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- 2021-06-12 发布
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三台中学实验学校 2019 年秋季 2017 级高三上期入学
考试
理科数学试题
一.选择题(本大题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分)
1.若集合 2{ | 2 0}A x x x ,则 RC A
A.(0,2) B.[0,2] C. ,0 D. 2,
2.若集合 { |1 2}A x x , ,B x x b b R ,则 A B 的一个充分不必要条
件是
A. 2b B.1 2b C. 1b D. 1b
3.命题 :p “a b ”是“2 2a b ”的充要条件; : , lnxq x R e x ,则
A. p q 为真命题 B. p q 为假命题
C. p q 为真命题 D. p q 为真命题
4. 4 43 3
3131324
A. 13 B. 31 C. 333 D. 333
5.给出四个命题:①映射就是一个函数;② ( ) lg( 3) 2f x x x 是函数;③
函数 (= )y f x 的图象与 y 轴最多有一个交点;④ 3( )f x x 与 ( )g x x x 表示
同一个函数.其中正确的有
A.1个 B. 2 个 C.3 个 D.4 个
6.已知函数 1
2
x
f x
,若 0.3
22 , 2 , log 5a f b f c f ,则 , ,a b c 的大小
关系为
A.c b a B. a b c C.c a b
D.b c a
7.定义在 R 上的函数 f x 满足
0,21
0,2 2
xxfxf
xxf
x
,则 2019f
A. 1 B. 0 C.2 D.1
8.将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中, mint 后甲桶剩余的水量符合指数衰减
曲线 nty ae ,假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等,若再过 minm 甲桶中的
水只有
4
a 升,则 m 的值为
A.10 B.9 C.8 D.5
9.已知函数 ( )y f x 的定义域为 ,1 1, ,且 ( 1)f x 为奇函数,当 1x 时,
2( ) 2f x x x ,则 1( ) 2f x 的所有根之和等于
A.4 B.5 C.6 D.12
10.函数 e e( ) , ( ,0) (0, )2sin
x x
f x xx
的图象大致为
A. B. C.
D.
11.已知函数
0,1log1
0,42
xx
xaxxf
a
0a ,且 1a 在 R 上单调递增,且关于
x 的方程 3 xxf 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是
A.
16
13,4
3 B.
16
13
4
3,0
C.
16
13
4
3,4
1 D.
16
13
4
3,4
1
12.已知函数 2( ) ( 1) 2
x af x x e x ,对于任意 1x R , 2 0,x ,不等式
1 2 1 2 22f x x f x x x 恒成立,则整数 a 的最大值为
A.1 B. 2 C.3 D.4
二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知函数 ( 1) 4f x x ,则 ( )f x 的解析式为__________.
14.若 41 aa ,则 22 aa __________.
15.已知函数 Rxxxxxxf ,2019201720152013 ,则函数 xf 的
最小值是__________.
16.已知函数
2 2ln 3( ) x xf x mx
,若 0
1 ,4x
,使得 0 0( ( ))f f x x ,
则 m 的取值范围是__________.
三.解答题:(本大题共 6 小题,满分 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或
演算步骤)
17.(本小题满分 12 分)已知集合 |2 4 ,xA x R | lg 4 .B x R y x
(1)求集合 , ;A B
(2)集合 |1 1 ,C x m x m 若集合 C A B ,求实数m 的取值范围.
18.(本小题满分 12 分)若二次函数 g(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足 g(x+1)=2x+
g(x),
且 g(0)=1.
(1)求 g(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上,不等式 g(x)-t>2x 恒成立,求实数 t 的取值范围.
19.(本小题满分 12 分)已知函数 xenmxxxf 2 ,其导函数 xfy 的两
个零点为 3 和 0.
(1)求函数 ( )f x 图象在点(1, (1))f 处的切线方程;
(2)求函数 ( )f x 的单调区间;
(3)求函数 ( )f x 在区间 2,2 上的最值.
20.(本小题满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 1
2( ) 2
x
x
bf x a
是奇函数.
(1)求函数 ( )f x 的解析式;
(2)判断并证明函数 ( )f x 的单调性;
(3)对任意的t R ,不等式 2 2( 2 ) (1 ) 0f mt t f t 恒成立,求m 的取值范
围
21.(本小题满分 12 分)已知函数 axxxf ln , Raaxxxg ,ln .
(1)求函数 f x 的极值;
(2)若
ea 10 ,其中e 为自然对数的底数,求证:函数 xg 有 2 个不同的
零点;
(3)若对任意的 1x , 0 xgxf 恒成立,求实数 a 的最大值.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22.[选修 4-4;坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
在直角坐标系 xOy 中,以原点O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,
圆 C 的极坐标方程为 34 2 sin 4
.
(1)将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)过点 0,2P 作斜率为 3 的直线 l,l 与圆 C 交于 A,B 两点,试求
1 1
| | | |PA PB
的值.
23.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分)
已知 0a , 0b , 3 3 2a b ,证明:
(1) 5 5( )( ) 4a b a b ≥ ;
(2) 2a b ≤ .
2019 年秋季 2017 级高三上期入学考试理科数学答案
一、选择题
小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案代号 B D D A A B C D A D D C
二、填空题
13. 2( ) 2 3( 1)f x x x x 14. 14 15. -16 16.[ 2 , 0)e
三、解答题
17.试题解析:(1) 22 2x ,2A
lg 4 4y x x 又 可知 4,B
(2) ,2 4,A B C A B 又
, 1 1 1
1
i C m m m C A B
m
若 即 解得 满足:
符合条件
, 1 1 1
1 4 1 2 3 1 2 1,3
ii C m m m C A B
m m m m m
若 即 解得 要保证:
或 解得 舍 或 解得
3m m 综上: 的取值范围为
18.(1)由 g(0)=1,得 c=1,
∴g(x)=ax2+bx+1.
又 g(x+1)-g(x)=2x,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
即 2ax+a+b=2x.
∴
2a=2,
a+b=0.
∴
a=1,
b=-1.
因此,所求解析式为 g(x)=x2-x+1.
(2)g(x)-t>2x 等价于 x2-x+1>2x+t,
即 x2-3x+1-t >0,要使此不等式在区间[-1,1]上恒成立,
只需使函数 h(x)=x2-3x+1-t 在区间[-1,1]上的最小值大于 0 即可.
∵h(x)=x2-3x+1-t 在区间[-1,1]上单调递减,
∴h(x)min=h(1)=-t-1,由-t-1>0,得 t <-1.
因此满足条件的实数 t 的取值范围是(-∞,-1).
19.(1) eexy 34 ;
(2)单调增区间 3, , ,0
(3)最大值为 25e ,最小值为 1
20 解:⑴∵ ( )f x 为奇函数, (0) 0, ( 1) (1)f f f
即
1
1 220,2 1 4
bb b
a a a
, 解得 2, 1.a b
所以 1
2 1 1 1( ) 2 2 2 2 1
x
x xf x
,检验得 ( ) ( )f x f x ,满足条件.
⑵ 证明:设 1 2x x 则
2 1
1 2 1 21 2
1 1 2 2( ) ( ) 2 1 2 1 (2 1)(2 1)
x x
x x x xf x f x
∵ 1 2x x 2 12 2 0x x , 1(2 1) 0x 2(2 1) 0x
2 1
1 2
2 2 0(2 1)(2 1)
x x
x x
( )f x 为 R 上减函数 ⑶∵ 2 2( 2 ) (1 ) 0f mt t f t ,
2 2( 2 ) (1 )f mt t f t ∵ ( )f x 为奇函数, 2 2(1 ) ( 1)f t f t ,
则 2 2( 2 ) ( 1)f mt t f t . 又 ( )f x 为 R 上 减 函 数 2 22 1mt t t 即
21 2 1 0m t t 恒成立,
1m 时显然不恒成立, 所以 1 0
4 4( 1) 0
m
m
2m
21.解:(1)极小值为
;11 aeef
无极大值;
(2)略
(3)实数 a 的最大值为 2
22.解【详解】(1)由 34 2sin 4
,可得 4cos 4sin ,
∴ 2 4 cos 4 sin ,∴圆 C 的直角坐标方程为 2 2 4 4x y x y ,
即 2 22 2 8x y .
(2)直线l 的参数方程为
1
2
32 2
x t
y t
,
(t 为参数),代人 2 22 2 8x y ,
得 2 2 4 0t t ,则 1 2 1 22 4t t t t , .
由t 的几何意义可得 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1
2
t t t t
PA PB t t t t t t
.
23.解(1) 5 5 6 5 5 6( )( )a b a b a ab a b b
3 3 2 3 3 4 4( ) 2 ( )a b a b ab a b
2 2 24 ( )ab a b
4≥ . ................5 分
(2)∵ 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b
2 3 ( )ab a b
23( )2 ( )4
a b a b ≤
33( )2 4
a b ,
所以 3( ) 8a b ≤ ,因此 2a b ≤ . ...................10 分