数学文卷·2018届湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学高三联考（2018 13页

长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联合考试试题 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则集合（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉法明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，他在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎3.已知函数的零点是和，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.已知三棱柱的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图①所示，，，分别是三边的中点）后得到的几何体如图②，则该几何体的侧视图为（ ）‎ ‎6.设等差数列满足，，是数列的前项和，则使得的最大的自然数是（ ）‎ A．7 B．8 C．9 D．10 ‎ ‎7.如图程序框图中，输入，，，则输出的结果为（ ）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎ ‎8.已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的内切圆的半径为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.抛物线：的焦点与双曲线的一个焦点重合，过点的直线交于点、，点处的切线与、轴分别交于点、，若的面积为，则的长为（） ‎ A．2 B．3 C．4 D．5 ‎ ‎11.如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标0，点处标1，点处标2，点处标3，点处标4，点处标5，点处标6，点处标7，以此类推，则标签的格点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数（，是自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．， ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若变量，满足不等式组则的最大值为 ．‎ ‎14.如图，有5个全等的小正方形，，则的值是 ．‎ ‎15.已知四棱锥的外接球为球，底面是矩形，面底面，且，，则球的表面积为 ．‎ ‎16.如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若，，设的面积为，正方形的面积为，当固定，变化时，称为“规划合理度”，则“规划合理度”的最小值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.设为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）令，，若对一切成立，求实数的最小值．　‎ ‎18.如图所示的矩形中，，点为边上异于，两点的动点，且，为线段的中点，现沿将四边形折起，使得与的夹角为，连接，.‎ ‎（1）探究：在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，说明点的位置，若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）求三棱锥的体积的最大值，并计算此时的长度．‎ ‎19.环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数溶度，制定了空气质量标准：‎ 某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考查了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号为字母的，前13个视为单号，后13个视为双号）．王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05．‎ ‎（1）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量中度污染的概率；‎ ‎（3）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如表：‎ 根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写列联表，并回答是否有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 参考公式：，其中．‎ ‎20.如图，已知，分别为椭圆：的上、下焦点，是抛物线：的焦点，点是与在第二象限的交点，且．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）与圆相切的直线：（其中）交椭圆于点，，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．‎ ‎21.已知函数，，．‎ ‎（1）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设函数的图象与函数的图象交于点，，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．‎ ‎（1）求的值及直线的普通方程；‎ ‎（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 若关于的不等式的解集为．‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）若实数，满足，，求证：．‎ 长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联合考试试题数学（文科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.1 14.1 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵等差数列中，，，‎ ‎∴解得∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵w，‎ ‎∴，‎ ‎∵随着的增大而增大，‎ ‎∴递增，又，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴实数的最小值为5．‎ ‎18.（1）证明：如图所示，取线段的中点，‎ 因为为线段的中点，为线段的中点，‎ 故为的中位线，故，‎ 又平面，平面，故平面．‎ ‎（2）解：∵，且与的夹角为，‎ 故与的夹角为，‎ 过作垂直于交于，‎ 所以，，故为点到平面的距离，‎ 设，则，‎ 由（1）知，‎ 故，‎ 当且仅当时等号成立，此时．‎ 故三棱锥的体积的最大值为，此时的长度为2．‎ ‎19.解：（1）因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，‎ 所以空气重度污染和严重污染的概率应为，‎ 由频率分布直方图可知：，解得．‎ ‎（2）因为空气质量良好与重度污染的天气的概率之比为，‎ 按分层抽样从中抽取6天，则空气质量良好天气被抽取4天，记作，，，，‎ 空气中度污染天气被抽取2天，记作，，‎ 从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，‎ ‎，，，共15个，‎ 记事件为“至少有一天空气质量中度污染”，则事件所包含的基本事件有：，，，，，，，，共9个，‎ 故，‎ 即至少有一天空气质量中度污染的概率为．‎ ‎（3）列联表如下：‎ 空气质量优、良 空气质量污染 合计 限行前 ‎90‎ ‎90‎ ‎180‎ 限行后 ‎38‎ ‎22‎ ‎60‎ 合计 ‎128‎ ‎112‎ ‎240‎ 由表中数据可得，‎ 所以有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．‎ ‎20.解：（1）由题意得，所以，又由抛物线定义可知，‎ 得，于是易知，从而，由椭圆定义知，‎ ‎，得，故，‎ 从而椭圆的方程为．‎ ‎（2）设，，，则由知，，，‎ 且，①‎ 又直线：（其中）与圆相切，所以有，‎ 由，可得（，），②‎ 又联立消去得，且恒成立，‎ 且，，‎ 所以，‎ 所以得，代入①式，得，‎ 所以，‎ 又将②式代入得，，，，‎ 易知，且，所以．‎ ‎21.解：（1）时，，则，‎ 因为函数存在单调递减区间，所以有解，‎ 又因为，则有的解，‎ 所以，‎ 所以的取值范围为．‎ ‎（2）设点、的坐标分别为，，，‎ 则点，的横坐标为，在点处的切线斜率为，‎ 在点处的切线斜率为，‎ 假设在点处的切线与在点处的切线平行，则，即，‎ 则，‎ 所以，设，则，，①‎ 令，，则，‎ 因为时，，所以在上单调递增，故，‎ 则，这与①矛盾，假设不成立，‎ 故在点处的切线与在点处的切线不平行．‎ ‎22.解：（1）因为曲线的极坐标方程为，即，将，代入上式并化简得，所以曲线的直角坐标方程为，于是，，‎ 直线的普通方程为，将代入直线方程得，所以直线的普通方程为．　‎ ‎（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．‎ ‎23.解：（1）由，得，即，则 解得 ‎（2）由（1）可知，，，‎ 又因为，所以．‎