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- 2021-06-12 发布
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期中数学全科
一、选择题:本大题12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.( )
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分数指数幂运算.
【详解】.
故选:C
【点睛】本题考查分数指数幂的运算法则,属于简单题型.
2.已知:集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求集合,然后求.
【详解】
即
,
.
故选:A
【点睛】本题考查集合的运算,重点是解集合,属于简单题型.
3.已知:且( )
A. 1 B. 2 C. D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求,再求.
【详解】,.
故选:A
【点睛】本题考查分段函数求值,属于简单题型.
4.已知函数,其值域是,则其定义域是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
因为函数是一对一函数,所以根据值域解定义域,只需解不等式或.
【详解】因为函数是一对一函数,所以可以根据值域解定义域,
由
,解得,
,
,
定义域是:.
故选:D
【点睛】本题考查根据值域求定义域,意在考查函数性质和解不等式,属于基础题型.
5.下列函数:(1),(2),(3),(4),(5)
五个函数中,是奇函数且值域不是一切实数R的函数是( )
A. (1),(3),(5) B. (1),(4) C. (4) D. (1),(3)
【答案】C
【解析】
【分析】
逐一分析选项,根据函数性质得到选项.
【详解】(1)是奇函数,值域是,不满足条件;
(2),满足,是偶函数,并且函数的值域是,不满足条件;
(3),是奇函数,并且值域是,不满足条件;
(4)是奇函数,并且值域是,满足条件.
(5)定义域是,不关于原点对称,是非奇非偶函数,不满足条件;
故选:C
【点睛】本题考查函数性质,意在考查函数的基础知识的理解,属于简单题型.
6.下列函数在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
逐一分析选项,判断函数性质,得到答案.
【详解】A.时,在单调递减,在上单调递增,故不正确;
B.在单调递增,故正确;
C.,单调递减,故不正确;
D.在单调递减,故不正确.
故选:B
【点睛】本题考查函数的单调性,属于基础题型.
7.已知下列函数:(1),(2),(3),(4)
中,是奇函数的是( )
A. (1),(2)(3),(4) B. (2),(4) C. (2),(3),(4) D. (3),(4)
【答案】C
【解析】
【分析】
逐一分析函数,判断函数是否是奇函数,得到选项.
【详解】(1) ,定义域是,不关于原点对称,故不是奇函数;
(2) 的定义域是,关于原点对称,
并且,故函数是奇函数;
(3)的定义域是,
并且,故函数是奇函数;
(4) 的定义域是,关于原点对称,并且函数满足 ,故函数是奇函数.
故选:C
【点睛】本题考查判断函数的奇偶性,属于基础题型,判断函数的奇偶性,首先判断函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,那函数就是非奇非偶函数,若函数关于原点对称,再根据定义域判断与的关系,若或则函数是奇函数,若满足或则函数是偶函数.
8.已知,则函数的最小值是( )
A. 1 B. 2 C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据基本不等式 求最小值.
【详解】,
当且仅当时,等号成立,
即时,函数的最小值是2.
故选:B
【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最小值,属于简单题型.
9.比较下列几个数的大小:,,,则有( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先让和0或1比较大小,然后再判断的大小.
【详解】 , ,
.
故选:D
【点睛】本题考查指对数比较大小,意在考查转化与计算,属于简单题型.
10.空气质量指数(简称:)是定量描述空气质量状况的无量纲指数,空气质量按照大小分为六级:为优,为良,为轻度污染,为中度污染,为重度污染,为严重污染.下面记录了北京市天的空气质量指数,根据图表,下列结论错误的是( )
A. 在北京这天的空气质量中,按平均数来考察,最后天的空气质量优于最前面天的空气质量 B. 在北京这天的空气质量中,有天达到污染程度
C. 在北京这天的空气质量中,12月29日空气质量最好 D. 在北京这天的空气质量中,达到空气质量优的天数有天
【答案】C
【解析】
分析:通过题目所提供的图表得出22个数据,研究在各区间上的数据个数,对选项逐一验证得到答案.
详解:因为,
所以在北京这天的空气质量中,按平均数来考察,
最后天的空气质量优于最前面天的空气质量,
即选项A正确;
不低于100的数据有3个:,
所以在北京这天的空气质量中,有天达到污染程度,
即选项B正确;
因为12月29日的为225,为重度污染,
该天的空气质量最差,即选项C错误;
在的数据有6个:,
即达到空气质量优的天数有天,
即选项D正确.故选C.
点睛:本题考查频率分布表的识别和应用,属于基础题,本题的技巧是判定选项A
时,仅从各数据的大小关系上进行判定,避免了不必要的运算.
11.函数的图像大致是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求导,求出函数的单调性,利用单调性来辨别函数的图象,以及函数值符号来辨别函数的图象。
【详解】,.
解不等式,即,得;
解不等式,即,得或.
所以,函数的单调递增区间为和,
单调递减区间为。
令,即,得或;
令,即,得.
所以,符合条件的函数为B选项中的图象,故选:B.
【点睛】本题考查利用函数解析式辨别函数的图象,一般从以下几个要素来进行分析:①定义域;②奇偶性;③单调性;④零点;⑤函数值符号。在考查函数的单调性时,可充分利用导数来处理,考查分析问题的能力,属于中等题。
12.已知函数,则函数的零点(即的解)个数为( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】
,即零点个数转化为函数和的图象的交点个数.
【详解】,
画出函数和的图象
由图象可知,两个函数有两个交点,
函数的零点个数有2个.
故选:C
【点睛】本题考查函数零点个数的判断,转化为求两个函数的交点是常用思考方法,属于基础题型.
二、填空题(本大题共4小题,每个5分共20分,填写要规范、正确)
13.已知幂函数过点,则此函数的单调递减区间是________.
【答案】
【解析】
分析】
代入点,求,再得函数的单调递减区间.
【详解】,
函数的单调递减区间是.
故答案:
【点睛】本题考查幂函数解析式的求法和函数性质,属于简单题型.
14.若命题,使得,则________.
【答案】使得
【解析】
【分析】
根据特称命题的否命题的形式书写.
【详解】命题,使得的否定是
使得.
故答案为:使得
【点睛】本题考查特称命题的否定,属于基础知识的考查,属于简单题型.
15.已知定义在上的偶函数,当时,,则________.
【答案】6
【解析】
【分析】
利用函数是偶函数,,代入求值.
【详解】是偶函数,
.
故答案为:6
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值,意在考查转化与变形,属于简单题型.
16.已知是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围是
________.
【答案】
【解析】
【分析】
若满足条件,需满足分段函数每段都是递增函数,并且在分界点处满足,列不等式组求的取值范围.
【详解】是上的单调递增函数,需满足
,
解得:.
故答案为:
【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数,属于基础题型,容易忽略的是分界点处的两个函数值比较大小的不等式,这点需切记.
三、解答题(本题共6大题,1-5题每个12分,7题10分解答时要写出必要的文字说明证明推理过程或演算步骤)
17.计算:
(1)
(2)
【答案】(1);
(2)4;
【解析】
【分析】
(1)根据根式和分数指数幂的运算法则求解;
(2)利用对数运算法则变形求解.
【详解】解:(1)原式
(2)原式
【点睛】本题考查根式,分数指数幂和对数的运算,意在考查转化与变形化简,属于基础题型.
18.已知集合:,,.
(1)用列举法表示A和B,并求;
(2)若,求实数a的取值范围.
【答案】(1),,;
(2);
【解析】
【分析】
(1)首先解方程和,求解集合和,然后求;
(2)根据(1)的结果,,若满足条件,需满足,即
求的范围.
【详解】(1)
∴或,
又由于
解得
∴
由
或
∴
(2),
,且
∴
解得:或
【点睛】本题考查解一元二次方程,以及理解集合语言,根据集合的关系求参数的取值范围,属于基础题型.
19.已知函数
(1)在坐标系内画出函数的大致图象;
(2)若方程有两个根,求实数m的取值集合.
(3)若方程有三个根,求实数m的取值集合.
【答案】(1)图见解析;
(2);
(3);
【解析】
【分析】
(1)首先去绝对值,写成,然后画函数的图象;
(2)根据(1)的图象,可知若方程有两个根,即与函数图象有两个交点,求的取值范围;(3)转化为与函数图象有3个交点,求的取值范围.
【详解】解:(1)由,图像如下:
(2)因为与x无关,故其图像是平行于x轴的直线,有两个实根,即与有两个交点,所以或,所以.
(3)观察图像,当时,与有三个交点,这时有三个根.∴
.
【点睛】本题考查函数图象的应用,根据函数零点个数求参数,可以参变分离后转化为的零点个数,转化为和图象的交点个数求参数.
20.亚洲某大国GDP的年平均增长率为6.5%,按此增长率发展,大约多少年后该国GDP会翻两番(即为原来的4倍)?(,.结果精确到整数)
【答案】22年后
【解析】
【分析】
设大约x年后该国的GDP会翻两番,即,两边取以10为底的对数,求.
【详解】解:设大约x年后该国的GDP会翻两番,依题意有:
即,
两边取10为底的对数:
∴(保留整数位)
答:大约22年后该国GDP会翻两番.
【点睛】本题考查指数型函数的应用,意在考查概括,抽象,计算应用的能力,属于基础题型.
21.如图,是边长为2的正三角形,记位于直线左侧的图形的面积为,试求函数的解析式,并画出函数的图象.
【答案】,图象见解析.
【解析】
【分析】
分三种情况讨论,在求的解析式时,关键是要根据图象,对的取值进行恰当的分类,然后分类讨论,给出分段函数的解析式后,再根据解析式画出函数的图象.
【详解】
当时,
如图,设直线与分别交于C、D两点,则,
又
(2)当时,
如图,设直线与分别交于M、N两点,则,
又
(3)当时,
综上所述,图象如图,
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数的图象,意在考查综合运用所学知识解答问题的能力,属于中档题.
22.已知定义域是R上的奇函数.
(1)求a;
(2)判断在R上的单调性,并用定义法证明;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围;
(4)设关于x方程有零点,求实数b的取值范围.
【答案】(1);
(2)在R上单调递增,证明见解析;
(3);
(4);
【解析】
【分析】
(1)根据奇函数的性质,,求;(2)根据(1)的结论,,变形为,利用单调性的的定义域证明;(3)函数是奇函数,不等式变形为,根据(2)可知,函数单调递增,所以恒成立,利用参变分离得恒成立,求的取值范围;(4)因为函数是奇函数,所以,所以,即:有零点,设,,转化为求函数的值域.
【详解】(1)因为是R上的奇函数,所以,即:,∴,经检验,满足,所以.
(2)
∴在R上单调递增,以下证明:
对,且
由的单调递增性知
又,,
∴
∴R上单调递增.
(3)由题意,对,
又
∴
又由(2)知:在R上单调递增
∴
令,易知其最小值是-4.
∴,即
(4)由题意知:有零点
即:
在R上单调
∴
即:有零点
令:
有零点
即:函数与函数有交点
易知:有最小值
∴时,有零点.
【点睛】本题考查指数型函数性质的判断,抽象不等式恒成立以及根据零点求参数取值范围,不管是恒成立求参数,或者根据零点求参数,都可以采用参变分离的方法,转化为求函数最值,或者求值域的问题.