简得.
故点的轨迹为直线
(2)由,,得,则点,
直线的方程为,
由,,得,则点.
直线的方程为,
由.解方程组可得
即
(3)由题设知,直线的方程为:,直线的方程为:,
点满足,,;
点满足,,;
若,且,得,
此时直线的方程为,过点;
若,则,直线的斜率,
直线的斜率,
所以,所以直线过点.
因此直线必过轴上一定点.
【点睛】
本题考查了曲线轨迹方程的求法,点与椭圆的位置关系及直线交点的求法,直线与椭圆的位置关系及过定点问题,综合性强,属于难题.