数学文卷·2017届辽宁省大连市高三第一次模拟考试（2017 23页

大连市2017年高三第一次模拟考试 数学（文科）能力测试 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知复数，则（ ）‎ A． B． C． 1 D．2‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 设均为实数，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎4.直线与圆相交所得弦长为（ ）‎ A． 6 B． 3 C. D．‎ ‎5.下列命题中错误的是（ ）‎ A．如果平面外的直线不平行于平面内不存在与平行的直线 ‎ B．如果平面平面，平面平面，，那么直线平面 ‎ C.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 ‎ D．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 ‎6. 已知数列满足，，则（ ）‎ A． 30 B． 18 C. 15 D．9‎ ‎7. 在平面内的动点满足不等式，则的最大值是（ ）‎ A． 6 B．4 C. 2 D．0‎ ‎8.函数的图象大致是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）‎ A． 4 B． C. D．‎ ‎10. 运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 若方程在上有两个不相等实根，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知定义在上的函数为增函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90，则学号为31号到50号同学的平均成绩为 ．‎ ‎14. 已知函数，则 ．‎ ‎15. 过双曲线的右焦点且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎16. 我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知点，，为坐标原点，函数.‎ ‎（1）求函数的最小值及此时的值；‎ ‎（2）若为的内角，，，的面积为，求的周长.‎ ‎18. 某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：‎ ‎（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；‎ ‎（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取2名用户，求2名用户评分小于90分的概率.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，为棱中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求四棱锥外接球的体积.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）过原点作函数图象的切线，求切点的横坐标；‎ ‎（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎21. 已知椭圆：，分别是其左、右焦点，以线段为直径的圆与椭圆有且仅有两个交点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，点横坐标的取值范围是，求的最小值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；‎ ‎（2）若曲线的参数方程为（为参数），曲线上点的极角为，为曲线上的动点，求的中点到直线距离的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，函数的最小值为1.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的最大值.‎ ‎2017年大连市高三一模测试 数学（文科）参考答案与评分标准 一．选择题 ‎（1）A；（2）D；（3）C； （4）A；（5）C；（6）B；（7）A；（8）B；（9）D；（10) B； （11）C； （12）D．‎ 二.填空题 ‎（13）95； （14）1； (15) ； 16．128.‎ 三.解答题 ‎（17）‎ 解：（I）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，取得最小值2．‎ ‎ (2) ∵，∴， ‎ 又∵，∴，∴． ‎ ‎，∴． ‎ ‎∴，∴三角形周长为. ‎ ‎ (18)‎ 解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：‎ 由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. ‎ ‎（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取名用户，评分不低于分有人，其中评分小于分的人数为，记为，评分不小于分的人数为，记为，从人人任取人，基本事件空间为 ‎，共有个元素. 其中把“两名用户评分都小于分”记作，‎ 则，共有个元素. ‎ 所以两名用户评分都小于分的概率为.‎ ‎(19)‎ 解：(I)证明：∵底面，底面，‎ ‎∴，又∵底面为矩形，∴，，平面，平面，‎ ‎∴平面，又平面，∴，，为中点，∴，，平面，平面，∴平面. ‎ ‎(II)法一：四棱锥外接球球心在线段和线段的垂直平分线交点，‎ 由已知，‎ 设为中点，∴，∴，‎ ‎∴四棱锥外接球是．‎ 法二：四棱锥外接球和过的长方体外接球相同，‎ 球心在对角线的中点 由已知对角线，‎ ‎∴球的半径为3，‎ ‎∴四棱锥外接球是．‎ ‎ (20) ‎ 解：（Ⅰ）设切点为，，直线的切线方程为，‎ ‎，，‎ 即直线的切线方程为，‎ 又切线过原点,所以，‎ 由，解得，所以切点的横坐标为.‎ ‎（Ⅱ）方法一：∵不等式对，恒成立,‎ ‎∴对，恒成立.‎ 设，，，.‎ ①当时，，在，上单调递减，‎ 即，不符合题意. ‎ ②当时，.设，‎ 在，上单调递增，即. ‎ ‎（ⅰ）当时，由，得，在，上单调递增，即，符合题意； ‎ ‎（ii）当时，， ，使得，‎ 则在，上单调递减，在，上单调递增，‎ ‎，则不合题意. ‎ 综上所述，. ‎ ‎（Ⅱ）方法二：∵不等式对，恒成立,‎ ‎∴对，恒成立.‎ 当时，；当时，，‎ 不恒成立；同理取其他值不恒成立.‎ 当时，恒成立；‎ 当时，，证明恒成立. ‎ 设，，，‎ ‎.∴在，为减函数．‎ ‎，∴. ‎ ‎ （Ⅱ）方法三：∵不等式对，恒成立,‎ ‎∴等价于对，恒成立. ‎ 设，当时，；∴，‎ 函数过点（0,0）和（1,0），函数过点（1.0），在恒成立，‎ 一定存在一条过点（1,0）的直线和函数、都相切或，一定存在一条过点（1,0）的直线相切和函数相交，但交点横坐标小于1，‎ 当都相切时． ‎ 不大于等于0. ‎ ‎∴.‎ ‎(21)（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ） 由题意可知，‎ ‎∴，故椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ) 设直线方程为，‎ 代入有， ‎ 设，中点，‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∴的垂直平分线方程为，‎ 令，得 ‎∵，∴，∴．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎(22)（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）由 ‎. ‎ ‎（Ⅱ）直角坐标为， ‎ ‎，．‎ 到的距离，‎ 从而最大值为. ‎ ‎(23)‎ 解：（Ⅰ）法一：， ‎ ‎∵且，‎ ‎∴，当时取等号，即的最小值为，‎ ‎∴，. ‎ 法二：∵，∴，‎ 显然在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴的最小值为， ‎ ‎∴，. ‎ ‎（Ⅱ）方法一：∵恒成立，∴恒成立， ‎ ‎ ‎ 当时，取得最小值，‎ ‎∴，即实数的最大值为.‎ 方法二：∵恒成立，∴恒成立，‎ 恒成立，‎ ‎∴，即实数的最大值为.‎ 方法三：∵恒成立，∴恒成立，‎ ‎∴恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴，实数的最大值为.‎ ‎ ‎ ‎2017年大连市高三一模测试 数学（文科）参考答案与评分标准 说明：‎ 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一．选择题 ‎（1）A；（2）D；（3）C； （4）A；（5）C；（6）B；（7）A；‎ ‎（8）B；（9）D；（10) B； （11）C； （12）D．‎ 二.填空题 ‎（13）95； （14）1； (15) ； 16．128.‎ 三.解答题 ‎（17）(本小题满分12分)‎ 解：（I）∵， 3分∴， 5分 ‎∴当时，取得最小值2． 6分 ‎ (2) ∵，∴， 7分 又∵，∴，∴． 9分，∴． 10分 ‎∴，∴三角形周长为. 12分 ‎(18)(本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：‎ ‎ 12分 ‎………………………………………………………………………………………4分 由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. ……………………………………6分 ‎（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取名用户，评分不低于分有人，其中评分小于分的人数为，记为，评分不小于分的人数为，记为，从人人任取人，基本事件空间为 ‎，共有个元素. …………………………………8分 其中把“两名用户评分都小于分”记作，‎ 则，共有个元素. …………10分 所以两名用户评分都小于分的概率为.………………………………12分 ‎(19)(本小题满分12分) ‎ 解：(I)证明：∵PA⊥底面ABCD，AB底面ABCD，‎ ‎∴PA⊥AB，又∵底面 ABCD为矩形，∴AB⊥AD，‎ PA∩AD=A，PA平面PAD，AD平面PAD，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，又PD平面PAD，∴AB⊥PD，‎ AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，‎ AE平面ABE，AB平面ABE，∴PD⊥平面ABE. …………………………………6分 ‎(II)法一：四棱锥P-ABCD外接球球心在线段BD和线段PA的垂直平分线交点O，…8分 由已知，…………………………………9分 设C为BD中点，∴，∴‎ ‎，………………………………………11分 ‎∴四棱锥P-ABCD外接球是． 12分 法二：四棱锥P-ABCD外接球和过P、A、B、C、D的长方体外接球相同，……8分 球心在对角线的中点………………………………………………………………9分 由已知对角线，…………………10分 ‎∴球的半径为3，…………………………………………………………………11分 ‎∴四棱锥P-ABCD外接球是． 12分 ‎(20) （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设切点为，，直线的切线方程为，‎ ‎，， ……………………………2分 即直线的切线方程为，‎ 又切线过原点,所以，‎ 由，解得，所以切点的横坐标为.……………………4分 ‎（Ⅱ）方法一：∵不等式对，恒成立,‎ ‎∴对，恒成立.‎ 设，，，.……………………………………………………5分 ①当时，，在，上单调递减，‎ 即，不符合题意. …………………7分 ②当时，.设，‎ 在，上单调递增，即. ……………9分 ‎（i）当时，由，得，在，上单调递增，即，符合题意； …………………10分 ‎ ‎（ii）当时，， ，使得，‎ 则在，上单调递减，在，上单调递增，‎ ‎，则不合题意. …………………11分 综上所述，. ………………………12分 ‎ ‎ （Ⅱ）方法二：∵不等式对，恒成立,‎ ‎∴对，恒成立.‎ 当时，；当时，，‎ 不恒成立；同理取其他值不恒成立.……………………6分 当时，恒成立；‎ 当时，，证明恒成立. ………………10分 设，，，‎ ‎.∴在，为减函数．…………………11分 ‎，∴.…………………………………………………………12分 ‎ ‎ （Ⅱ）方法三：∵不等式对，恒成立,‎ ‎∴等价于对，恒成立. …………………………5分 设，当时，；∴，………………6分 函数过点（0,0）和（1,0），函数过点（1.0），在恒成立，‎ 一定存在一条过点（1,0）的直线和函数、都相切或，一定存在一条过点（1,0）的直线相切和函数相交，但交点横坐标小于1，………………………10分 当都相切时． …………………………………11分 不大于等于0. …………………………………………6分 ‎∴.……………………………………………………………………………12分 ‎(21)（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ） 由题意可知，…………………………………………………2分 ‎∴，故椭圆的方程为.……………………………………4分 ‎(Ⅱ) 设直线方程为，代入有， …………………………………………5分 设，中点，‎ ‎∴.………………………………………6分 ‎∴………………………7分 ‎∴的垂直平分线方程为，‎ 令，得………………………………………9分 ‎∵，∴，∴．……………………10分 ‎，‎ ‎．……………………………………………………………………12分 ‎． ‎ ‎ (22)（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）由………………………………………2分 ‎. ……………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）直角坐标为，…………………………………6分，．……8分 到的距离，…9分 从而最大值为. ………………………………………10分 ‎(23)（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）法一：， ……2分∵且，‎ ‎∴，当时取等号，即的最小值为，……4分∴，. …………5分 法二：∵，∴，3分 显然在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴的最小值为， ………4分 ‎∴，. …………………5分 ‎（Ⅱ）方法一：∵恒成立，∴恒成立，……………7分 …………………………………………9分当时，取得最小值，‎ ‎∴，即实数的最大值为.………………………………………10分 方法二：∵恒成立，∴恒成立，……………7分恒成立，‎ ‎…………………………………………9分 ‎∴，即实数的最大值为.………………………………………10分 ‎ 方法三：∵恒成立，∴恒成立，………7分 ‎ ∴恒成立，‎ ‎∴，…………………………………………………9分 ‎∴，实数的最大值为.…………………………………10分