河南省周口市鹿邑县一高等校2020届高三上学期10月月考数学（理）试题 19页

‎2019~2020年度河南省高三阶段性考试（三）‎ 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求括号中，再求即可 ‎【详解】因为，，所以，.‎ 答案选D ‎【点睛】本题考察集合交并补的基本运算，求解补集时，看清原集与补集的关系是正确解题的前提 ‎2.复数的虚部为（ ）．‎ A. B. 1‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数得到答案.‎ ‎【详解】‎ 虚部为-1‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查了复数代数运算，考查计算能力，属于简单题型.‎ ‎3.在公比为2的等比数列中，前n项和为，且，则（ ）‎ A. 5 B. 9 C. 17 D. 33‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可由公式，表示出，再进行求解 ‎【详解】由，，所以，所以.‎ 答案选C ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n项和公式的基本用法，需记住 ‎4.已知向量，若，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得，然后根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】因为，，且，‎ 所以，解得．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量加法、减法和数乘的坐标运算，考查两个向量平行的坐标表示，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎5.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察，可将表示成，再进行化简，结合二倍角公式进行求值 ‎【详解】由，则，因为，，故，所以.‎ 答案选C ‎【点睛】三角恒等变换是常考类型，考生需熟记二倍角公式的基本形式 ‎，解题时需从公式的基本形式去分析 如本题中 ‎6.“”是“，”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把题设，进行化简，求出的范围，再根据充分必要条件进行判断即可 ‎【详解】必要性：设，当时，，所以，即；‎ 当时，，所以，即.故或.‎ 充分性：取，当时，成立.‎ 答案选A ‎【点睛】对于充分必要条件的判断的一般思路为：对于每一个命题进行化简，去伪存真，若最终判断问题为范围问题，则可简单记为：小范围推大范围成立；大范围推小范围不成立 ‎7.函数的部分图像如图所示，将 的图像向右平移个单位长度后得函数的图像，则（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图像可知，代入点和则可计算出表达式，再根据平移知识点左加右减即可得出表达式。‎ ‎【详解】由函数的部分图象知，即.‎ 因为，所以。所以.‎ 因为点在的图象上。所以.所以。‎ 因为，结合图象可知，所以.‎ 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象。则.‎ ‎【点睛】根据三角函数图像求表示时一般代入特殊点，如最值点和图像与坐标轴的交点进行运算。函数平移左加右减，注意平移的时候是整体变化，如果有系数记得加括号。‎ ‎8.函数是R上奇函数，则的零点的个数为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的特殊性质，当能取到时，，再采用数形结合的方式找出交点即可 ‎【详解】因为函数是R上的奇函数，所以，即，所以，结合函数与的图象，如图所示，的零点的个数为3.‎ 答案选B ‎【点睛】本题考查了奇函数的性质，函数零点与方程的转化思想，要求能够画出常见的基础函数图像，如一次函数、二次函数、指数函数、幂函数、三角函数等 ‎9.已知，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过基本不等式的变形可得，再将表达式转化成关于整体的二次不等式，求出相应范围 ‎【详解】∵，∴，可得，当且仅当或时取等号. ∵，∴，化为，解得，则的取值范围是.‎ 答案选B ‎【点睛】本题考查的是根据基本不等式求取值范围问题，代换中一定要注意等号是否成立，题中将这一步代换出来至关重要 ‎10.已知正的边长为1，为该三角形内切圆的直径，在的三边上运动，则的最大值为（ ）．‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和，平方相减得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】正的边长为1，内切圆圆心为，半径为 ‎ 为的中点，则得到 即 得到 即 两式相减得到：即 当为三角形顶点时，有最大值为 ‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查了向量的最值问题，根据为的中点得到是解题的关键，这是向量中中点问题常用的技巧，需要熟练掌握.‎ ‎11.方程的实根个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的定义域，由 得，再利用指数函数和对数函数互化的性质，通过整式加减，即.令通过判断函数的增减性，借鉴零点存在定理，可判断实数根的区间 ‎【详解】由，解得，令，所以，两式相加得，又函数单调递增，故，则，即.令，且在上单调递减，又，，所以存在唯一，使得.所以方程只有唯一实数解。‎ 答案选B ‎【点睛】本题考察了指数函数和对数函数互化的性质，函数零点存在定理的迁移应用，整个解题过程，函数与方程的转化思想贯穿始终，体现了函数与方程的整体性与统一性 ‎12.设首项为1的数列的前n项和为，且，若，则正整数m的最小值为（ ）‎ A. 15 B. 16 C. 17 D. 18‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过表达式的整体代换，可构造出，通过构造数列求出的表达式，再通过求出的表达式，进而可表示出，通过赋值可求出 ‎【详解】由题意知，，所以，，即.又，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，， ‎ 所以，‎ ‎，所以.‎ 当时，，又，所以，故正整数 的最小值为17.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查递推数列通项公式的推导及前项和公式的求解，考察了推导代换能力，计算能力，难度中等偏上 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.若x，y满足约束条件，则的最大值为_________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性规划限定条件画出可行域，再通过平移找出最值即可 ‎【详解】‎ 画出可行域知，当平移到过点时，.‎ 则的最大值为10‎ ‎【点睛】本题主要考察了根据线性规划求目标函数的最值问题，相对简单，解题方法一般为先画出可行域，再将目标函数转化为斜截式，通过判断目标函数值与截距的关系，找出目标点，求出最值即可 ‎14.已知为第二象限角，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过通分的方法去掉二次根式，转化成绝对值再进行化简即可 ‎【详解】因为为第二象限角，所以，.‎ 所以，‎ ‎，所以.‎ 所以答案为：‎ ‎【点睛】本题考察了三角函数的化简，易错点为去掉二次根式转化为绝对值时符号的判断问题，此时需要结合三角函数在四个象限的正负值进行判断 ‎15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦公式将b代换，求出，再用a，b，c成等比数列表示出，分析特点，再次采用正弦定理即可求得 ‎【详解】由正弦定理可知，，易得，，又a，b，c成等比数列，所以，.‎ 则 ‎【点睛】本题主要考查正弦定理的具体用法，边化角是正弦定理使用中考察频率最高的一种形式，做题时应优先考虑 ‎16.已知直线是曲线的一条切线，则的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求出曲线的切线方程，再根据对应关系表示出和值，表示出，再采用构造函数求导的方法可求得的范围 ‎【详解】设，切点为，，所以，，所以 令，，‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减 又，所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数切线方程的求法，利用导数来求函数的值域的问题，需熟记曲线切线方程为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知等比数列的公比，其前项和为，且，，的等差中项为。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求。‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过，的等差中项为．求出数列的公比，然后求解数列的通项公式；‎ ‎（2）化简，利用裂项相消法求解数列的和即可．‎ ‎【详解】解：（1）因为，所以，即。‎ 解得或（舍去）。‎ 所以，，‎ 所以。‎ ‎（2）因为，‎ 所以 ‎。‎ ‎【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的应用，裂项相消法求数列求和的方法，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎18.已知函数 ‎（1）判断在上的奇偶性，并证明；‎ ‎（2）求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）奇函数，证明详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据奇偶函数的定义，分段判断函数的奇偶性；（2）由（1）知函数为奇函数，根据奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，可得函数的单调性，用函数的单调性将 符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解即可.‎ ‎【详解】（1）函数是上的奇函数. ‎ 证明如下：‎ 任取，则，所以,‎ 再任取，则，所以.‎ 又当时，则，所以.‎ 故是上的奇函数. ‎ ‎（2）当时，是增函数，‎ 所以是上的增函数.‎ 又，.‎ 所以，所以，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎【点睛】函数性质综合应用问题的3种常见类型及解题策略 ‎(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．‎ ‎(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．‎ ‎(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）若，，，求的值；‎ ‎（2）若动直线与函数和函数的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值，并求出此时t的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对进行化简，求出，再根据同角三角函数求出，再根据特点，求出，利用和角公式求值即可 ‎（2）先表示出，再根据绝对值特点和三角函数的最值特点，求出对应的值即可 ‎【详解】（1），，‎ 则，又，故，.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎（2）‎ 由题意可知 当时，取到最大值.‎ 当取到最大值时，，又，所以.‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数的基本求法，三角函数正切值的和角公式，复合三角函数最值的求法，难度相对简单 ‎20.如图，在平面四边形ABCD中，，，，且角D与角B互补，.‎ ‎（1）求面积；‎ ‎（2）求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过角D与角B互补，先求出，采用正弦定理的面积公式求解即可 ‎（2）要求的周长，即求，结合余弦定理进行整体求解即可 ‎【详解】（1）在中，由余弦定理得.‎ 所以.‎ 因为角D与角B互补，‎ 所以，.‎ 又，‎ 所以，即，‎ 所以.‎ ‎（2）在中，由余弦定理得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以的周长为.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的具体应用，第一问正弦定理求面积，第二问利用余弦定理求周长，解三角形的核心思想为：将边角关系转化到同一个三角形，利用正弦余弦定理进行求解，一般是先正弦再余弦 ‎21.设，命题p：函数在内单调递增；q：函数仅在处有极值.‎ ‎（1）若命题q是真命题，求a的取值范围；‎ ‎（2）若命题是真命题，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)函数仅在处有极值，则在左右两侧导数符号相反，可得恒成立，转化为求解二次不等式的恒成立问题；（2）当p是真命题时，利用复合函数“同增异减”研究的单调性问题，求出相应a 的范围，又是真命题，则至少有一个是真命题，所以取p是真命题时a的取值集合与是真命题时a的取值集合的并集即可.‎ ‎【详解】（1）由题意知，，显然不是方程的根,‎ 为使仅在处有极值，必须恒成立，即，‎ 解不等式，得，这时是唯一极值，‎ 因此满足条件a的取值范围是.‎ ‎（2）当p是真命题时，对恒成立,则，记，则 当时，要使得是增函数，则需有对恒成立，所以，与矛盾；‎ 当时，要使得是增函数，则需有对恒成立，所以，所以.‎ 记当p是真命题时a的取值集合为A，则；‎ 记当是真命题时a的取值集合为B，则.‎ 因为是真命题，‎ 所以a的取值范围是.‎ ‎【点睛】函数在处取得极值是的充分不必要条件.‎ ‎22.已知，函数，.‎ ‎（1）求的单调区间 ‎（2）讨论零点的个数 ‎【答案】（1）在区间，上是增函数；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导，再根据导数正负判断函数增减性 ‎（2）先对求导，可判断单调递增，再通过赋值和可判断存在实数 ‎，使得，再通过讨论在零点处的最小值是小于零还是大于零来进一步判断零点个数 ‎【详解】（1）的定义域为，且，则，,‎ 当时，，是减函数； 当时，，是增函数 所以，所以在上，，‎ 所以在区间，上是增函数.‎ ‎（2）由题意知，‎ 令，因为，‎ 所以在上单调递增.‎ 又，‎ ‎.‎ 所以存在实数，使得.‎ 在上，，减函数；在上，，是增函数.‎ 所以的最小值是，其中满足，即，‎ 所以 ‎①当，即时，的最小值为0，此时有一个零点；‎ ‎②当时，，没有零点，此时.‎ 由的单调性，可得；‎ ‎③当时，，有两个零点.‎ 又，所以，‎ 由的单调性，可得.‎ 综上所述，当时，没有零点；‎ 当时，只有1个零点；‎ 当时，有2个零点.‎ ‎【点睛】本题主要考察利用导数来判断函数的增减性，利用导数来求解函数的零点个数问题。‎ 第二问中对于导数值为零的点的确定相对计较棘手，若题型中涉及型复合函数，一般通过借鉴零点定理来进行判断，常取来进行判断算 ‎ ‎ ‎ ‎