2019-2020学年山西省阳泉市高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版） 20页

‎2019-2020学年山西省阳泉市高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“对，都有”的否定为（ ）‎ A．对，都有 B．，使得 C．，使得 D．，使得 ‎【答案】C ‎【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．‎ ‎【详解】‎ 解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“对，都有”的否定为：，使得． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎2．已知抛物线的焦点为,点是抛物线上一点,若,则点的横坐标是( )‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,已知,则到准线的距离也为,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 可得其准线方程为:‎ 设 根据抛物线定义可得:‎ 解得: ‎ ‎,解得:‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求抛物线上点的坐标,解题关键是掌握抛物线定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎3．已知向量和分别是直线和的方向向量，则直线与所成的角为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据数量积公式,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 根据数量积公式:‎ 可得: ‎ 直线与所成的角为:.‎ 故选: C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量法求线线角,解题关键是掌握向量法求线线角的方法和线线角的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎4．“”是“方程表示双曲线”的( )‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据充分条件定义和必要条件定义,结合双曲线定义,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 当表示双曲线 ‎,解得:‎ 不能推出,‎ 即“”不能推出“方程表示双曲线”‎ ‎“”是“方程表示双曲线”的不充分条件.‎ 能推出,‎ 即“方程表示双曲线”能推出“”‎ 综上所述, “”是“方程表示双曲线”的必要但不充分条件.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题解题关键是掌握充分条件和必要条件的判断方法和双曲线的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎5．如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为在四面体中,是的中点,是的中点,,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 在四面体中,是的中点,是的中点 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.‎ ‎6．与命题“若实数,则”等价的命题是( )‎ A．若实数,则 B．若,则实数 C．若,则实数 D．若实数,则 ‎【答案】B ‎【解析】根据原命题和逆否命题等价,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 原命题和逆否命题等价 由命题“若实数,则” ‎ 可得其逆否命题:若,则实数 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求命题的等价命题,解题关键是掌握原命题和逆否命题等价,考查了分析能力,属于基础题.‎ ‎7．若直线与椭圆交于两点,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据已知直线方程与椭圆方程,联立方程组,求解两点坐标,即可求解弦的长.‎ ‎【详解】‎ 由题意联立方程可得:,消去 化简可得:,‎ 解得,,‎ 故交点 根据两点间距离公式可得: ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆弦长,解题关键是掌握椭圆的基础知识和两点间距离公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎8．若命题“,都有”是假命题,则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据特称命题否定,原命题和否命题之间的关系,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 命题“,都有”是假命题 则命题“,都有”是真命题 即在有实数根 当,可得,解得:‎ 此时为 解为:‎ 当,要保证在有实数根 则需满足:解得:‎ 综上所述,.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据命题的真假求参数问题,解题关键掌握命题的基础知识和根据一元二次方程根所在区间求参数解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎9．正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是,灯深,则光源到反光镜顶点的距离是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先设出抛物线的标准方程,把点代入抛物线方程求得,即光源到反射镜顶点的距离,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 设抛物线方程为,‎ 灯口直径是,灯深 点在抛物线上 光源到反射镜顶点的距离为.‎ 故选: A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由抛物线解决实际问题,解题关键是掌握抛物线基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎10．已知双曲线的渐近线与抛物线的准线分别交于两点，若抛物线的焦点为，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵双曲线，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程是y=x 又抛物线的准线方程是x=−，‎ 故A,B两点的纵坐标分别是y=，，‎ 又，∴，即，，‎ 故选D 二、填空题 ‎11．已知直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,若∥,则实数的值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为平面的一个法向量为,当∥,可得,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 平面的一个法向量为 当∥,可得 故:‎ 则:,解得:‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据线面平行求参数,解题关键是掌握向量法求线面平行的解题方法和向量基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎12．已知椭圆的中心在原点、对称轴为两坐标轴,且一个焦点为,离心率为,则该椭圆的方程是________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】因为椭圆的一个一个焦点为,可得,根据离心率为,可得,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的一个一个焦点为 可得 设椭圆方程为:‎ ‎,可得 根据 椭圆方程为:‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求椭圆方程,解题关键是掌握椭圆方程的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎13．在“数学发展史”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测:‎ 甲说:我的成绩比乙高;‎ 乙说:丙的成绩比我和甲的都高;‎ 丙说:我的成绩比乙高.‎ 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人中预测正确的是________.‎ ‎【答案】甲.‎ ‎【解析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手,因为只有一个人预测正确,而乙对则丙必对,丙对乙很有可能对,假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,可把三人的预测简写如下:‎ 甲:甲乙.‎ 乙:丙乙且丙甲.‎ 丙:丙乙.‎ 只有一个人预测正确,‎ 分析三人的预测,可知:乙、丙的预测不正确.‎ 如果乙预测正确,则丙预测正确,不符合题意.‎ 如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确,‎ 则有丙乙,乙甲,乙预测不正确,而丙乙正确,‎ 只有丙甲不正确,‎ 甲丙,这与丙乙,乙甲矛盾,不符合题意.‎ 只有甲预测正确,乙、丙预测不正确,甲乙,乙丙.‎ 三人中预测正确的是:甲.‎ 故答案为:甲.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了合情推理,解题关键是掌握合情推理解题方法和结合实际情况具体分析问题,考查了分析能力和推理能力,属于难题.‎ ‎14．已知空间四点、、、在同一平面内，则实数________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】因为、、、,可得,四点、、、在同一平面内 存在实数使得,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎、、、‎ 四点、、、在同一平面内 存在实数使得 即:‎ 则: 解得: ‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据四点共面求参数,解题关键是掌握由向量法求点共面的解法和掌握向量的坐标表示基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎15．已知焦点为的抛物线的准线是直线,若点,点为抛物线上一点,且于,则的最小值为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据题意画出图象,根据抛物线定义可得:, 则,结合图象,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意画出图象,如图:‎ 根据抛物线定义可得:‎ 由,可得 根据两点间距离公式可得:‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线上动点的最值问题,解题关键是掌握抛物线定义和动点问题的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎16．在正方体中,和平面所成角的正弦值为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】画出正方体立体图象,不妨设正方体棱上为,以为坐标原点,分别以为轴,轴轴,建立空间坐标系,求出和,设和平面所成角的为,,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 画出正方体立体图象,‎ 不妨设正方体棱上为,‎ 以为坐标原点,分别以为轴,轴轴,建立空间坐标系,‎ 如图:‎ ‎,‎ 平面 故是的一个法向量 ‎,‎ 设和平面所成角的为 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正方体中的线面角,解题关键是掌握正方体的结构特征和向量法求线面角的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎17．设、是双曲线的两个焦点,为双曲线上一点,若是直角三角形,则的面积为________.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】为双曲线上一点,因为是直角三角形,分别求出以为直角和以为直角的面积,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎①当时 双曲线 根据 不妨设,‎ ‎,‎ 即 故:‎ ‎②当时,‎ 根据双曲线通径公式可得:‎ 综上所述, 则的面积为或.‎ 故答案为:或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线中三角形面积问题,解题关键是掌握双曲线的基础知识和双曲线中三角形面积问题的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎18．已知命题方程表示的图形是双曲线的一支和一条直线；命题已知椭圆,过点的直线与椭圆相交于两点,且弦被点平分,则直线的方程为.‎ 则下列四个命题①;②;③;④中,是真命题的是________(只写出序号).‎ ‎【答案】②④.‎ ‎【解析】先判定命题和命题真假,根据复合命题真假判定,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 求解命题 方程 或 当时,即,此时表示的是双曲线 当时,即(),此时表示的是射线 故命题是假命题 求解命题 直线与椭圆相交于,两点,设 ‎ 则 两式相减: ‎ 为的中点,‎ 直线的方程为 ‎ 整理得:.‎ 故命题是真命题 根据复合命题真假判定可知:‎ 对于①,是假命题;‎ 对于②,是真命题;‎ 对于③,是假命题;‎ 对于④,是真命题.‎ 故答案为:②④.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复合命题真假判断,解题关键是掌握复合命题基础知识和椭圆的中点弦求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎19．已知双曲线与椭圆有公共的焦点,且离心率为,求双曲线的方程及其渐近线方程.‎ ‎【答案】双曲线的方程为,渐近线方程为.‎ ‎【解析】椭圆的焦点为和,可得,根据双曲线 与椭圆有公共的焦点,可得双曲线的离心率为,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的焦点为和,‎ ‎,‎ 双曲线的离心率为,‎ ‎,, ‎ 双曲线的焦点在x轴上,‎ 双曲线的方程为,渐近线方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求双曲线的方程及其渐近线方程,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎20．设集合,,且命题,,若命题是的必要且不充分条件,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】因为,,命题是的必要且不充分条件,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,‎ 命题是的必要且不充分条件,‎ 是的真子集, ‎ ‎,检验知和时满足题意,‎ 实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据必要且不充分条件求参数范围,解题关键是掌握必要且不充分条件定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎21．已知向量.‎ ‎（1）若∥,求;‎ ‎（2）若,求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）因为∥,可得,求得,即可求得答案;‎ ‎（2）因为,,解得,可得,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∥,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎（2）,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据空间向量共线求参数和数量积,解得关键是掌握向量的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎22．如图,在四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,,∥,侧棱平面ABCD,且.‎ ‎（1）求证:平面平面;‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）求证平面,即可求证平面平面,即可求得答案;‎ ‎（2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系,为平面的一个法向量,且,求平面的一个法向量,根据,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）平面,平面,‎ ‎,∥‎ 平面 平面 平面平面 ‎ ‎（2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系,‎ 如图:‎ 由 可得:,,,,,‎ 由（1）知平面,‎ 为平面的一个法向量,且；‎ 设为平面的一个法向量,‎ 则,,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 令,则,,‎ ‎,‎ 设平面与平面所成的二面角为,‎ ‎,‎ 平面与平面所成二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了面面垂直和向量法求面面角,解题关键是掌握面面垂直判断定理和向量法求面面角的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎23．已知圆和点,为圆上的动点,线段的垂直平分线交于点,记点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）因为圆和点,为圆上的动点,线段 的垂直平分线交于点,记点的轨迹为曲线,可得,,,即可求得答案;‎ ‎（2）由题意可知,直线存在斜率,不妨设为,则,且设、,则,可得,求得和点到直线的距离为,结合均值不等式,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆和点 为圆上的动点,线段的垂直平分线交于点,记点的轨迹为曲线 ‎,,,‎ 故:,‎ 曲线是以为焦点的椭圆,且,,‎ ‎,, ‎ 曲线的方程为 ‎（2）由题意可知,直线存在斜率,不妨设为,‎ 则,且设、,‎ 则,‎ ‎,‎ ‎,即:,‎ 解得:,‎ 根据韦达定理可得:,, ‎ ‎,‎ 点到直线的距离为,且,‎ ‎,‎ 当且仅当时,‎ 即时,最大为,‎ 此时,直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线和椭圆的位置关系问题,解题关键是掌握在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理进行求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎