【数学】重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题（解析版） 15页

www.ks5u.com 重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年 高二上学期期末考试试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】椭圆的长半轴长a＝2，短半轴长b＝1‎ ‎∴椭圆的半焦距c，∴椭圆的离心率e 故选A．‎ ‎2.下列说法正确的是（ ）‎ A. 三点确定一个平面 B. 四边形一定是平面图形 C. 梯形一定是平面图形 D. 平面α和平面β有不同在一条直线上的三个公共点 ‎【答案】C ‎【解析】A. 由公理3知：不共线的三个点确定一个平面，故A错；‎ B. 四边形有平面四边形和空间四边形两种，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故B错；‎ C. 在同一平面内，梯形的一组底边平行，平行的两条直线确定一个平面，故C正确；‎ D. 不共线的三个点确定一个唯一一个平面，故D错误.‎ 故选：C.‎ ‎3.已知函数，则的导函数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正弦函数的导数公式及复合函数的求导法则可得：‎ 令，则，故选C.‎ ‎4.下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.‎ ‎5.函数的单调递减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】定义域为R，‎ 令，即解得 即单调递减区间为 故选：D.‎ ‎6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，是下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，，则 ‎ B. 若，，，则 C. 若，，，则 ‎ D. 若，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】A选项，若，，则可能平行、相交、或异面；故A错；‎ B选项，若，，，则可能平行或异面；故B错；‎ C选项，若，，，如果再满足，才会有则与垂直，所 以与不一定垂直；故C错；‎ D选项，若，，则，又，由面面垂直的判定定理，可得，故D正确.‎ 故选D ‎7.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数是偶函数，排除选项；‎ 当时，函数 ，可得，‎ 当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.‎ ‎8.已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】以为原点，在平面中过作的垂线交于，‎ 以轴，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 直三棱柱中，，，‎ ‎，，，，0，，，0，，，1，，‎ ‎，，，，1，，‎ 设异面直线与线所成角为，‎ 则．‎ 异面直线与线所成角的余弦值为．‎ 故选：A．‎ ‎9.已知双曲线的左、右焦点分别为，.若双曲线上存在点使得，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线上存在点使，‎ 又由正弦定理得，，‎ 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，‎ ‎，即；‎ 由双曲线的几何性质，知，即，‎ 可得；，‎ 解得；又，‎ 双曲线离心率的范围是．‎ 故选：A．‎ ‎10.在四面体中，是边长为4的等边三角形，，，，则四面体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题得，以为顶点作四面体则三条侧棱都是，底面为直角三角形；‎ 由三棱锥的侧棱都相等可知顶点在底面的外心，即为底边PC的中点，‎ 且底面外接圆半径，那么三棱锥的高 .‎ 则三棱锥体积，‎ 综上所述：四面体的体积为.‎ 故选：A.‎ ‎11.已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若且，则（ ）‎ A. 1 B. 2 ‎ C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】设直线方程为，代入，可得 设，，，，则，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，可得，，，，‎ 解得，‎ 故选：B．‎ ‎12.已知关于的不等式在，上恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】关于的不等式在，上恒成立，‎ 令，则，‎ ‎，，‎ 当时，，符合题意，‎ 当时，，符合题意，‎ 当时，恒成立，‎ 则在，上单调递减，，符合题意，‎ 当时，令，得，‎ 则在上单调递增，‎ ‎，不合题意，舍去．‎ 综上，实数的取值范围为．‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.函数的图象在点处的切线方程为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数，可得， ‎ 处的切线的斜率为：1，切点坐标， ‎ 函数的图象在点处的切线方程为：． ‎ 故答案为．‎ ‎14.圆锥的侧面展开图是面积为的扇形，若圆锥的母线长是2，则圆锥的体积是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆锥的底面半径为，则，故圆锥的高为，所以圆锥的体积为.‎ 故答案为.‎ ‎15.已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：函数定义域为，，函数为增函数则，转化为对恒成立，‎ 显然，所以对称轴，所以即可，解得．‎ ‎16.在底面是正方形的四棱锥中，底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，则四棱锥的外接球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，延长，，交于，连接，与交于，则，‎ 过做，与交于，则．‎ ‎，，底面是正方形的四棱锥，‎ 连接和交于，设球心为，可得．‎ 球心到，，，距离等于球的半径，‎ ‎，‎ 外接球的表面积．‎ 故答案为：．‎ 三、解答题（共70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知函数 ‎(1)求的单调减区间 ‎(2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值.‎ ‎【解】（Ⅰ）f′（x）=﹣3x2+6x+9．‎ 令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，‎ 所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，‎ 所以f（2）＞f（﹣2）．‎ 因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，‎ 又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，‎ 因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，‎ 于是有22+a=20，解得a=﹣2．‎ 故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，‎ 即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．‎ ‎18.如图，在多面体中，已知是边长为2的正方形，为正三角形，且，，，分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【解】（1）证明：取的中点，连结，，‎ ‎∵四边形是边长为2的正方形，为的中点，∴且，‎ ‎∵为的中点，且，∴，又，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴且，‎ 又平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）∵，，∴，‎ ‎∵，且，平面，平面，‎ ‎∴平面，∴为三棱锥的高，‎ ‎∴‎ ‎19.已知抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，弦的中点的横坐标为，.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的倾斜角为锐角，求与直线平行且与抛物线相切的直线方程.‎ ‎【解】（Ⅰ）设，，‎ 因为的中点的横坐标为，所以.‎ 根据抛物线定义知.‎ 所以，解得，‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，.‎ 则由得.‎ 所以，即，解得.‎ 设与直线平行的直线的方程为，‎ 由得.‎ 依题知，解得.‎ 故所求的切线方程为.‎ ‎20.如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）设为上一点，满足，若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.‎ ‎【解】（1）证明：由，，，‎ ‎，，所以，‎ 又，∴，∴，∴，‎ 因为底面，底面，∴.‎ 因为，底面，底面，‎ 底面，‎ 底面，所以面面.‎ ‎（2）由（1）可知为与平面所成的角，‎ ‎∴，∴，，由及，‎ 可得，，‎ 以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间坐标系，‎ 则，，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，，取，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，，取，‎ 所以，所以二面角余弦值为.‎ ‎21.已知椭圆：的左焦点为，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）圆是以椭圆的焦距为直径的圆，点是椭圆的右顶点，过点的直线与圆相交于，两点，过点的直线与椭圆相交于另一点，若，求面积的取值范围.‎ ‎【解】（1），所以，将代入椭圆方程得，‎ 所以，整理得，所以或（舍去），‎ 所以，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由过点的直线与椭圆相交于两点，知直线的斜率存在，‎ 设的方程为，由题意可知，‎ 联立椭圆方程，得，‎ 设，则，得，所以；‎ 由直线与垂直，可设的方程为，即，‎ 圆心到的距离，‎ 又圆的半径，所以，‎ ‎，由即，得，‎ ‎，‎ 设，则，，‎ 当且仅当即时，取“”，‎ 所以的面积的取值范围是.‎ ‎22.设.‎ ‎（1）若，且为函数的一个极值点，求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若，且函数的图象恒在轴下方，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围.‎ ‎【解】（1），，‎ 由题意，所以，所以，‎ 令，得或，当时，，当时，，当时，，所以函数的单调递增区间是和；‎ ‎（2）依题意，，即在上恒成立，‎ 令，则.‎ 对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为-1，‎ 则两个零点一正一负，设其中一个零点为，‎ 则，即，‎ 且在上单调递减，在上单调递增，‎ 故，即，‎ 令，‎ 则，‎ 当时，，当时，，则在 上单调递增，在上单调递减，又，故，显然函数在上是关于的单调递增函数，则，故实数的取值范围为.‎