数学理卷·2017届广东省清远市清新区凤霞中学高三第一次模拟考试（2017 12页

清远市凤霞中学2017届高三第一次模拟考试 ‎ 数学（理） 试题 第Ⅰ卷 一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，则为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2．已知复数，则在复平面内对应的点在（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3．已知函数的定义域为，为常数.若：对，都有；：是函数的最小值，则是的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4．如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5．已知，则等于（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎6．已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）‎ A.6 B.32 C.33 D.34‎ ‎7．设，则对任意实数，若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如下表所示：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ 若根据表中数据得出关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为，则函数的单调递增区间（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10．已知，，则函数在区间上为增函数的概率是（ ）A. B. C. D.‎ ‎11．若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于（ ）‎ A. B.21 C.22 D.23‎ ‎12．设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 一、 填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分 ‎13．在边长为1的正三角形中，设，则.‎ ‎14．设实数满足，则的最小值为.‎ ‎15．已知一个多面体的三视图如图所示：其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为.‎ ‎16．设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果 计算：.‎ 一、 解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17．在△ABC中，设边a，b，c所对的角为A，B，C，且A，B，C都不是直角，（bc﹣8）cosA+accosB=a2﹣b2．‎ ‎（?）若b+c=5，求b，c的值；‎ ‎（?）若，求△ABC面积的最大值．‎ ‎18．为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80位性别不同的2016年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：‎ 与教育有关 与教育无关 合计 男 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 女 ‎35‎ ‎5‎ ‎40‎ 合计 ‎65‎ ‎15‎ ‎80‎ ‎（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”？‎ 参考公式：（n=a+b+c+d）．‎ 附表：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.023‎ ‎6.635‎ ‎（2）求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；‎ ‎（3）以（2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的2000名师范类大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事与教育有关的人数为X，求X的数学期望E（X）．‎ ‎19．正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，E，F分别为BB1，AB的中点．‎ ‎（ I）已知M为线段B1A1上的点，且B1A1=4B1M，求证：EM∥面A1FC；‎ ‎（ II）若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，求AA1的值．‎ ‎20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，且过点，直线l1：y=kx+m（m＞0）与圆C2：（x﹣1）2+y2=1相切且与椭圆C1交于A，B两点．‎ ‎（?）求椭圆C1的方程；‎ ‎（?）过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C，D两点，设|AB|=λ|CD|，求λ的最小值．‎ ‎21．已知函数发f（x）=（x+1）lnx﹣ax+2．‎ ‎（1）当a=1时，求在x=1处的切线方程；‎ ‎（2）若函数f（x）在定义域上具有单调性，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）求证：，n?N*．‎ ‎　‎ 选做题 ‎22．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．‎ ‎（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；‎ ‎（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含，求a的取值范围．‎ 答案：‎ 一、 BABBA ABDAB CD 二、13. 14. 815. 16. 76‎ 三、‎ ‎17.解：（?）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵△ABC不是直角三角形，‎ ‎∴bc=4，‎ 又∵b+c=5，‎ ‎∴解得或…‎ ‎（?）∵，由余弦定理可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，‎ ‎∴，‎ ‎∴，所以．‎ ‎∴△ABC面积的最大值是，当时取到…‎ ‎　‎ ‎18．解：（1）由题意得k2==＜3.841．‎ 故不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”‎ ‎（2）由图表知这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率．‎ ‎（3）由题意知X服从，则．‎ ‎　‎ ‎19．证明：（I）取B1A1中点为N，连结BN，‎ 则BN∥A1F，又B1A1=4B1M，‎ 则EM∥BN，所以EM∥A1F，‎ 因为EM?面A1FC，A1F?面A1FC，‎ 故EM∥面A1FC．‎ 解：（II）如图，以F为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA1=a．‎ 则，‎ ‎，‎ 设平面A1CF法向量为，‎ 设平面A1EF法向量为．‎ 则，取z=1，得，‎ ‎，取x=1，得；‎ 设二面角E﹣A1C﹣F的平面角为θ，‎ ‎∵二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，‎ ‎∴，‎ 设a2=t，则9t2+10t﹣111=0，得t=3，‎ 即a2=3，∴．‎ ‎　‎ ‎20．解：（?）由题意得，‎ 解得a=4，b=2，‎ 故；‎ ‎（?）联立，‎ 化简得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣4）=0，‎ ‎△＞0恒成立，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，得，‎ ‎∴，‎ 把l2：y=kx代入，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎==，‎ 当，λ取最小值．‎ ‎　‎ ‎21．解：（1）当a=1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0），‎ f'（x）=lnx+，f'（1）=1，f（1）=1，‎ 所以求在x=1处的切线方程为：y=x﹣1．‎ ‎（2）f'（x）=lnx++1﹣a，（x＞0）．‎ ‎（i）函数f（x）在定义域上单调递减时，‎ 即a≥lnx+时，令g（x）=lnx+，‎ 当x＞ea时，g'（x）＞0，不成立；‎ ‎（ii）函数f（x）在定义域上单调递增时，a≤lnx+；‎ 令g（x）=lnx+，‎ 则g'（x）=，x＞0；‎ 则函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；‎ 所以g（x）≥2，故a≤2．‎ ‎（3）由（ii）得当a=2时f（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ 由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0，‎ 即lnx＞在（1，+∞）上总成立，‎ 令x=得ln＞，‎ 化简得：ln（n+1）﹣lnn＞，‎ 所以ln2﹣ln1＞，‎ ln3﹣ln2＞，…，‎ ln（n+1）﹣lnn＞，‎ 累加得ln（n+1）﹣ln1＞，‎ 即ln（n+1），n?N*命题得证．‎ ‎22．解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=2，即ρ（cosθ﹣sinθ）=2，‎ 即x﹣y﹣4=0．‎ 曲线C的参数方程为（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α，‎ 可得+=1．‎ ‎（2）设点P（2cosα， sinα）为曲线C上任意一点，‎ 则点P到直线l的距离d==，tanβ=，‎ 故当cos（α+β）=﹣1时，d取得最大值为．‎ ‎　‎ ‎23．解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，‎ 或③．‎ 解①可得x≤1，解②可得x?Ø，解③可得x≥4．‎ 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．‎ ‎（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在上恒成立，‎ 等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在上恒成立．‎ 故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，‎ 故a的取值范围为