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  • 2021-06-12 发布

数学卷·2018届宁夏吴忠市盐池高中高二上学期期末数学试卷(理科)(a卷)+(解析版)

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‎2016-2017学年宁夏吴忠市盐池高中高二(上)期末数学试卷(理科)(A卷)‎ ‎ ‎ 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.下列命题是真命题的为(  )‎ A.若,则x=y B.若x2=1,则x=1‎ C.若x=y,则 D.若x<y,则x2<y2‎ ‎2.椭圆+=1的焦点坐标是(  )‎ A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0)‎ ‎3.设双曲线C的两个焦点为(﹣,0),(,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为(  )‎ A.x2﹣y2=1 B.2x2﹣y2=1 C.2x2﹣2y2=1 D.2x2﹣y2=2‎ ‎4.已知a,b,c都是实数,则在命题“若a>b,则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题四个命题中,真命题的个数是(  )‎ A.4 B.2 C.1 D.0‎ ‎5.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x ‎6.椭圆的焦点F1,F2,P为椭圆上的一点,已知PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积为(  )‎ A.8 B.9 C.10 D.12‎ ‎7.若p是真命题,q是假命题,则(  )‎ A.p∧q是真命题 B.p∨q是假命题 C.¬p是真命题 D.¬q是真命题 ‎8.已知||=1,||=,且(﹣)和垂直,则与的夹角为(  )‎ A.60° B.30° C.45° D.135°‎ ‎9.已知A⊊B,则“x∈A”是“x∈B”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎10.过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=(  )‎ A.8 B.10 C.14 D.16‎ ‎11.若向量、的坐标满=(﹣2,﹣1,2),=(4,﹣3,﹣2),则•的等于(  )‎ A.5 B.﹣5 C.7 D.﹣1‎ ‎12.椭圆+=1的离心率为,则k的值为(  )‎ A.3 B. C.3或 D.或21‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.命题:“∃x0∈R,x0≤1或x02>4”的否定是  .‎ ‎14.椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于2,那么点P到另一个焦点的距离等于  .‎ ‎15.已知双曲线x2﹣y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为  .‎ ‎16.抛物线y=2x2上的一点到焦点的距离为1,则点M的纵坐标为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17.求以椭圆的焦点为焦点,且过点的双曲线的标准方程.‎ ‎18.求适合下列条件的椭圆的标准方程:‎ ‎(1)两个焦点的坐标分别是(0,5),(0,﹣5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26;‎ ‎(2)焦点在坐标轴上,且经过A(,﹣2)和B(﹣2,1)两点.‎ ‎19.已知p:∀x∈R,mx2+1>0,q:∃x∈R,x2+mx+1≤0.‎ ‎(1)求命题p的否定¬p;命题q的否定¬q;‎ ‎(2)若¬p∨¬q为真命题,求实数m的取值范围.‎ ‎20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点M的横坐标为3,焦点为F,且|MF|=4.直线l:y=2x﹣4与抛物线C交于A,B两点.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若P是x轴上一点,且△PAB的面积等于9,求点P的坐标.‎ ‎21.已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的一个焦点为F(,0),实轴长为2,经过点M(2,1)作直线l交双曲线C于A,B两点,且M为AB中点.‎ ‎(1)求双曲线C的方程;‎ ‎(2)求直线l的方程.‎ ‎22.如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点 ‎(1)证明:PE⊥BC ‎(2)若∠APB=∠ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年宁夏吴忠市盐池高中高二(上)期末数学试卷(理科)(A卷)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.下列命题是真命题的为(  )‎ A.若,则x=y B.若x2=1,则x=1‎ C.若x=y,则 D.若x<y,则x2<y2‎ ‎【考点】四种命题的真假关系.‎ ‎【分析】逐一判断即可.‎ ‎【解答】解:A、由得=0,则x=y,为真命题;‎ B、由x2=1得x=±1,x不一定为1,为假命题;‎ C、若x=y,不一定有意义,为假命题;‎ D、若x<y<0,x2>y2,为假命题;‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎2.椭圆+=1的焦点坐标是(  )‎ A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0)‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由a,b,c的关系即可得出焦点坐标.‎ ‎【解答】解:椭圆的方程+=1中a2=169,b2=25,‎ ‎∴c2=a2﹣b2=144,又该椭圆焦点在y轴,‎ ‎∴焦点坐标为:(0,±12).‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.设双曲线C的两个焦点为(﹣,0),(,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为(  )‎ A.x2﹣y2=1 B.2x2﹣y2=1 C.2x2﹣2y2=1 D.2x2﹣y2=2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由题意确定焦点所在的坐标轴及a,b,c的大小,从而求方程.‎ ‎【解答】解:由题意得,c=,a=1,b=1;‎ 且焦点在x轴上,‎ 则C的方程为x2﹣y2=1.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎4.已知a,b,c都是实数,则在命题“若a>b,则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题四个命题中,真命题的个数是(  )‎ A.4 B.2 C.1 D.0‎ ‎【考点】四种命题.‎ ‎【分析】根据四种命题之间的关系结合逆否命题的等价性进行判断即可.‎ ‎【解答】解:若a>b,则ac2>bc2为假命题.当c=0时,命题不出来了,则逆否命题也为假命题,‎ 命题的逆命题为若ac2>bc2,则a>b,为真命题,则命题的否命题为真命题,‎ 即四种命题中真命题的个数为2个,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎5.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】运用双曲线的离心率公式可得c2=a2,由a,b,c的关系和双曲线的渐近线方程,计算即可得到所求方程.‎ ‎【解答】解:由题意可得e==,‎ 即为c2=a2,‎ 由c2=a2+b2,可得b2=a2,‎ 即a=2b,‎ 双曲线的渐近线方程为y=±x,‎ 即为y=±2x.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.椭圆的焦点F1,F2,P为椭圆上的一点,已知PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积为(  )‎ A.8 B.9 C.10 D.12‎ ‎【考点】椭圆的应用.‎ ‎【分析】先设出|PF1|=m,|PF2|=n,利用椭圆的定义求得n+m的值,平方后求得mn和m2+n2的关系,代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值,即可求出△F1PF2的面积.‎ ‎【解答】解:设|PF1|=m,|PF2|=n,‎ 由椭圆的定义可知m+n=2a,‎ ‎∴m2+n2+2nm=4a2,‎ ‎∴m2+n2=4a2﹣2nm 由勾股定理可知 m2+n2=4c2,‎ 求得mn=18,‎ 则△F1PF2的面积为9.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎7.若p是真命题,q是假命题,则(  )‎ A.p∧q是真命题 B.p∨q是假命题 C.¬p是真命题 D.¬q是真命题 ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】由已知中p是真命题,q是假命题,根据复合命题真假判断的真值表,可得答案.‎ ‎【解答】解:若p是真命题,q是假命题,‎ 则p∧q是假命题,A错误;‎ p∨q是真命题,B错误;‎ ‎¬p是假命题,C错误,‎ ‎¬q是真命题,D正确;‎ 故选:D ‎ ‎ ‎8.已知||=1,||=,且(﹣)和垂直,则与的夹角为(  )‎ A.60° B.30° C.45° D.135°‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角.‎ ‎【分析】设向量与的夹角为α,0°≤α≤180°,由垂直关系可得•(﹣)=0,代入数据可解cosα,可得结论.‎ ‎【解答】解:设向量与的夹角为α,0°≤α≤180°,‎ ‎∵(﹣)和垂直,∴•(﹣)=0,‎ ‎∴﹣=1﹣1××cosα=0,‎ 解得cosα=,α=45°‎ 故选:C ‎ ‎ ‎9.已知A⊊B,则“x∈A”是“x∈B”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】直接利用真子集的定义以及充要条件判断即可.‎ ‎【解答】解:A⊊B,说明A是B的真子集,则“x∈A”一定有“x∈B”,反之不成立,所以A⊊B,则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎10.过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=(  )‎ A.8 B.10 C.14 D.16‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】抛物线 y2=16x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点,故|AB|=x1+x2+8,由此易得弦长值.‎ ‎【解答】解:由题意,p=8,故抛物线的准线方程是x=﹣4,‎ ‎∵抛物线 y2=16x 的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点 ‎∴|AB|=x1+x2+8,‎ 又x1+x2=6‎ ‎∴∴|AB|=x1+x2+8=14‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎11.若向量、的坐标满=(﹣2,﹣1,2),=(4,﹣3,﹣2),则•的等于(  )‎ A.5 B.﹣5 C.7 D.﹣1‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算.‎ ‎【分析】由已知求出向量、的坐标,然后利用数量积定义求之.‎ ‎【解答】解:因为向量、的坐标满=(﹣2,﹣1,2),=(4,﹣3,﹣2),‎ 所以向量={1,﹣2,0}、={﹣3,1,2},‎ 所以•=﹣3﹣2+0=﹣5;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.椭圆+=1的离心率为,则k的值为(  )‎ A.3 B. C.3或 D.或21‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】根据题意,依据椭圆焦点的不同位置分2种情况讨论:①、当k<4时,其焦点在x轴上,②、当k>4时,其焦点在y轴上,每种情况下求出a、b、c的值,表示出离心率,进而结合题意可得关于k的方程,解可得k的值,综合可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,椭圆方程为+=1,分2种情况讨论:‎ ‎①、当k<4时,其焦点在x轴上,‎ 此时有a==2,b=,则c=,‎ 若其离心率为,即e===,‎ 解可得k=3,‎ ‎②、当k>4时,其焦点在y轴上,‎ 此时有b==2,a=,则c=,‎ 若其离心率为,即e===,‎ 解可得k=,‎ 综合可得:k=3或;‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.命题:“∃x0∈R,x0≤1或x02>4”的否定是 ∀x∈R,x>1且 .‎ ‎【考点】特称命题;命题的否定.‎ ‎【分析】利用特称命题的否定是全称命题,直接写出结果即可.‎ ‎【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题:“∃x0∈R,x0≤1或x02>4”的否定是:∀x∈R,x>1且.‎ 故答案为:∀x∈R,x>1且.‎ ‎ ‎ ‎14.椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于2,那么点P到另一个焦点的距离等于 2 .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】根据题意,由椭圆的标准方程可得a的值,由椭圆的定义可得椭圆上一点P到它的2个焦点的距离之和为2a=4,结合题意即可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,椭圆的标准方程为: +=1,‎ 则其焦点在x轴上,且a==2,‎ 若椭圆上一点P到它的一个焦点的距离等于2,那么点P到另一个焦点的距离为2a﹣2=2,‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎15.已知双曲线x2﹣y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为  .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1,可得焦距F1F2=2,因为PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.再结合双曲线的定义,得到|PF1|﹣|PF2|=±2,最后联解、配方,可得(|PF1|+|PF2|)2=12,从而得到|PF1|+|PF2|的值为.‎ ‎【解答】解:∵PF1⊥PF2,‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.‎ ‎∵双曲线方程为x2﹣y2=1,‎ ‎∴a2=b2=1,c2=a2+b2=2,可得F1F2=2‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8‎ 又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点,‎ ‎∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2,(|PF1|﹣|PF2|)2=4‎ 因此(|PF1|+|PF2|)2=2(|PF1|2+|PF2|2)﹣(|PF1|﹣|PF2|)2=12‎ ‎∴|PF1|+|PF2|的值为 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎16.抛物线y=2x2上的一点到焦点的距离为1,则点M的纵坐标为  .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】根据抛物线的定义可得M到准线y=﹣的距离为1,从而得出M的纵坐标.‎ ‎【解答】解:抛物线的标准方程为:x2=.‎ ‎∴抛物线的准线方程为:y=﹣,‎ ‎∵点M到焦点的距离为1,‎ ‎∴点M到准线的距离为1,即yM+=1.‎ ‎∴yM=.‎ 故答案为;.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17.求以椭圆的焦点为焦点,且过点的双曲线的标准方程.‎ ‎【考点】双曲线的标准方程.‎ ‎【分析】由椭圆的标准方程可知,椭圆的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为,代入点的坐标,即可求得结论.‎ ‎【解答】解:由椭圆的标准方程可知,椭圆的焦点在x轴上 设双曲线的标准方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 根据题意,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 解得或(不合题意舍去)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴双曲线的标准方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎ ‎ ‎18.求适合下列条件的椭圆的标准方程:‎ ‎(1)两个焦点的坐标分别是(0,5),(0,﹣5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26;‎ ‎(2)焦点在坐标轴上,且经过A(,﹣2)和B(﹣2,1)两点.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】(1)利用椭圆的定义求出a,可得b,即可求出椭圆的方程;‎ ‎(2)设出椭圆方程,代入点的坐标,建立方程组,即可求得椭圆的标准方程.‎ ‎【解答】解:(1)由题意,2a=26,c=5,∴a=13,b=12,‎ ‎∴椭圆的标准方程: =1;‎ ‎(2)依题意,可设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),则 点A(,﹣2)和B(﹣2,1)代入可得,‎ ‎∴m=,n=,‎ ‎∴椭圆的标准方程为=1.‎ ‎ ‎ ‎19.已知p:∀x∈R,mx2+1>0,q:∃x∈R,x2+mx+1≤0.‎ ‎(1)求命题p的否定¬p;命题q的否定¬q;‎ ‎(2)若¬p∨¬q为真命题,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】复合命题的真假;复合命题.‎ ‎【分析】(1)根据命题的否定求出¬p,¬q即可;(2)分别求出¬p,¬q为真时的m的范围,结合若¬p∨¬q为真命题,从而求出实数m的取值范围即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵p:∀x∈R,mx2+1>0,q:∃x∈R,x2+mx+1≤0,‎ ‎∴¬p:∃x∈R,mx2+1≤0,¬q:∀x∈R,x2+mx+1>0.‎ ‎(2)由(1)若¬p为真命题,则m<0,‎ 若命题¬q是真命题,‎ 则有△=m2﹣4<0,‎ 解得:﹣2<m<2,‎ 若¬p∨¬q为真命题,‎ 则¬p,¬q至少有一个为真,‎ ‎∴m的范围是:m<2.‎ ‎ ‎ ‎20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点M的横坐标为3,焦点为F,且|MF|=4.直线l:y=2x﹣4与抛物线C交于A,B两点.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若P是x轴上一点,且△PAB的面积等于9,求点P的坐标.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】(Ⅰ)代入计算即可得出答案;‎ ‎(Ⅱ)先求出AB的长度,再根据三角形的面积公式,即可求得点P的坐标.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)依题意得, +3=4,∴p=2,‎ ‎∴抛物线方程为C:y2=4x;‎ ‎(Ⅱ)将直线方程与抛物线的方程进行联立,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 可得,y2﹣2y﹣8=0,∴A(1,﹣2),B(4,4),‎ ‎∴|AB|==3,‎ 设P(a,0),P到直线AB的距离为d,则d==,‎ 又S△ABP=|AB|•d,‎ 代入计算可得,|a﹣2|=3,‎ ‎∴a=5或a=﹣1,‎ 故点P的坐标为(5,0)和(﹣1,0)‎ ‎ ‎ ‎21.已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的一个焦点为F(,0),实轴长为2,经过点M(2,1)作直线l交双曲线C于A,B两点,且M为AB中点.‎ ‎(1)求双曲线C的方程;‎ ‎(2)求直线l的方程.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】(1)根据条件建立方程关系求出a,b,c的值即可求双曲线C的方程;‎ ‎(2)联立直线和双曲线,根据中点坐标公式,利用设而不求的思想,求出直线的斜率即可求直线l的方程.‎ ‎【解答】解:(1)由已知:2a=2,c=.‎ ‎∴a=1,b2=c2﹣a2=2…‎ 所以双曲线C的方程为x2﹣=1…‎ ‎(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 并设经过点M的直线l的方程为y﹣1=k(x﹣2),即y=kx+1﹣2k…‎ 把y=kx+1﹣2k代入双曲线C的方程x2﹣=1,‎ 得(2﹣k2)x2﹣2k(1﹣2k)x﹣(1﹣2k)2﹣2=0,(2﹣k2≠0)①…‎ 所以xM==…‎ 解得k=4.…‎ 当k=4时,方程①成为 14x2﹣56x+51=0 ‎ 根的判别式△=562﹣56×51=280>0,方程①有实数解.…‎ 所以,直线l的方程为y=4x﹣7…‎ ‎ ‎ ‎22.如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点 ‎(1)证明:PE⊥BC ‎(2)若∠APB=∠ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.‎ ‎【考点】用向量证明垂直;直线与平面所成的角.‎ ‎【分析】以H为原点,HA,HB,HP分别为x,y,z轴,线段HA的长为单位长,建立空间直角坐标系.‎ ‎(1)表示,,计算,就证明PE⊥BC.‎ ‎(2)∠APB=∠ADB=60°,求出C,P的坐标,再求平面PEH的法向量,‎ 求向量,然后求与面PEH的法向量的数量积,可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.‎ ‎【解答】解:以H为原点,HA,HB,HP分别为x,y,z轴,线段HA的长为单位长,‎ 建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),B(0,1,0)‎ ‎(Ⅰ)设C(m,0,0),P(0,0,n)(m<0,n>0)‎ 则.‎ 可得.‎ 因为 所以PE⊥BC.‎ ‎(Ⅱ)由已知条件可得m=,n=1,故C(﹣),‎ 设=(x,y,z)为平面PEH的法向量 则即 因此可以取,‎ 由,‎ 可得 所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.‎ ‎ ‎