数学卷·2018届宁夏吴忠市盐池高中高二上学期期末数学试卷（理科）（a卷）+（解析版） 16页

‎2016-2017学年宁夏吴忠市盐池高中高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．下列命题是真命题的为（　　）‎ A．若，则x=y B．若x2=1，则x=1‎ C．若x=y，则 D．若x＜y，则x2＜y2‎ ‎2．椭圆+=1的焦点坐标是（　　）‎ A．（±5，0） B．（0，±5） C．（0，±12） D．（±12，0）‎ ‎3．设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为（　　）‎ A．x2﹣y2=1 B．2x2﹣y2=1 C．2x2﹣2y2=1 D．2x2﹣y2=2‎ ‎4．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题四个命题中，真命题的个数是（　　）‎ A．4 B．2 C．1 D．0‎ ‎5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x ‎6．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．12‎ ‎7．若p是真命题，q是假命题，则（　　）‎ A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题 C．￢p是真命题 D．￢q是真命题 ‎8．已知||=1，||=，且（﹣）和垂直，则与的夹角为（　　）‎ A．60° B．30° C．45° D．135°‎ ‎9．已知A⊊B，则“x∈A”是“x∈B”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10．过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（　　）‎ A．8 B．10 C．14 D．16‎ ‎11．若向量、的坐标满=（﹣2，﹣1，2），=（4，﹣3，﹣2），则•的等于（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣1‎ ‎12．椭圆+=1的离心率为，则k的值为（　　）‎ A．3 B． C．3或 D．或21‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．命题：“∃x0∈R，x0≤1或x02＞4”的否定是　　．‎ ‎14．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于2，那么点P到另一个焦点的距离等于　　．‎ ‎15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为　　．‎ ‎16．抛物线y=2x2上的一点到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．求以椭圆的焦点为焦点，且过点的双曲线的标准方程．‎ ‎18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）两个焦点的坐标分别是（0，5），（0，﹣5），椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；‎ ‎（2）焦点在坐标轴上，且经过A（，﹣2）和B（﹣2，1）两点．‎ ‎19．已知p：∀x∈R，mx2+1＞0，q：∃x∈R，x2+mx+1≤0．‎ ‎（1）求命题p的否定￢p；命题q的否定￢q；‎ ‎（2）若￢p∨￢q为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的一点M的横坐标为3，焦点为F，且|MF|=4．直线l：y=2x﹣4与抛物线C交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若P是x轴上一点，且△PAB的面积等于9，求点P的坐标．‎ ‎21．已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（，0），实轴长为2，经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB中点．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）求直线l的方程．‎ ‎22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点 ‎（1）证明：PE⊥BC ‎（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年宁夏吴忠市盐池高中高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．下列命题是真命题的为（　　）‎ A．若，则x=y B．若x2=1，则x=1‎ C．若x=y，则 D．若x＜y，则x2＜y2‎ ‎【考点】四种命题的真假关系．‎ ‎【分析】逐一判断即可．‎ ‎【解答】解：A、由得=0，则x=y，为真命题；‎ B、由x2=1得x=±1，x不一定为1，为假命题；‎ C、若x=y，不一定有意义，为假命题；‎ D、若x＜y＜0，x2＞y2，为假命题；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．椭圆+=1的焦点坐标是（　　）‎ A．（±5，0） B．（0，±5） C．（0，±12） D．（±12，0）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由a，b，c的关系即可得出焦点坐标．‎ ‎【解答】解：椭圆的方程+=1中a2=169，b2=25，‎ ‎∴c2=a2﹣b2=144，又该椭圆焦点在y轴，‎ ‎∴焦点坐标为：（0，±12）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为（　　）‎ A．x2﹣y2=1 B．2x2﹣y2=1 C．2x2﹣2y2=1 D．2x2﹣y2=2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意确定焦点所在的坐标轴及a，b，c的大小，从而求方程．‎ ‎【解答】解：由题意得，c=，a=1，b=1；‎ 且焦点在x轴上，‎ 则C的方程为x2﹣y2=1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题四个命题中，真命题的个数是（　　）‎ A．4 B．2 C．1 D．0‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据四种命题之间的关系结合逆否命题的等价性进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若a＞b，则ac2＞bc2为假命题．当c=0时，命题不出来了，则逆否命题也为假命题，‎ 命题的逆命题为若ac2＞bc2，则a＞b，为真命题，则命题的否命题为真命题，‎ 即四种命题中真命题的个数为2个，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】运用双曲线的离心率公式可得c2=a2，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．‎ ‎【解答】解：由题意可得e==，‎ 即为c2=a2，‎ 由c2=a2+b2，可得b2=a2，‎ 即a=2b，‎ 双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 即为y=±2x．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．12‎ ‎【考点】椭圆的应用．‎ ‎【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．‎ ‎【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，‎ 由椭圆的定义可知m+n=2a，‎ ‎∴m2+n2+2nm=4a2，‎ ‎∴m2+n2=4a2﹣2nm 由勾股定理可知 m2+n2=4c2，‎ 求得mn=18，‎ 则△F1PF2的面积为9．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．若p是真命题，q是假命题，则（　　）‎ A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题 C．￢p是真命题 D．￢q是真命题 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由已知中p是真命题，q是假命题，根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．‎ ‎【解答】解：若p是真命题，q是假命题，‎ 则p∧q是假命题，A错误；‎ p∨q是真命题，B错误；‎ ‎￢p是假命题，C错误，‎ ‎￢q是真命题，D正确；‎ 故选：D ‎　‎ ‎8．已知||=1，||=，且（﹣）和垂直，则与的夹角为（　　）‎ A．60° B．30° C．45° D．135°‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【分析】设向量与的夹角为α，0°≤α≤180°，由垂直关系可得•（﹣）=0，代入数据可解cosα，可得结论．‎ ‎【解答】解：设向量与的夹角为α，0°≤α≤180°，‎ ‎∵（﹣）和垂直，∴•（﹣）=0，‎ ‎∴﹣=1﹣1××cosα=0，‎ 解得cosα=，α=45°‎ 故选：C ‎　‎ ‎9．已知A⊊B，则“x∈A”是“x∈B”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】直接利用真子集的定义以及充要条件判断即可．‎ ‎【解答】解：A⊊B，说明A是B的真子集，则“x∈A”一定有“x∈B”，反之不成立，所以A⊊B，则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（　　）‎ A．8 B．10 C．14 D．16‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线 y2=16x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+8，由此易得弦长值．‎ ‎【解答】解：由题意，p=8，故抛物线的准线方程是x=﹣4，‎ ‎∵抛物线 y2=16x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点 ‎∴|AB|=x1+x2+8，‎ 又x1+x2=6‎ ‎∴∴|AB|=x1+x2+8=14‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．若向量、的坐标满=（﹣2，﹣1，2），=（4，﹣3，﹣2），则•的等于（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣1‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】由已知求出向量、的坐标，然后利用数量积定义求之．‎ ‎【解答】解：因为向量、的坐标满=（﹣2，﹣1，2），=（4，﹣3，﹣2），‎ 所以向量={1，﹣2，0}、={﹣3，1，2}，‎ 所以•=﹣3﹣2+0=﹣5；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．椭圆+=1的离心率为，则k的值为（　　）‎ A．3 B． C．3或 D．或21‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，依据椭圆焦点的不同位置分2种情况讨论：①、当k＜4时，其焦点在x轴上，②、当k＞4时，其焦点在y轴上，每种情况下求出a、b、c的值，表示出离心率，进而结合题意可得关于k的方程，解可得k的值，综合可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，椭圆方程为+=1，分2种情况讨论：‎ ‎①、当k＜4时，其焦点在x轴上，‎ 此时有a==2，b=，则c=，‎ 若其离心率为，即e===，‎ 解可得k=3，‎ ‎②、当k＞4时，其焦点在y轴上，‎ 此时有b==2，a=，则c=，‎ 若其离心率为，即e===，‎ 解可得k=，‎ 综合可得：k=3或；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．命题：“∃x0∈R，x0≤1或x02＞4”的否定是　∀x∈R，x＞1且　．‎ ‎【考点】特称命题；命题的否定．‎ ‎【分析】利用特称命题的否定是全称命题，直接写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“∃x0∈R，x0≤1或x02＞4”的否定是：∀x∈R，x＞1且．‎ 故答案为：∀x∈R，x＞1且．‎ ‎　‎ ‎14．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于2，那么点P到另一个焦点的距离等于　2　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a的值，由椭圆的定义可得椭圆上一点P到它的2个焦点的距离之和为2a=4，结合题意即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为： +=1，‎ 则其焦点在x轴上，且a==2，‎ 若椭圆上一点P到它的一个焦点的距离等于2，那么点P到另一个焦点的距离为2a﹣2=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．‎ ‎【解答】解：∵PF1⊥PF2，‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．‎ ‎∵双曲线方程为x2﹣y2=1，‎ ‎∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8‎ 又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，‎ ‎∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4‎ 因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12‎ ‎∴|PF1|+|PF2|的值为 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．抛物线y=2x2上的一点到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的定义可得M到准线y=﹣的距离为1，从而得出M的纵坐标．‎ ‎【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=．‎ ‎∴抛物线的准线方程为：y=﹣，‎ ‎∵点M到焦点的距离为1，‎ ‎∴点M到准线的距离为1，即yM+=1．‎ ‎∴yM=．‎ 故答案为；．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．求以椭圆的焦点为焦点，且过点的双曲线的标准方程．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为，代入点的坐标，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上 设双曲线的标准方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 根据题意，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 解得或（不合题意舍去）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴双曲线的标准方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）两个焦点的坐标分别是（0，5），（0，﹣5），椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；‎ ‎（2）焦点在坐标轴上，且经过A（，﹣2）和B（﹣2，1）两点．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求出椭圆的方程；‎ ‎（2）设出椭圆方程，代入点的坐标，建立方程组，即可求得椭圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，2a=26，c=5，∴a=13，b=12，‎ ‎∴椭圆的标准方程： =1；‎ ‎（2）依题意，可设椭圆的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），则 点A（，﹣2）和B（﹣2，1）代入可得，‎ ‎∴m=，n=，‎ ‎∴椭圆的标准方程为=1．‎ ‎　‎ ‎19．已知p：∀x∈R，mx2+1＞0，q：∃x∈R，x2+mx+1≤0．‎ ‎（1）求命题p的否定￢p；命题q的否定￢q；‎ ‎（2）若￢p∨￢q为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假；复合命题．‎ ‎【分析】（1）根据命题的否定求出￢p，￢q即可；（2）分别求出￢p，￢q为真时的m的范围，结合若￢p∨￢q为真命题，从而求出实数m的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵p：∀x∈R，mx2+1＞0，q：∃x∈R，x2+mx+1≤0，‎ ‎∴￢p：∃x∈R，mx2+1≤0，￢q：∀x∈R，x2+mx+1＞0．‎ ‎（2）由（1）若￢p为真命题，则m＜0，‎ 若命题￢q是真命题，‎ 则有△=m2﹣4＜0，‎ 解得：﹣2＜m＜2，‎ 若￢p∨￢q为真命题，‎ 则￢p，￢q至少有一个为真，‎ ‎∴m的范围是：m＜2．‎ ‎　‎ ‎20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的一点M的横坐标为3，焦点为F，且|MF|=4．直线l：y=2x﹣4与抛物线C交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若P是x轴上一点，且△PAB的面积等于9，求点P的坐标．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）代入计算即可得出答案；‎ ‎（Ⅱ）先求出AB的长度，再根据三角形的面积公式，即可求得点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意得， +3=4，∴p=2，‎ ‎∴抛物线方程为C：y2=4x；‎ ‎（Ⅱ）将直线方程与抛物线的方程进行联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 可得，y2﹣2y﹣8=0，∴A（1，﹣2），B（4，4），‎ ‎∴|AB|==3，‎ 设P（a，0），P到直线AB的距离为d，则d==，‎ 又S△ABP=|AB|•d，‎ 代入计算可得，|a﹣2|=3，‎ ‎∴a=5或a=﹣1，‎ 故点P的坐标为（5，0）和（﹣1，0）‎ ‎　‎ ‎21．已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（，0），实轴长为2，经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB中点．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）求直线l的方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）根据条件建立方程关系求出a，b，c的值即可求双曲线C的方程；‎ ‎（2）联立直线和双曲线，根据中点坐标公式，利用设而不求的思想，求出直线的斜率即可求直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由已知：2a=2，c=．‎ ‎∴a=1，b2=c2﹣a2=2…‎ 所以双曲线C的方程为x2﹣=1…‎ ‎（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 并设经过点M的直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），即y=kx+1﹣2k…‎ 把y=kx+1﹣2k代入双曲线C的方程x2﹣=1，‎ 得（2﹣k2）x2﹣2k（1﹣2k）x﹣（1﹣2k）2﹣2=0，（2﹣k2≠0）①…‎ 所以xM==…‎ 解得k=4．…‎ 当k=4时，方程①成为 14x2﹣56x+51=0 ‎ 根的判别式△=562﹣56×51=280＞0，方程①有实数解．…‎ 所以，直线l的方程为y=4x﹣7…‎ ‎　‎ ‎22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点 ‎（1）证明：PE⊥BC ‎（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．‎ ‎【考点】用向量证明垂直；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．‎ ‎（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．‎ ‎（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，‎ 求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．‎ ‎【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，‎ 建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）‎ ‎（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）‎ 则．‎ 可得．‎ 因为 所以PE⊥BC．‎ ‎（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），‎ 设=（x，y，z）为平面PEH的法向量 则即 因此可以取，‎ 由，‎ 可得 所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．‎ ‎　‎