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- 2021-06-12 发布
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热点二 基本初等函数中含有参数问题
讲---高效整合
纵观近几年高考对于基本初等函数的考查,基本初等函数中的参数问题一直是高考考查的热点问题之一.高考考查参数的常见类型主要有:已知集合之间的包含关系求参数;已知函数的性质求参数;已知函数的零点或方程、不等式有实数解求参数及已知函数图象特征求参数.针对高考考查的常见类型进行归纳整理,抓住基本初等函数的图象与性质,从“数”与“形”两个方面,进行全面系统复习,有助于适应高考的要求,获取高考高分.
1 集合关系下求参数问题
已知集合之间的关系求参数的范围,是常见题型之一,此类问题常常与函数相结合,其解法通常是借助于数轴,构建不等式(组)或应用函数的性质求解.
例 1【2017江苏,1】已知集合,,若则实数的值为 .
【答案】1
【解析】由题意,显然,所以,此时,满足题意,故答案为1.
例2【河北省冀州中学2017届高三(复习班)上学期第二次阶段考试】已知,,,则的取值范围为________.
【答案】
2 与函数的奇偶性有关的求参数问题
已知函数的奇偶性求参数,通常是应用奇偶函数的定义,构建恒等式,或借助于函数图象的对称性解题.
例3若函数为偶函数,则a=
【答案】.
【解析】由题知是奇函数,所以
=,解得.
例 4【2018届河北省定州市定州中学高三上学期期末】设是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2﹣x)时,当x∈[﹣2,0]时, ,若(﹣2,6)在区间内关于x的方程xf(x)﹣loga(x+2)=0(a>0且a≠1)有且只有4个不同的根,则实数a的范围是( )
A. B. (1,4) C. (1,8) D. (8,+∞)
【答案】D
又,则对于函数,由题意可得,当时的函数值小于1,即
,由此解得: ,∴的范围是,故选D.
3 与函数的单调性有关的求参数问题
已知函数的单调性求参数,通常是应用增函数、减函数的定义构建不等式(组),或应用分离参数法,转化成求函数的最值问题.
例 5已知函数()在区间上存在单调递增区间,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】函数在区间上存在单调增区间,函数在区间上存在子区间使得不等式成立.,设,则或
,即或,得,故选B.
例 6【2018届山西省康杰中学高三上学期第一次月考】已知函数=是上的减涵数,那么的取值范围是
A. (0,3) B. C. (0,2) D.
【答案】D
【解析】∵为上的减函数
∴时, 递减,即
时, 递减,即
联立计算得出
故选D
4 与函数方程有关的求参数问题
已知方程有实数解(函数有零点、函数图象有公共点)求参数,通常是通过分离参数,转化成求函数的最值或借助于函数的图象,利用数形结合思想求解.
例 7设函数若关于的方程(且)
在区间内恰有5个不同的根,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
例 8【2018届河北省邯郸市高三1月检测】已知函数若,且函数存在最小值,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由分段函数的解析式可得: ,即: ,
结合函数有最小值可得: ,据此可得: ,
即实数的取值范围为.
本题选择A选项.
5 与不等式成立(恒成立)有关的求参数问题
已知不等式成立(恒成立)求参数,通常是通过解不等式(组)或利用数形结合思想或通过分离参数,使问题转化成研究函数的最值求解.
例 9设函数,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
当时有或;当时有
.综上,故选B.
例 10设函数,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】由题意若即
当时,此时
即为
结合即,可知此时;当时,
此时即为结合即,取交集即为,综上,实数的取值范围是.
另解:因为,则为偶函数,且在
上单减,上单增,而由得,从而
,解得的取值范围是.
6 函数综合应用中的求参数问题
函数的综合应用问题,往往涉及函数的性质及导数的应用,一般与“恒成立问题”相关,通常是运用转化与化归思想、数形结合思想,灵活处理.
例 11【2018届四川省树德中学高三12月月考】已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
设直线与相切于点,则,解得,则,即;故选A.
例 12已知函数.
(1)若函数在上至少有一个零点,求的取值范围;
(2)若函数在上的最大值为3,求的值.
【答案】(1);(2)或.
【反思提升】综合上面的各种类型,解决基本初等函数中的参数问题,要点有:一是对基本初等函数图象与性质的熟练掌握;二是数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等数学思想方法的运用;三是通过对近几年高考类题的总结归纳,积累应对经验.分析可以发现,基本初等函数中的参数问题,涉及函数种类多、题型多,题目的难易不一,因此,在复习中不能好高骛远,应重视各种题型的备考演练,重视高考信息的搜集,不断充实题目的类型,升华解题的境界.