高中数学 1_2_2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习 新人教A版选修2-2 6页

选修2-2 ‎1.2.2‎ 第1课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则 一、选择题 ‎1．曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为(　　)‎ A．30°　　　　　　　　 B．45°‎ C．135° D．60°‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　y′|x＝－1＝1，∴倾斜角为45°.‎ ‎2．设f(x)＝－，则f′(1)等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎[答案]　B ‎3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)‎ A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0‎ C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵直线l的斜率为4，而y′＝4x3，由y′＝4得x＝1而x＝1时，y＝x4＝1，故直线l的方程为：y－1＝4(x－1)即4x－y－3＝0.‎ ‎4．已知f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，若f′(－1)＝4，则a的值等于(　　)‎ A.　　　 B.　　　‎ C.　　　 D. ‎[答案]　B ‎[解析]　∵f′(x)＝3ax2＋18x＋6，‎ ‎∴由f′(－1)＝4得，‎3a－18＋6＝4，即a＝.‎ ‎∴选B.‎ ‎5．已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是(　　)‎ A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒 C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒 ‎[答案]　D ‎[解析]　显然瞬时速度v＝s′＝t3－12t2＋32t＝t(t2－12t＋32)，令v＝0可得t＝0,4,8.故选D.‎ ‎6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为(　　)‎ A．y＝x－1 B．y＝－x－1‎ C．y＝2x－2 D．y＝－2x－2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．‎ 由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.‎ ‎7．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　)‎ A. B．0 ‎ C．钝角 D．锐角 ‎[答案]　C ‎[解析]　y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝e4sin(4＋)<0，故倾斜角为钝角，选C.‎ ‎8．曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为 ‎(　　)‎ A. B．π2‎ C．2π2 D.(2＋π)2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　曲线y＝xsinx在点处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的面积为 .‎ ‎9．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2011(x)等于(　　)‎ A．sinx B．－sinx ‎ C．cosx D．－cosx ‎[答案]　D ‎[解析]　f0(x)＝sinx，‎ f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，‎ f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，‎ f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，‎ f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，‎ ‎∴4为最小正周期，∴f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.故选D.‎ ‎10．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足(　　)‎ A．f(x)＝g(x) B．f(x)－g(x)为常数 C．f(x)＝g(x)＝0 D．f(x)＋g(x)为常数 ‎[答案]　B ‎[解析]　令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝0，∴F(x)为常数．‎ 二、填空题 ‎11．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________.‎ ‎[答案]　0 －1‎ ‎[解析]　f′(x)＝2ax－bcosx，由条件知 ，∴.‎ ‎12．设f(x)＝x3－3x2－9x＋1，则不等式f′(x)＜0的解集为________．‎ ‎[答案]　(－1,3)‎ ‎[解析]　f′(x)＝3x2－6x－9，由f′(x)＜0得3x2－6x－9＜0，∴x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3.‎ ‎13．曲线y＝cosx在点P处的切线的斜率为______．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　∵y′＝(cosx)′＝－sinx，‎ ‎∴切线斜率k＝y′|x＝＝－sin＝－.‎ ‎14．已知函数f(x)＝ax＋bex图象上在点P(－1,2)处的切线与直线y＝－3x平行，则函数f(x)的解析式是____________．‎ ‎[答案]　f(x)＝－x－ex＋1‎ ‎[解析]　由题意可知，f′(x)|x＝－1＝－3，‎ ‎∴a＋be－1＝－3，又f(－1)＝2，‎ ‎∴－a＋be－1＝2，解之得a＝－，b＝－e，‎ 故f(x)＝－x－ex＋1.‎ 三、解答题 ‎15．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x(x2＋＋)；(2)y＝(＋1)(－1)；‎ ‎(3)y＝sin4＋cos4；(4)y＝＋ .‎ ‎[解析]　(1)∵y＝x＝x3＋1＋，‎ ‎∴y′＝3x2－；‎ ‎ (3)∵y＝sin4＋cos4 ‎＝2－2sin2cos2 ‎＝1－sin2＝1－·＝＋cosx，‎ ‎∴y′＝－sinx；‎ ‎(4)∵y＝＋＝＋ ‎＝＝－2，‎ ‎∴y′＝′＝＝.‎ ‎16．已知两条曲线y＝sinx、y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．‎ ‎[解析]　由于y＝sinx、y＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，‎ ‎∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为 若使两条切线互相垂直，必须cosx0·(－sinx0)＝－1，‎ 即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，‎ ‎∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．‎ ‎17．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2.直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．‎ 对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.①‎ 对于C2：y′＝－2(x－2)，与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，‎ 即y＝－2(x2－2)x＋x－4. ②‎ ‎∵两切线重合，∴2x1＝－2(x2－2)且－x＝x－4，‎ 解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.‎ ‎∴直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.‎ ‎18．求满足下列条件的函数f(x)：‎ ‎(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；‎ ‎(2)f′(x)是一次函数，x‎2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.‎ ‎[解析]　(1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)‎ 则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c 由f(0)＝3，可知d＝3，由f′(0)＝0可知c＝0，‎ 由f′(1)＝－3，f′(2)＝0‎ 可建立方程组，‎ 解得，‎ 所以f(x)＝x3－3x2＋3.‎ ‎(2)由f′(x)是一次函数可知f(x)是二次函数，‎ 则可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)‎ f′(x)＝2ax＋b，‎ 把f(x)和f′(x)代入方程，得 x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1‎ 整理得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1‎ 若想对任意x方程都成立，则需 解得，‎ 所以f(x)＝2x2＋2x＋1.‎