2018-2019学年江苏省启东中学高二下学期期中考试数学试题 Word版 17页

江苏省启东中学2018-2019学年度第二学期期中考试 高二数学 命题人：蔡罡 一、 填空题（本大题共14小题，每题5分，共计70分）‎ ‎1.从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个事件是 . (填“必然”，“不可能”或“随机”)事件．‎ ‎2.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为20秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为35秒，那么你看到红灯的概率是 .‎ ‎3.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷三次，恰好出现一次正面向上的概率是 . ‎ ‎4.从1,2,3,4这四个数中随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 .‎ ‎5.函数（0，）的极小值为 .‎ ‎6.设点是曲线上的任意一点，则到直线的距离的最小值为 .‎ ‎7.某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为 .‎ ‎8.曲线y＝＋x+2在点(0,3)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .‎ ‎9.函数的单调减区间为 . ‎ ‎10.已知a>0，函数f(x)＝x(x－a)2和g(x)＝－x2＋(a－1)x＋a存在相同的极值点，则a＝_______.‎ ‎11.若函数，则等于 .‎ ‎12.已知函数f(x)＝x3+2x．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．　‎ ‎13.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为 .‎ ‎14.已知f(x)=，若关于的方程恰好有 4 个 不相等的实数解，则实数的取值范围为 . ‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分）‎ ‎15. （本小题满分14分）‎ 袋中有7个球，其中4个白球，3个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率：‎ ‎(1)A：取出的2个球都是白球； (2)B：取出的2个球中1个是白球，另1个是红球．‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为，在处有极值．‎ 求的解析式．‎ 求在上的最小值．‎ ‎17.（本小题满分15分）‎ 已知函数 ‎（1当a=-2,b=3时，若方程m=0的有1个实根，求m的值；‎ ‎（2）当时，若f(x)在(0，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎18. (本小题满分15分)‎ 已知函数，．‎ ‎（1）若是的极值点， 求函数的单调性；‎ ‎（2）若时，，求的取值范围．‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 如图是一个半径为2千米，圆心角为的扇形游览区的平面示意图．C是半径OB上一点，D是圆弧上一点，且CD∥OA.现在线段OC，线段CD及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每千米为2a元，线段CD及圆弧处每千米均为a元．设∠AOD＝x弧度，广告位出租的总收入为y元．‎ ‎(1)求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；‎ ‎(2)试问：x为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝λ(x2－1)(λ为常数)．‎ ‎(1)若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)在x＝1处有相同的切线，求实数λ的值；‎ ‎(2)若λ＝，且x≥1，求证：f(x)≤g(x)；‎ ‎(3)若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数λ的取值范围．‎ 江苏省启东中学2018-2019学年度第二学期期中考试 高二数学 命题人：蔡罡 一、 填空题（本大题共14小题，每题5分，共计70分）‎ ‎1.从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个事件是 (填“必然”，“不可能”或“随机”)事件．必然 ‎2.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为20秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为35秒，那么你看到红灯的概率是 ‎ ‎3.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷三次，恰好出现一次正面向上的概率是 ‎ ‎4.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ‎5. 函数（0，）的极小值为 .‎ ‎6.设点是曲线上的任意一点，则到直线的距离的最小值为 .‎ ‎7.某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为 ‎8.曲线y＝＋x+2在点(0,3)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ‎ ‎9.函数的单调减区间为 . ‎ ‎10.已知a>0，函数f(x)＝x(x－a)2和g(x)＝－x2＋(a－1)x＋a存在相同的极值点，则a＝________.3　‎ ‎11.若函数，则等于 .‎ ‎12. 已知函数f(x)＝x3+2x．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．　‎ 解析：因为f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．因为f′(x)＝3x2+2≥2，所以函数f(x)在R上单调递增．又f(a－1)＋f(2a2)≤0，即f(2a2)≤f(1－a)，所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，故实数a的取值范围是.‎ ‎13. 已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数若 ‎，则实数m的取值范围为 .‎ 解析：令，，‎ 则，‎ ‎，，‎ 函数在递减，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，即，‎ 故，解得：，‎ 故.‎ ‎14.已知f(x)=，若关于的方程恰好有 4 个不相等的实数解，则实数的取值范围为 . （）‎ 解析：方程得，‎ f（x）＝1或f（x）＝-m﹣1；‎ 解f（x）＝1得x＝0，‎ 故方程f（x）＝-m﹣1有3个不是0的根；‎ 当x≥1时，‎ f（x），f′（x）；‎ 故f（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；‎ f（1）＝0，f（e），且x>1时，；‎ 当x＜1时，‎ f（x）＝在（﹣∞，1）上是减函数；故f（x）的大致图像如下：‎ 故若使方程f（x）＝-m﹣1有3个不是0的根，‎ 则0＜-m﹣1；‎ 即m＜-1；所以实数的取值范围为（），‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分）‎ ‎15. （本小题满分14分）‎ 袋中有7个球，其中4个白球，3个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率：‎ ‎(1)A：取出的2个球都是白球； (2)B：取出的2个球中1个是白球，另1个是红球．‎ ‎【解析】‎ 设4个白球的编号为1,2,3,4,3个红球的编号为5,6，7，从袋中的7个小球中任取2个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7) ，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7) ，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7) ，(4,5)，(4,6)，(4,7) ，(5,6)， (5,7) ，(6,7) ，共21种．…6分 ‎(1)从袋中的7个球中任取2个，所取的2个球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取2个的方法总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的2个球全是白球的概率为P(A)＝ ……………………10分 ‎(2)从袋中的7个球中任取2个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(1,7) ，(2,5)，(2,6)，(2,7) ，(3,5)，(3,6)，(3,7) ，(4,5)，(4,6) ，(4,7) ，共12种．‎ ‎∴取出的2个球中1个是白球，另1个是红球的概率为P(B)＝. …………14分 ‎16. (本小题满分14分)‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为，‎ 在处有极值．‎ 求的解析式．‎ 求在上的最小值．‎ ‎【解析】‎ 解：，．‎ ‎  ……………………1分 曲线在点P处的切线方程为，‎ 即 ‎  ……………………3分 在处有极值，所以，‎ ‎   ……………………5分 由得，，，‎ 所以……………………7分 由知．‎ 令，得，．……………………9分 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，，……………………11分 ‎．‎ 又因，所以在区间上的最小值为．……………………14分 ‎17.（本小题满分15分）‎ 已知函数 ‎（1当a=-2,b=3时，若方程m=0的有1个实根，求m的值；‎ ‎（2）当时，若f(x)在(0，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎【解析】‎ ‎ ……………………2分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……………………5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……………………7分 ‎（2）当时，，‎ ‎∴‎ 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，‎ ‎∴‎ ‎∴，而 ‎ 即 ‎∴‎ 故a的取值范围是……………………15分 ‎18. (本小题满分15分)‎ 已知函数，．‎ ‎（1）若是的极值点， 求函数的单调性；‎ ‎（2）若时，，求的取值范围．‎ ‎【解析】‎ ‎（1），.‎ 因为是的极值点，‎ 所以，可得．……………………1分 所以，. ……………………2分 因为在上单调递增，且时，，……………………4分 所以时，，，单调递减；‎ 时， ，，单调递增．‎ 故在上单调递减，在上单调递增．……………………7分 ‎（2）由得，‎ 因为，所以. ……………………8分 设，‎ 则. ‎ 令，……………………10分 则，‎ 显然在内单调递减，且，‎ 所以时，，单调递减，……………………12分 ‎ 则，即，‎ 所以在内单减，从而.‎ 所以. ……………………15分 ‎19. (本小题满分16分)‎ 如图是一个半径为2千米，圆心角为的扇形游览区的平面示意图．C是半径OB上一点，D是圆弧上一点，且CD∥OA.现在线段OC，线段CD及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每千米为2a元，线段CD及圆弧处每千米均为a元．设∠AOD＝x弧度，广告位出租的总收入为y元．‎ ‎(1)求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；‎ ‎(2)试问：x为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．‎ ‎【解析】‎ ‎ (1)因为CD∥OA，所以∠ODC＝∠AOD＝xrad.‎ 在△OCD中，∠OCD＝，∠COD＝－x，OD＝2km.‎ 由正弦定理，得＝＝＝，‎ 得OC＝sinxkm，CD＝sinkm. ……………………4分 又圆弧DB长为2km，‎ 所以y＝2a×sinx＋a×[sin＋2]‎ ‎＝2a，x∈.……………………8分 ‎(2)记f(x)＝2a，‎ 则f′(x)＝2a(cosx－sinx－1)＝2a，‎ 令f′(x)＝0，得x＝.……………………10分 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：‎ x f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ 递增 极大值 递减 所以f(x)在x＝处取得极大值，这个极大值就是最大值，即f＝2a×＝2a.‎ 故当x＝时，广告位出租的总收入最大，最大值为2a元．……………………16分 ‎20. (本小题满分16分)‎ 已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝λ(x2－1)(λ为常数)．‎ ‎(1)若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)在x＝1处有相同的切线，求实数λ的值；‎ ‎(2)若λ＝，且x≥1，求证：f(x)≤g(x)；‎ ‎(3)若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎【解析】‎ ‎ (1)：f′(x)＝lnx＋1，则f′(1)＝1且f(1)＝0.‎ 所以函数y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1，……………………2分 从而g′(1)＝2λ＝1，即λ＝.……………………4分 ‎(2)证明：设函数h(x)＝xlnx－(x2－1)，则h′(x)＝lnx＋1－x.‎ 设p(x)＝lnx＋1－x，从而p′(x)＝－1≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，…………………6分 所以p(x)＝lnx＋1－x≤p(1)＝0，即h′(x)≤0，‎ 因此函数h(x)＝xlnx－(x2－1)在[1，＋∞)上单调递减，‎ 即h(x)≤h(1)＝0，‎ 所以当x≥1时，f(x)≤g(x)恒成立．……………………8分 ‎(3)解：设函数H(x)＝xlnx－λ(x2－1)，‎ 从而对任意x∈[1，＋∞)，不等式H(x)≤0＝H(1)恒成立．‎ 又H′(x)＝lnx＋1－2λx，‎ 当H′(x)＝lnx＋1－2λx≤0，即≤2λ恒成立时，‎ 函数H(x)单调递减．……………………10分 设r(x)＝，则r′(x)＝≤0，‎ 所以r(x)max＝r(1)＝1，即1≤2λ，解得λ≥，符合题意；……………………12分 当λ≤0时，H′(x)＝lnx＋1－2λx≥0恒成立，此时函数H(x)单调递增．‎ 于是，不等式H(x)≥H(1)＝0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意；‎ 当0<λ<时，设q(x)＝H′(x)＝lnx＋1－2λx，‎ 则q′(x)＝－2λ＝0，解得x＝>1，……………………14分 当x∈时，q′(x)＝－2λ>0，此时q(x)＝H′(x)＝lnx＋1－2λx单调递增，‎ 所以H′(x)＝lnx＋1－2λx>H′(1)＝1－2λ>0，‎ 故当x∈时，函数H(x)单调递增．‎ 于是当x∈时，H(x)>0成立，不符合题意．‎ 综上所述，实数λ的取值范围是[，＋∞)．……………………16分 ‎（用洛必达定理求可适当给分）‎ 江苏省启东中学2018-2019学年度第二学期期中考试 ‎ 高二数学附加题 命题人：蔡罡 ‎（本大题共4小题，每题10分，共计40分）‎ ‎1. 求下列函数的导函数 ‎（1） （2）‎ 解：（1） ‎ ‎ （2）‎ ‎2.有4个不同的球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内． ‎ ‎（1）共有多少种放法？（用数字作答）‎ ‎（2）恰有一个盒不放球，有多少种放法？（用数字作答）‎ 解：（1）每个球都有4种方法，故有：种 种不同的放法 ‎（2）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有：种不同的放法． ‎ ‎3. 在“五四青年节”到来之际，启东中学将开展一系列的读书教育活动.为了解高二学生读书教育情况，决定采用分层抽样的方法从高二年级A、B、C、D四个社团中随机抽取12名学生参加问卷调査.已知各社团人数统计如下：‎ ‎ ‎ ‎（1）若从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一个社团的概率；‎ ‎（2）在参加问卷调查的12名学生中，从来自A、B、D三个社团的学生中随机抽取3名，用表示从社团抽得学生的人数，求的分布列和数学期望.‎ ‎3. 解：（1）A、B、C、D社团共有学生名，‎ 抽取名学生，抽取比例为.‎ 则抽取的名学生中，社团名，社团名，社团名，社团名.‎ 则名学生抽取名学生，来自同一个社团的概率为 ：‎ ‎.‎ ‎（2）12名学生中来自三个社团的学生共有名，若从中任取名，抽取社团的人数服从超几何分布，的取值为 则的分布列为 ‎ ‎ 在该超几何分布中，‎ 所以数学期望 ‎4、已知二项式.‎ ‎（1）若它的二项式系数之和为.求展开式中系数最大的项；‎ ‎（2）若，求二项式的值被除的余数.‎ ‎4、解：（1）‎ 展开式中系数最大的项为第项 ‎.‎ ‎（2）‎ 转化为被除的余数，，即余数为。‎